更高更妙的物理：专题24几何光学问题集成

1、专题24 几何光学问题集成 几何光学是在把光的传播抽象成光线模型并认定光的下述两条基本性质的基础上建立起来的一门学问。光的第一条基本性质：光总是沿着光程为极值的路径传播在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播，即遵从费马原理。光的另一条基本性质：独立传播原理不同方向的光线相交时互不扰乱，不会改变每束光的颜色、强弱与传播方向。 在均匀介质中光程表示光的几何路程与物质的折射率的乘积：。在不均匀介质中，取元光程，总光程为。本专题我们将通过几个特例说明费马原理的正确性，并以费马原理为基础，给出各种反射与折射光具的物像

2、公式。 在两种均匀介质的平面界面上，光发生反射时，遵守反射定律的光程为最小，这是很容易证明的；在如图所示旋转椭球形的凹面上的反射，是光程为稳定值的情形：若光从椭球的一个焦点射出，则在镜面上任一点反射后都要落在第二个焦点上，根据椭球的几何性质，若半长轴为，可知光程总等于；若有如图所示与椭球面相切于的镜面（其余部分都在椭球面内），光线也是被镜面反射的光线，且遵守反射定律，其光程总比另外的不遵守反射定律的光程、例如图中大，即当光线在镜面上反射时，遵守反射定律的光程为最大；又若有如图所示与椭球面相切于的镜面（其余部分都在椭球面外），光线亦是被镜面反射且遵守反射定律的光线，其光程总比另外的不遵守反射定律

3、的光程、例如图中小，即当光线在镜面上反射时，遵守反射定律的光程为最小。当光线在两种均匀介质的界面上发生折射时，光程也遵守费马原理，如图，为折射率各是、的两种介质的界面，入射光线在点折射后的折射光线为，对给定的两点、，光程为；由图得， 则 。 根据费马原理，这方程应取极值，即式的一阶导数应该等于零：，则 ，即，这就是折射定律，可见，满足极值条件的光程也满足折射定律。【例1】某行星上大气的折射率随着行星表面的高度按照的规律而减小，行星的半径为，行星表面某一高度处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行 星传播，试求高度。【分析与解】在专题“小试身手”中，读者根据光波的惠更斯原理，已求解过这个

4、圆形光波道高度问题，这里，我们依据费马原理换角度求解。如图，设光线在行星表面高处沿圆周绕行星一周，则其光程为，式中，。由费马原理可知，光是沿着光程为极值的路径传播的，所设光线路径实际存在的特定条件是其光程为极值，故只须求出使取极值时的即可：。 上式中，且为定值，故当时，光程有最大值。由此可见，在处，存在光的圆折射路径。 根据费马原理，可以确定光线在各种具体情况下的传播方向，从而可以用来研究光在平面和球面系统中的反射或折射成像问题。发光点形成发散光束，具有一个顶点的光束被称为单心光束，顶点被我们称为物点，单心光束通过光具反射或折射后若仍为单心光束，则将这被作用后的光束的顶点称为像点，其中，被光具

5、作用后的单心光束实际会聚的顶点，称为实像点，而相反的情况被光具作用后的单心光束发散，即经反射或折射后的光线反向延长线通过的顶点，则该顶点称为虚像点。几何光学主要研究各种成像规律，关注像如何准确地反映发光物体形状，也就是怎样保持光束单心性的问题。平面镜成像与球面镜成像均属反射成像情况。平面镜成像特点是不改变光束的敛散性，即若入射光束为单心发散光束（实物），反射光束必为单心发散光束（虚像）；反之，若入射光束为单心会聚光束（虚物），反射光束必为单心会聚光束（实像），故平面镜是一个最简单的能成完善像的光学系统。球面反射会破坏光束的单心性，我们通常考虑近轴光线条件下的球面反射。如图所示，反射镜面是球面的

6、一部分，为球面曲率中心，为焦点，为球面顶点，、所在直线为主轴，物点距主轴，物距，单心光束经、间球面反射后会聚于，即为像点，像点距主轴，像距。认根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面反射或折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等，在图所示情况中，从发出的任一光线例如的光程为。 在近轴光线的条件下，与反射面所在球半径相比，、以及入射角、反射角都是小量，图中法线与主轴所夹角亦为小量，且有。利用二项式定理对式展开并略去小量高次项得。上式中第项；同理，第项，则 要使所有从物点发出的光线到达像点光程都相等，必须满足与无关这样一个条件，即上式中含有、的各项应等于零，故有， ；

7、在近轴光线条件下焦距，故有。 此即近轴光线条件下球面反射的成像公式，式中、均以“”“”表示实与虚。式体现了近轴光线条件下球面反射成像的理想性亦即物与像的几何相似性，放大率。近轴光线条件下球面反射成像规律如下表，表中、只指代表物距、像距与焦距大小： 棱镜、透镜等均属折射光具。 光在两种介质的平面分界面上折射时，除平行光束仍为平行光束外，单心光束将被破坏其单心性，仅当单心光束中各条光线几乎垂直于界面时，被平面界面折射后的光束才几乎保持为单心。考虑近轴（界面法线）光线条件下的平面折射，如图，为两种介质（折射率）的界面，设物点距界面，从作正入射光线（入射角为）与一条近轴光线（入射角很小），前者折射后方

8、向不变仍垂直于界面，后者改变方向，折射角为，两折射光线的反向延长交于，此即的虚像，设其距界面，由图中几何关系知：，在近轴光线条件下，故。这里像与界面的距离被称为像似深度，当折射光所在介质折射率小于入射光所在介质折射率时，譬如在水面上沿着竖直方向看水中物体，所见像较清晰，且所见“物体”上升了，所谓“水清池浅”是也；当折射光所在介质折射率大于入射光所在介质折射率时，我们通过大气层所见中天之日，其位置比太阳的实际位置高正属此种情况。【例2】某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为，眼睛与凸面镜顶点的

9、距离为，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？【分析与解】观察者通过薄玻璃板看到的像是物（眼睛）发出的光通过平面反射而成的等大虚像，若设玻璃板距观察者眼睛的距离为，则到玻璃板的距离也是，玻璃板面同时还对物发出的光折射而成一虚像，它的位置与物在同一侧，距离薄玻璃板；被玻璃板折射后入射到凸面镜上的光束就如同来自，故对凸面镜而言，是它的物，经凸面镜反射成一缩小虚像，根据题意与重合，故位于距玻璃板处，成像光路如图所示。由上分析，运用球面镜物像公式，有，取玻璃的折射串为，可得。【例3】如图所示，介质在一定区域、内的折射率随着的变化而连续变化。一束细光束沿方向垂直入射到介质表面，并沿着一个半径为的圆弧路径穿过

10、介质，求折射率随变化的规律。如果时折射率，已知的材料中最大折射率（金刚石折射率）不超过，圆弧所对应的圆心角最大可能达多少？【分析与解】我们先看一下光穿过几个互相平行的、折射率不同的介质区的情况，如图所示，光以入射角从折射率为的介质进入折射率为的介质中，折射角为，由折射定律，即，同样的方法可得，即常数，与各介质区厚度及个数无关。这个规律可以运用到折射率连续变化的不均匀介质中。 如图所示，我们将题给介质区域分成与轴平行的薄层（），各层的折射率可视为不变，轴上方处的第层的折射率为，光在该薄层轨迹为极小一段圆弧（可视作直线），进入该薄层的光束折射角为，射出该薄层的光束折射角变为。由于初始细光束沿方向垂

11、直入射到介质表面，故有，那么，由图所示几何关系可知，则，此即所求折射率随变化的规律。 如果时折射率，已知的具有最大折射串的材料其折射率不超过，这是能使折射光束对应的圆心角达到最大的折射率极限，取，则相应的最大圆心角可达。 在棱镜中光线入射与出射的两个平面界面互不平行，我们来探讨三棱镜对光路控制的一些特殊规律。如图所示为一块放在空气中、折射率为的三棱镜的主截面，该图中、在两个折射面上，为折射棱角，当单色光束通过棱镜时，将连续两次折射，出射线与入射线间夹角称为偏向角，它反映三棱镜改变光传播方向的程度。由图所示几何关系知，而，故。由此式可知，若三棱镜折射棱角确定，入射角变化时，出射光线偏向角将随之改

12、变，其中，当，即光线对称地进出三棱镜时，偏向角有最小值。若三棱镜折射棱角很小，当光垂直于一个折射面射入，如图所示，即时，则，由可得：。【例4】通常用阿贝数来表示光学材料的色散特性，其中、分别表示材料对单色光及单色光及的折射率。一束白光照射到一顶角，冕牌玻璃（，）棱镜上，使单色光在棱镜中的传播方向垂直于角的平分面。求从棱镜射出的单色光和之间的夹角。【分析与解】根据题给条件，白光以入射角进入棱镜后，单色光对称地进出三棱镜，偏向角有最小值；单色光的偏向角小于；单色光的折射率，偏向角大于。做出通过三棱镜的光路如图，由图可得，由折射定律可知白光中各单色光的入射角均为，单色光的偏向角，单色光的偏向角，那么

13、从棱镜射出的单色光和之间的夹角，由折射定律，得，；，； 于是得，入射白光经三棱镜的折射发生色散而使折射率不同的光与光射出棱镜后的传播方向有约的张角。现在来讨论近轴物在近轴光线条件下的球面折射，如图所示，球面为、两不同折射率的介质的分界面，为球面曲率中心，为折射球面中心，、在主轴上，物点距主轴，物距（根据笛卡儿符号法则，与光传播方向一致的长度取正，相反的长度取负），单心光束经间球面折射后会聚于，即为像点，像点距主轴（“”表示像在主轴下方），像距。根据费马原理，任一发光点所发光束经球面折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等，在图所示情况中，从发出的任一近轴光线例如的方程为

14、， 在近轴光线的条件下，与球半径相比，、以及入射角、折射角都是小量，且有，利用二项式定理对式展开并略去小量高次项得 要使所有从物点发出的光线到达像点光程都相等，必须满足与无关这样一个条件，即上式中含有、的各项应等于零，故有， 。 平行于主轴在介质方的入射光线折射后与主轴的交点称为像方焦点，点与其距离即像方焦距，以代入式即得，对称地，物方焦距；将此二式代入式可得。此即近轴光线条件下球面折射的物像公式，称为高斯公式。由图可知，在近轴光线条件下，则，这正是式所表示的像关于物的横向放大率。 透镜成像是两个折射面对光线作用的结果。设如图所示的透镜材料折射率为，物方介质折射率为、球面曲率半径为；像方介质折

15、射率为、球面曲率半径为，透镜厚度设为，物点在主轴上，物距，发出的近轴光线经球面一次折射所成像在主轴上，像距（这时假设球面不存在且球面右边被折射率为的介质充满），由球面折射的物像公式：， 再考虑光线经球面的二次折射，对该面而言，是入射光延长后的会聚点，即为虚物，物距为，经折射所成像仍在主轴上，像距，对球面有， 在薄透镜的情况下，由、两式消去得。这就是薄透镜成像的普适公式，若以物方焦距，像方焦距代入薄透镜成像的普适公式，亦可得高斯物像公式：。进而若将薄透镜置于空气中，焦距，则有。我们较熟悉的用几何方法推导出的薄透镜成像公式与该式相比，薄透镜成像公式中的、可正可负，“正实负虚”，高斯物像公式中、只用

16、正值，而加正、负号表示与光传播方向的一致或相反，例如物方焦距是，因为定义为从折射球面顶点算起到焦点的长度与入射光的方向是相反的。【例5】如图所示，一玻璃半球的曲率半径为，折射率，其平面的一边镀银。一物高为，放在曲面顶点前处。求：由球面所成的第一个像的位置；这一光具组的最后一个像在哪里？【分析与解】发光物体经球面折射所成的第一个像可运用球面折射的高斯公式：，其中物方焦距；像方焦距，则有，可得，即入射光经球面第一次折射后成平行光，物体上端点光束光路如图；图中示出此后平行光由平面镜反射仍成平行光而第二次由球面折射，成像在球面左侧距球面顶点处，由高斯公式得，即最后所成像在出射光线一侧距球面顶点处，是一

17、个倒立等大的实像。【例6】水中的发光体位于距盛水器皿壁处，从外面往器皿壁上贴一个平凸透镜，透镜在空气中的焦距等于。透镜和器皿壁是非常薄的，水的折射率为，而玻璃的折射率。物体位于透镜的主光轴上。求出并讨论像的位置与物体的位置的关系。作为特例，求出时像的位置和放大倍数。如果透镜是贴在器皿内壁，情况是否会发生变化？怎样变化？【分析与解】透镜和器皿壁都非常薄，不考虑器皿壁对光的作用而将平凸透镜视为薄透镜。平凸透镜平面曲率半径为，由，在空气中，以（或）、（或）代入，知凸面曲率半径。当透镜贴在器皿壁外面时，如图所示，物方介质为水，透镜的平面曲率半径为，根据薄透镜物像公式，即，由此式，当时，即像在透镜出射光

18、同侧，是实像；当 时，即像在透镜出射光的另一侧，是虚像；若，即所成像在距透镜的水中一侧成一放大虚像，。如果透镜是贴在器皿内壁，如图所示，此时物方焦距为，；像方焦距为，由高斯公式：，这时，当时，即在水中一侧距壁处成一放大虚像，。【例7】有一薄透镜如图所示，面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为和；面是球面，其球心与重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为。求此透镜材料的折射率（要论证）；如果将此透镜置于折射率为的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？【分析与解】对题给薄透镜，不需

19、要傍轴光线的条件也可会聚理想成像。我们先做出光路图如图，来自无穷远处主轴上物点的光线可视作平行于主轴，任意平行于主轴的光线入射到椭球面上任一点，为点椭球面的法线，入射角为，如若让该光经椭球面折射进入透镜中的传播方向沿，由于同时又是球面的球心，则再经球面折射将不改变传播方向而到达，即为像点位置。由椭圆几何性质知，法线是与两焦点、张角的平分线，；设椭球半长轴为，则；将正弦定理运用于，得，由该二式可解得，即此透镜材料的折射率应取。 如果将此透镜置于折射率为的介质中，并同样能理想成像，根据以上分析，应有，则椭圆的偏心率应满足。 实际运用的光学系统往往由多个共轴的折射面构成，可用上面所讨论的成像规律逐个

20、求解，但在解决数量很多的球面系统问题时，将面临大量的运算，这时，我们可以通过等效方法，把共轴系统简化成一个等效光具组来处理。包括两个折射面的薄透镜就是一个简单的光具组，我们已经看到薄透镜成像也遵守高斯公式，即等效于某个球面折射。空气中的薄透镜又是最简单的情况，其物像关系简化为，物方的任一点都与像方的一点共轭。许多光学助视仪器如放大镜、显微镜、望远镜等都是由透镜或透镜组构成，下面我们关注助视光学仪器的放大本领。 最简单的放大镜是一个单独的凸透镜，物体放在凸透镜的焦点里面一些，隔着透镜观察物体可看到正立、放大的虚像，如图。设物长，放在眼的明视距离处，肉眼直接观察物体时的视角，使用凸透镜后，让物的虚

21、像成在眼睛明视距离处，设像长，观此像时视角，故放大镜的角放大率。 显微镜由四个以上的透镜组合而成，其原理可用一个目镜为凸透镜和一个物镜为凸透镜采等效。如图，物镜焦距很小，用来成一实像，目镜的焦距大于，它的作用等同于放大镜。两镜共主轴，物体放在物镜焦点外面一些，由物镜成一倒立放大实像在目镜焦点里面，此像对目镜而言是物，再通过目镜成放大虚像在眼睛明视距离处。设两镜间距离（即显微镜筒长），对物镜，物体的物距接近，像距约等于，则物镜的横向放大率（像长放大率），对目镜，像对眼所张的视角；不用显微镜，物体的视角，则显微镜的角放大率。 天文望远镜是一种折射式望远镜，如图，物镜与目镜都是凸透镜，两镜共主轴，物

22、镜的像方焦点与目镜的物方焦点重合，筒长，物镜的焦距较大，用来成实像；目镜的焦距较小。无限远处天体各点发出的光对物镜而言，相当于平行光束，经凸透镜折射会聚于物镜焦平面，之后再经目镜折射在无穷远处成一虚像。由于肉眼直接看遥远的天体，视角，从目镜看像，视角，则望远镜角放大率。【例8】复式显微镜中物镜焦距为，目镜焦距为，两者相距，观察者明视距离为，被观察物体应放在物镜前多远处？显微镜的放大率是多少？【分析与解】题中已知目镜的焦距和像距，所以应先求出目镜的物距，现设为，有；。对物镜，像距，对物镜运用透镜公式：。再求总放大率。一次成像放大率为；二次成像放大率为，因此总的放大率为。即像长为物长的倍，像面积是

23、物面积的倍。【例9】讨论具有长焦距镜头的照相机摄远景的工作原理。【分析与解】最简单的照相机是由一个会聚透镜作为物镜，使景物在底片上成倒立缩小实像，由透镜公式，；其横向放大率。拍摄远景时，物距远大于像距（镜头到底片间距离），即，横向放大率，可知在物距比镜头焦距大得多时，相机镜头的横向放大率与焦距成正比。因此为了在底片上留下足够大的像，必须设法加大镜头的焦距，这正是远摄镜要采用长焦距镜头的原理。长焦距远摄镜可由前方的一个会聚透镜和后方的一个共轴的发散透镜组成，如图。图中从景物发出的一条平行于主轴的入射光先到达组合光具的前透镜，经其作用后的折射光应指向透镜的像方焦点，该光再入射在后面的发散透镜，经作

24、用，从光具组出射的光线与主轴交于，出射光线这样求作：过凹透镜光心作平行于向入射的光的副光轴，副光轴与的像方焦平面交于，为一副焦点；根据凹透镜性质与副光轴平行的入射光线，经凹透镜折射后，发散自副焦点，只需连接，并继续延伸且与主光轴相交即可。对系统而言，平行于主轴的入射光折射后会聚于主焦点，故即为系统的等效凸透镜的像方焦点。将出射光线反向延长与平行入射光交于，过点垂直于主轴的位置就是与光具组等效的一个凸透镜之所在，我们看到等效凸透镜的焦距变长了，因而这种相机镜头不但可成像，还可增大横向放大率。若两透镜间距，我们用几何方法来计算该系统的等效焦距。由图所示三角形相似关系可得，其中，而，于是有代入数据后

25、得。1、圆锥面的内表面镀上反射层，构成圆锥面镜。在圆锥形内沿轴拉紧一根细丝。要使细丝发出的光线在圆锥内面上反射不多于一次，圆锥形最小的展开角_。2、小路灯发出的光束在离灯处会聚成小光斑。在光传播的路径上放两个正方形平面镜，如图。两镜面的交线到灯的距离，并且垂直穿过光束轴。两镜面互相垂直，其中一个平面镜与光束轴交成角，则现在光束将会聚在离灯_处。3、由点光源发出的近轴光线经透明球形成像，像到透明球的距离为，如图。如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左边一半的平面上镀银，那么像的位置在_，与球的距离为_。4、深度为的水面上（）漂浮着厚的醇（）层，则水底距醇表面的像似深度为_。5、两块平面镜宽度均为，相

26、交成角，如图所示，构成光通道。两镜的右端相距为，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。试问入射光线与光通道的轴成的最大角度为多少才能射到光接收器上？6、湖湾成顶角为的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子在点，如图。从点到他离湖最近的点距离为，而到湖湾的一头，即到点的距离为。湖对岸点处有渔人好友的房子，点位置与点相对湖对称。渔人有一只小船，他可以速度沿岸步行或以速度乘船在湖中划行，他从自己家出发到好友家里去。求他需要的最短时间。7、等腰直角玻璃镜的底面和侧面是光滑的，而侧面是毛糙的，如图，棱镜的底面放在报纸上，一位观察者从光滑面看去，只看见报纸上一篇文章的一部分，且可见部分与应见部分之比为（按面积），试求玻璃的折射率。8、图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光路和透镜的后焦点。试用圆规和直尺，做出透镜所在位置和它的主光轴。9、利用薄凸透镜得到三齿的像，如图。三齿的底边位于主光轴上，。部分成像放大率，而部分的放大率，试求部分成像的放大率。10、在不透光的箱内直立着一根蜡烛，箱的后壁是平面镜，前壁嵌有透镜，如图，箱长为，在这光具组中观察到蜡烛火焰的两个像，并且像的大小相等。试求透镜的焦距。11、凸透镜后面距离（大于焦距）处放置有一块垂直于主光