拉普拉斯变换1PPT课件

1、R3R3RZC C1 1C C2 2L1L2u us s( (t t) )u u( (t t) )1) 直流激励源, 直流稳态解.2) 正弦交流激励源, 正弦交流稳态解. (复数变换)稳态电路:3) 任意激励源, 电路全响应(动态电路). 动态电路:(时域解微分方程)(拉氏变换)第1页/共84页( )sinsU tUt( )sin()i tItsinsin()cos()utRItL It sin()iIt正弦交流电路三角函数计算设 直接计算 反变换0sUUsII SURIj LISUIIRj L 相量电路变换复数计算 1）变换域求解电路问题的讨论: 在正弦交流电路中，相量计算是 变换域求解的方

2、法。iLRLu us s( (t t) )9.1 拉氏变换及其应用概述第2页/共84页利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！0(0 )LsLdiURiLdtii( ) (0 )SStUUi tieRR电路微分方程时域（解微分方程）拉氏正变换拉氏逆变换( )( )( )(0 )SUSRI SLSI SLi ( )(0 )( )SUSLiI SRsLS域象函数 频域运算电路（解代数方程）(S)RLUsI IS(S)第3页/共84页用拉氏变换解动态电路的三个要点：激励函数的变换（正变换）电路元件的变换（运算电路）频域响应的逆变换（逆变换）拉氏变换解动态电路的内容: (1) 拉氏变换原函数和象函数的

3、转换; (2) 运算电路的建立及初始条件表示; (3) 运算结果(象函数)转换为时域表达式(分解定理).第4页/共84页一个定义在 的函数 ，0,( )f tsj为复数。其中拉氏正变换为:( ) ( )F sf tL记作:0( )( )stF sf t edt9.2 拉氏变换定义及基本性质第5页/共84页( )( )( ),( )F sF sf tf t为的象函数为的原函数.拉氏反变换为:1( )( )2cjstcjf tF s e dsj 1( ) ( )f tF sL记作:第6页/共84页常见函数的拉氏变换： 单位阶跃函数1( ) t11( )1( )ststooF st edtesS (

4、 ) t( )( )d( )d1ostooF st ettt单位冲击函数( ) t00( ) ( )( )( )(0)t f t dttf t dtf式中利用了 的筛分性质，即：第7页/共84页指数函数et()()1( )ededeestststoootF stts 1set1s( ) t1(t)11S第8页/共84页拉氏变换的主要性质 线性性质1122( )( ), ( )( )L f tF sL f tF s1212( )( )( )(s)L af tbf taF sbF设:则有第9页/共84页cos1( )ttsin1( )ttsin1( )tt例9-2-1 求、和的拉氏变换。j t-j

5、 tee( )ed(sin()ed2j)ststooF sttt-(s-j)t-(2t2s+j)1111(ee)d()22otjjssjsjet1s第10页/共84页221( )sin()coscosin()cossissinn 1( )LtLttsstt同理：j t-j te+e( )ed(co)ed2s()ststootF stt-(s-j)t-(s+j)t221111(ee)d()22otsjsjSS第11页/共84页( )ed( )( )edd()( )ed( )()sttt ostostodLf tf ttdttSfSF Stf ottf 证：(分步积分) 微分定理( )( )L f

6、 tF sd( )( )(0 )dLf tSF sft设则 f t 1100nnnndf ts F ssffdtL高阶导数 的拉氏变换式：第12页/共84页 11Lts ,LtLt例9-2-2 已知，求。 1dttdt 0111tLtsts 解：由于，由微分定理得： 01tLtstS 同理：第13页/共84页21 111( )L tts ss由于得 1L tt 1tt例9-2-3 求斜坡函数解：的拉氏变换.111( )ststoot edtesS 1( )d( )toLf ttF ss 积分定理( )( )L f tF s设则第14页/共84页例9-2-4 求图示函数的拉普拉斯变换式。解：由图

7、可知： 011f tttt 0001111 1ststef ttttssesLLt t f tt t0 0( )( )L f tF s111() 1()( )stL f ttttF se 时域位移定理设则：f f( (t t) )t tf f( (t t- -t t1 1) )t tt t1 1第15页/共84页22sin()tLtse例： 求 的拉氏变换.sintte解：由频域位移定理sint22s( )( )L f tF s( )()tL f t eF s频域位移定理设则：第16页/共84页1122( )( ),( )( ),L f tF sL f tF s 12121212( )( )(

8、)( )( )()( )( )totoL f tf tLf tfdLff tdF sF s卷积定理设则卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式。11212( )( )( )( )()tof tLF s F sff td卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式.第17页/共84页21( )()F ss1111( )( )f tL F sLss()()1( )1()ttttooeetdeed1( )ttoedtet例：求的原函数.解:11()nS21()s1( )tet1!ntt en第18页/共84页注意：当 为周期函数时，终值定理不可用。(0 )lim( )sfsF s ( )f t初值定理与终

9、值定理0( )lim( )sfsF s ( )( )L f tF s设初值定理:终值定理:第19页/共84页 11tf tet 11111F ssss s 1 0limlim01SsfsF ss 0010fe 例9-2-7设，验证初值定理。解：又得证第20页/共84页常用拉氏变换表( )F s1S1S11()nS22S22SS( ) t1( ) tte1!ntt ensintcos t22()S22()SS( )f tsintetcostet1( )F s( )f t21St第21页/共84页 利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中进行积分，即可求出相应的原函数 1( )( )2cjst

10、cjf tF s e dsj 但实际计算时, 直接利用拉普拉斯变换的公式. 把象函数(频域响应)利用部分分式展开的方法，将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可直接查表获得。 9.3 拉氏逆变换的展开定理(从频域到时域的转换)第22页/共84页实际计算时，分母多项式的因式分解是重要一环。121( )( )( )( )()()()()nnQ sQ SF sP SSSSSSSSS对分母因式分解：11101110( )( )( )mmmmnnnnb SbsbsbQ SF sP SQ SQSQ Sa()nm设有理分式函数 :线性电路的频域响应结果一般为实系数多项式.232( )32SF SSS23

11、232( )32(2)(1)SSF SSSSS第23页/共84页求系数 时,两边同乘 ,得: 1K1SS112112()()() ( )nnSS KSS KSS F sKSSSS令 ,得:1SS 111() ( )SSKss F s( )p s1212( )nnKKKF sSSSSSS（1）当 均为不等实根，原式可展开为：第24页/共84页() ( )iiissKss F s同理,可求得各系数:分解时系数计算公式!逆变换式为：1( )niiistf tK e1212( )nnKKKF sSSSSSSet1s第25页/共84页23235( )6116ssF ssss求 的逆变换。2111353(

12、1) ( )(2)(3)2ssssKsF sss231235(1)(2)(3)(1)(2)(3)kkkssssssss解：原式222235(2) ( )3(1)(3)SSssKsF sss (三个单实根)例9-3-1：第26页/共84页35322( )(1)(2)(3)F Ssss2335( )31( )22tttf teeet原函数:原式2333355(3) ( )(2)(1)2ssssKsF sss231235(1)(2)(3)(1)(2)(3)kkkssssssss1Ste第27页/共84页 613245ssF ss sss例9-3-2 求 的拉普拉斯反变换式。 F s 03102100

13、2261392452061324551242SSSSssKs F sssssKKKKF ssssKsF ssssss 294K 3165K 解： 的部分分式展开式为：同理可得： 124591916120245tttLF seeet于是：第28页/共84页( )P s34( )( )()()()()()nsQ sF sssssssjjs131231()( )()nnKKF sKsjsssKssj(2) 当 存在共轭复根展开为：1,2Sj 共轭复根:211121322131313()()222211( )1()2(2)KF SSSSKjjjjSSS1,21322jS 第29页/共84页1112()

14、 ( )() ( )SjSjKSjF sKKSjF sK 131231()( )()nnKKF sKsjsssKssj系数计算:011390313132221123()jjKj 13221( )()32)12(F SSSjj 012390313132221123()jjKj 第30页/共84页1,2Sj ()()()()1( )jjtjjttjtjtf tK e eK eeK eee () ( )sjKsjF s 式中系数：1()( )jjsjK eK eFsjs共轭复根:12cos()( )tKfett0113903K13221( )()32)12(F SSSjj 1022cos()2 33

15、cos(90 )32( )ttK ettf te第31页/共84页23( )25sF sss例9-3-3 ： 求 的原函数.12,2252420122SSjS 225(12)(12),SsSjsj 解：共轭复根1,211123(12)(12)(12)SjSKSjSjSKj 12322424425jjjj 2,452K 2cos( )2cos(245 ) 1( )ttK etf tett得：第32页/共84页2222222312( )25(11(2(1)212)2ssFsssssss ( )cos2sin2 1( )ttf tetett22cos()tsets22sin()tets另解： 则：上

16、述方法可简化计算。利用频域位移定理:第33页/共84页 2512 2sF ss ss 001211151111.2.51.7777135111135sSjKsF sjKsjjjKF sj 例9-3-4 求 的原函数。 01112511111sFKKsss sjsjsjjKs 解： 2.53.54cos1351tf tett原函数为：2cos()tK et第34页/共84页( )( )( )Q SF SP S( )P S311( )( )()( )Q SF SSSP S111221123311( )()niiiKKKF SSSSSKSSSS（3）当 中， 存在重根（三重根）展开为：设:13131

17、()( )SSKSSF S13121()( )SSdKSSF Sds系数计算:第35页/共84页12311121()( )2!SSdKSSF SdS反变换为:111121311212( )ASSStttK tK tftK eee11()nS1!ntt en12213111131()( )()AKSSKSSKSF SS重根部分为:第36页/共84页21( )(1) (2)F SSS( )f t例： ,求原函数 .111222( )1(1)2KKKF SSSS2121(1)( )1SKSF S22(2) ( )1SKSF S2111( )(1)12F SSSS2( )1( )tttf tteeet

18、解：得：2112111(1)( )1(2)SSdKSF SdsS 第37页/共84页 3512F sss例9-3-6求的原函数。 312115sdKsF sds 313115sKsF s F s 1233111221112KKF ssssKsK解:的部分分式展开式为： 2225sKsF s 第38页/共84页 2311121152!sdKsF sds 2355211515Fsssss f t F s 22552.551ttttf tetet eet于是 的原函数 为：11()nS1!ntt en第39页/共84页9-4 动态线性电路的拉氏变换求解列出电路方程（微分方程）；对微分方程取拉氏变换，

19、初始条件包含在变换中；求解 域的代数方程，得 或 ；求拉氏逆变换。S( )U S( )I S1） 变换方程法第40页/共84页iL(t)RLUs例：1( )SttUe求( )LtiLLtRdLdteii()0Lio解:12( )LKKISRSSL由展开定理：11( )LISRLS S111( )()()LISRLSSLLdLdti)()LLSSLiLIoLi( )LISte1Sd( )( )(0 )dLf tSF sft( )()1(LLLLSISLi oRISS第41页/共84页111( )LISRRLSSL1( ) 1( )LRtLti teetRLiL(t)RLUs1111()( )LR

20、SLRKSISRLLLRL2111()( )LSKSISRLRLL12( )LKKISRSSL111( )()()LISRLSSL12KK 第42页/共84页( )()()()u ti t RU SRI S2）运算电路法时域电路转换为对应的运算电路电阻元件RuiRU(s)I(s)运算阻抗:R第43页/共84页 ( )( )()CCI SSCUSCuo11( )( )(0 )CCUSI suSCS电容元件时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源（初始条件）。iCC CuC1SC( )CIS( )CUS(0 )CUS( )( )Cduti tCdt()Cuo等效电路运算阻抗:1SC第44页/共8

21、4页受控源电路RiRr riRR( )I Sr r( )I S( )( ) ()LLLdi tUtLiodt( )( )()LLLUsLSIsLi o电感元件时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源（初始条件）!LiLuLSL( )LIS( )LUS(0 )LLi运算阻抗:SL第45页/共84页1211didiuLMdtdt2122didiuLMdtdt12(0 ), (0 )ii1111 1222222 221( )( )()( )() ( )( )()( )()U sL SI sLi oMSIsMi oUsL SIsL i oMSIsMi o 互感电路i1i2ML1L2u1u21SL1(

22、 )I S1( )U S1 1(0 )Li2SLSM2( )IS2( )US2 2(0 )Li1(0 )Mi2(0 )Mi第46页/共84页直流电路计算的规律均可应用于运算电路！运算电路仍遵守KCL和KVL规律:用运算电路解过渡过程问题: ( )0I S ( )0U S 1). 画运算电路;2). 激励电源拉氏变换;3). 利用KVL和KCL计算电路响应;4). 利用分解定理解反变换.第47页/共84页,1 ,( )1( )1(2,1CSUUCFVttRo ( )Cit( )CUt例1：求和。1( )SUsS解：运算电路如图iC(t)RUsC CuC()( )( )1CSUoUsSI SRSC

23、11122( )111SSI SSS1( )1( )2Ctitet( )CISuC(0-)RUs(S)S SC C1 1Uc(S)s s第48页/共84页注意：电容电压应包含初始值部分！1( )1 1( )2CtUtet()1( )( )CCUoUSI SSCS11111222( )(1)(1)CUSS SSSS( )CISuC(0-)RUs(S)S SC C1 1Uc(S)s s第49页/共84页( )( ),(0 )0SLUtti ( ),( ).LLu ti t 例2，求:RuLiLL( ) t解：运算电路如图R( )LI S1 1SLUL(S)( )111( )SUsI SRRSLRS

24、LLSL1( )1( )LRtLi tetL（冲击激励情况）第50页/共84页( )( )1LSLRUsI sSLRSLSLR 1( )1, ( )( )1( )RtLLLRUttetLRUSRLSL R( )LI S1 1SLUL(S)第51页/共84页K KUsRiRuC2uC1C C1 1C C2 212210 ,10.1 ,()2SCUV RCCF UoV 1( )CUt( ).Ri t例3：求K闭合后的及1()CSUoU解：运算电路 （跳变情况）1122112110()()( )1CCCCUoC UoRSUsSCSCR由节点电位法的齐尔曼定理10501.266500.215(5)sS

25、sSss sR11SC21SC1( )CUS1(0 )CUS10SIR(S)2(0 )CUS第52页/共84页0t讨论：跳变情况下，用运算电路计算无需求情况.R11SC21SC1( )CUS1(0 )CUS10SIR(S)2(0 )CUS1650104( )(5)5CsUss sSS51( )104 1( )tCUtet1510( )106504( ),( )4(5)51(CRRtUSSSIStRSS SSei t)第53页/共84页110( )lim( )10CCsUS USV 0( )lim( )0RRsiS IsA欲求稳态值（终值定理）:K KUsRiRuC2uC1C C1 1C C2

26、211650(0 )lim( )lim65CCssSUS USVS4(0 )lim( )45RRssis IsAs欲求值 ，可由初值定理计算0t1650( )(5)CsUss s4( )5RISS(0 )lim( )sfsF s0( )lim( )sfsF s （无需反变换）.第54页/共84页1( )i t1 ,1 ,1,1sUV RLH CF 例4：如图电路，K打开已久，求K闭合后的电流 。已知。(0 )0,(0 )LCSiuU解：初始值运算电路如图，用回路电流法解K KRLi1UsC CR1SC( )SUS(0 )CUSI1(S)RSLRI2(S)1221(0 )11( )( )( )(

27、0 )11( )( )CSCUI s RsLIsUsscscSUIs RI sSCscS代入数据122111(1) ( )( )0111(1)( )( )sI SIsssIsI sssS第55页/共84页1SC( )SUS(0 )CUSI1(S)RSLRI2(S)21221(1) ( )( )(1)( )( )1SSI SISS ISI S211(1)(1) ( )1( )SSSI SI S 21211223221221( )(2222)I SS SSK SKSSSSKSS得：112K 由展开定理：2212221221222(211(22)(2)2222)SK SK SK SKSI SS SS

28、SSS比较系数,得:2112K 221K 第56页/共84页1SC( )SUS(0 )CUSI1(S)RSLRI2(S)21221111(1)222221122(1)(1(1)1)SSISSSSSSS 或111cos(sin221) 1(2)tteietttt11( )12cos(45 ) 1( )2ti tett第57页/共84页101( ),2 ( )SStItUeAt 10 ,0.1 ,(0 )5 ,CRCF UV( )CUt例5：电路如图，求？10( ),( )21SU sIss解：运算电路如图iSRC CRUs( )CUt( )()2( )2SCabUsCUoRUsSCR1100.5

29、225253511( )12(1)(2)0.15absssUsssss由节点电位法1SC( )SUS(0 )CUSRIs(S)Ra ab b第58页/共84页 电路响应的分量包含与外加电源变化规律相同的部分（强制分量）与由电路结构决定的变化部分（自由分量）。 在冲激电流源作用下,电容电压有跳变。1015( )12abUsss2( )()1110(5ttabeutet1SC( )SUS(0 )CUSRIs(S)Ra ab b122535( )(1)(2)(1)(2)abKKsUsssss第59页/共84页1111212()1( )111118.5112LabLioSLSUsSLSLRSS211(

30、 )633( )(18)18abLUsIsSLS SSS181( )(1) 1( )3tLi tet 121,2,12 ,12SLH LH RUV( )Li t例6：如图电路，求：开关从1到2后电流 。RUsRRL1L2iL1(0 )1 ,(0 )0,SLLUiARi 解：初始条件RSL2a ab bSL111(0 )LLi运算电路讨论：电感中存在稳态电流。 第60页/共84页K KL1L2R1R2Usi1i2M0.05,1 ,SMH UV2( )i t例7：图示电路，12121 ,0.1,RRLLH K闭合后。12(0 )(0 )0LLii解：，运算电路如图1( )I SUs(S)SL1SL

31、2R1R2SM2( )IS11122221( )( )( )( )( )0sI SRsLSMIsUsISRsLSMI s代入数据12211(0.11) ( )0.05( )(0.11)( )0.05( )0SI SSI sSSI SSI s第61页/共84页1( )I SUs(S)SL1SL2R1R2SM2( )IS22210.050.05( )(0.11)(0.05 )(0.151)(0.051)ssIsssss21120122( )2020320(20)()33Isssss2020321( )1( )2tti teet（二阶电路）第62页/共84页例8：图示电路，开关闭合前处于零状态，试求

32、电流 。 解：因为电路原处于零状态，画出其运算电路如图所示，采用戴维南定理，求AB以左电路的戴维南等效电压： 10SS100S1010I I( (S)S)等效运算阻抗: 100101000101020dsUsss s 10101010101020dssZsss 1i t1010101H1H100Vi1a ab b第63页/共84页 132210001101020(10)20100040300ddUsIssZsRsLs ssss ss3.3351.671030sss故电流的象函数： 11030113.3351.671ttitIseetAL最后求原函数：10SS100S1010I I( (S)S)

33、第64页/共84页( )( )( )R SH sE S9.5 网络函数(1) 网络函数的定义：电路在单一的独立源激励下，其零状态响应( )r t( )R S( )e t( )E s( )H s的象函数与激励源的象函数之比定义为该电路的网络函数，即有H(S)E(S)R(S)网络函数是信号处理和控制系统中一个十分重要的概念.网络函数完全决定了系统的输出响应特性和系统的稳定性.第65页/共84页注意：1）网络函数是指电路中特定的输入输出量之间的关系， 同一电路当定义不同输入输出时，网络函数不同； 2）网络函数是输入输出量拉氏变换象函数之比； 3）网络函数反映了输入输出量之间动态的关系（时域）。H(S

34、)E(S)R(S)P Pe e( (t)t)r r( (t)t)第66页/共84页H(S)U1(S)U2(S)I1(S)i1u1u2N N1( )u t1( )i t11( )( )( )I SH sU S例：设输入为电压，输出响应为电流，则网络函数为即为入端导纳函数；1( )U t2( )Ut21( )( )( )USH sU S若设输入为，输出为则网络函数为即为电压传递比。，网络函数可分为:策动电阻抗(导纳)转移阻抗(导纳)电压(电流)转移函数第67页/共84页1( )u t2( )u t211( )11( )11( )USSCH sU SRCRSSCRC例1：设 为输入， 为输出，图示电

35、路网络函数为U1(S)U2(S)R1SC( ) t( )( )( )( ) 1( )R SH SE SH SH S 1）由网络函数定义知，网络函数等于当激励（输入）为单位冲击源时，输出响应的象函数。2）已知网络函数 时，任意激励的响应象函数可直接写出，( )H S( )( )( )R SH SE S（经拉氏逆变换可求出响应值）.第68页/共84页( )H ssj3）推论1：网络函数中令，则网络函数表示了正弦交流稳态电路的输入输出相量关系。（频率特性）讨论：网络函数完整反映系统的输入输出关系，包含了稳 态和暂态二部分响应特征。( )H s0s 4）推论2：当 中令 时，反映了直流稳态关系。21(

36、 )11( )1( )111USH sU SSCRSCRCSRC U1(S)U2(S)R1SC第69页/共84页1i0( )u t1231,2,4 ,1,2 .RRRLH CF 例2：求图示电路的网络函数，设输入 ，输出.i1R3R1C CLUsR2U0301213228( )( )( )1162RSLSU sI sRI SRRSLSSCS 解：运算电路如图212416( )2121ssI sss2021( )416( )( )2121USSSH SI SSSU(S)U0(S)I1(S)1SCR3R1SLR2(2) 网络函数的列写第70页/共84页21( )( )( )U SH sU S1,1

37、 ,1 .LH CF R 例3：求图示低通滤波器的网络函数，设11( )( )1()1U SI sSLRSCSLSLRSC解：1( )U tRLLC C2( )Uti1i21121( )( )( )1()()1RUSCI sSUsRSLSC SLRSLRSSLRSCC321( )21H SSSS由RLC及受控源组成的线性网络,其网络函数的分子和分母多项式的根为实数或复数。 第71页/共84页0( )( )( )iUSH SU S123121 ,1RRRCCF 例4：求图示有源滤波器电路的网络函数，设。1( )1,CUs 1111( )( )cCIsSCUSSC1233( )1( )CCUSIS

38、RR322221231( )1)1(1()CRCUSSCUR SCISRRSR121332122(11)1( )( )( )RCCISSCR SCII SISRSR解：令则R1R2R3C C1 1C C2 2iR2ic1ic2uiuo第72页/共84页1111 1111232321( )( )( )1iCRRRU SR I SUSSC RRRR R SC 02211( )( )CUSISSCS 021( )1( )1( )313iUSSH SU SSSSS R1R2R3C C1 1C C2 2iR2ic1ic2uiuo13SS第73页/共84页解:1( )1E SS2210(1)( )(1)4

39、SR SS网络函数22( )( )( )10(1)4R SESH SS冲击响应22221054(1)42 (1( )( ) ( )4R SHSS E SS5( )sin4 1( )2tr ttte22()Ssintet 已知线性系统在 激励下输出响应为 ，求系统的网络函数和冲击响应.( )10cos4 1( )tr ttte( )1( )te tte例5：(3) 利用网络函数的计算第74页/共84页( )10 ( )i tt A6100( )10tabuteV1000R ( )5 1( )u tt ( )i t例6：图示电路，P为无源网络。在零初始状态下，若对P施加电流，其端口电压P PRu

40、u( (t t) )( )i ta ab b，现将P串联电阻，外加电压试求电流 。65( )10110( )( )10010100U SZ SI SSS解：由题条件知，P的入端运算阻抗为串入电阻后:1000(200)( )1000( )100sZ sz ss第75页/共84页( )( )( )U sZ sI s5( )U sS51001100( )1000(200)200(200)SSI SSSS S11400400( )200I SSS2001( )1 1( )400ti tetP PRu u( (t t) )( )i ta ab b即有得：第76页/共84页P P1 112 221 1( (t t) )u uo o( (t t) )( )i tP P1 112 22( ) t50( )5ti teA40( )5,tSUteV( )i t例7：如图电路，1000( )(1)1( ) ,tU tet V，若30R 求电阻上电流 。( )SUt( )i tP P1 112 22R1( )SUSS011100( )100(100)Ussss s0( )100( )( )100