二次项定理10大典型例题

1、(1)知识点的梳理1. 二项式定理：(a +b)n= C>n + Canxb + + C；af + + C；b" (ne/V*),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 二项式系数:展开式中各项的系数(0丄2,，仍. 项数：共(r + D项，是关于"与b的齐次多项式 通项：展开式中的第厂+ 1项C：dT叫做二项式展开式的通项。用7；+I = Can-rbr 表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有(” + 1)项。 顺序：注意正确选择其顺序不能更改。(" + )”与 +旷是不同的。 指数："的指数从"逐项减到

2、0,是降幕排列。“的指数从0逐项减到，是升專排列。各项的次数和等于 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是WU，,C：,c：.项的系数是"与的系数(包括二项式系数)。页脚.4. 常用的结论：令“ =1, =圮（1 + X）" =（7：+；+ （7；兀2+ + （7：兀+ + （7：（0"）令a = l,Z? = -x,(1 一力” =C：-C：x + G” 一+ +(_ 1)c：x”(ne/v4)5.性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即eg邛，CU二项式系数和：令a = b = ，则二项式系数的和为U + C：+

3、C；+. + C：+. + C；：=2”,变形式 V + C： + + G； + + C； = 2 ” 一 1。 奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 “ =1上=1,则 U - c* +c：Y+（-1）"C；： =（i-i）H = o, 从而得到：C：+ C：+C：+C,7+ = ©+ C；+ C：E+ = *><2" = 2心乙 奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a + x)" = C封亍 + Can-lx + Cy2x2 + + C；°xn = °。+ q* + «rv2 + +(

4、x + a)n = Cxn + Caxn + C討严 + += axn + +如工 + a0令x = 1,贝lja()+ a】+ 冬 + 如+ % = (a +1)”令尢=_ 1，贝 ljd() q + ci-, ciy + + % = (a 1)"(2)+得,+冬+ % + 5 =(" +$+("_“(奇数项的系数和)-得,绚+佝+佑+=%+1）" _ a j）"（偶数项的系数和） 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数”是偶数时，则中间一项的二项式 系数C：取得最大值。如果二项式的無指数長奇数时，则中间两项的二项式系n-1 Ji+l数C产，

5、C产同时取得最大值。 系数的最大项：求(a + bx)1'展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A > A为厲，4，,4心，设第广+ 1项系数最大，应有；+，- /,从而解出r来。IA+1 n 4+2(2)专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例：c,1, + C 2 6 + C < 62 +. + C； - 6n1 =.解：(i + 6)" =C； + C6 + C：-62 + C：-6' + . + C：.6” 与巳知的有一些差距，/.C；1+C6 + C62+. + C；-6w-,=l(C；1-6 + C62+.+ C；.6n

6、)O= ；C；+C：6 + C；62+. + C；6"l)=4(l + 6)"l = 2(7"l)ooo练：C：+3C；+9C；+. + 3"y =.解：设S”=C：+3C：+9C；+. + 3"“C；,则3S” =G：3 + C：32+C；3'+. + C；：3” =C：+C：i3 + C：32+C；3'+. + C；3”一1 = (1 + 3)”一1e (1 + 3)" 14"一1= 丁题型二：利用通项公式求F的系数；例：在二项式（£ +,的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有疋的项的 系数？

7、解:由条件知C；-2 = 45 ,即C；=45, /.用_八_90 = 0 ,解得n = -9（舍去）或« = 10, 由1210-r 2CTr+l = C；0（x）i0-r（xV = Coxr,由題意罟+ 孑=3,解得尸=6,则含有x3的项是第7项：严G討=210+ ,系数为210。练：求（宀日展开式中塔的系数?解：刀+严C；（F）I（丄）=C；£Z（一丄）=C$（丄）*8®,令 183厂=9,则 2x22r = 3故"的系数为C；（2 2题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式（宀*“的展开式中的常数项?M：的2严r =C1/0()rx2

8、6; 2",令20-|-r = 0 ,得广=8,所以乙乙练：求二项式（2一0的展开式中的常数项?解：7=C：（2x）i（-l）J）y-l）y：2i（；）、i,令6-2r = 0,得厂=3,所2x2以 7；=（-l）3C=-20练：若（F+丄）"的二项展开式中第5项为常数项，则”=.X解：7；=C；(x2yz(ly=c；xer 令2斤一12 = 0, #/? = 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式（仮-嶺）9展开式中的有理项？1 I27"?7 _ 厂解:7；.,= C；（匹）i（ 一卡丫 = （l）c為k ,令二_ eZ,（O<r&l

9、t;9）r = 35£r = 9,所以当 r = 3时，迁工=4, 7；=(-1)3C>4=-84x4,77 r当厂=9 时，-=3, 710=(-1)3C>3=-x题型五：奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;令兀=-1，则有如+q + =0,，令x = l，则有兔q +勺一 H（1）"© = 2",将（D-得：2（q +偽+）=一2"，二q +=2"“， 有题意得，-2n-* =-256 =-28, :.n =9 o练：若（”的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：C； +C；+C：+C；r

10、 + =+ C； + + C；r+, + = 2n-1,2"" =1024,解得n = ll所以中间两个项分别为” =6丿=7 , 7；+1= C：(A6(5f4)5 = 462 才，Tm =462-x题型六：最大系数，最大项；例：已知丄+ 2羽“，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数 2列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？A?:C,f + C,t = 2C,；,722 -21/7 + 98 = 0, M出 “ =7或71 = 14,当 =7 时，展开式中二项式系数最大的项是7；和7；.?；的系数= C；(2字， 7；的系数= C；G)32'

11、70,当” =14时，展开式中二项式系数最大的项長人, 乙7；的系数=C?4(|)7 27 = 3432。练：在(“ +沪的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数加，则中间一项的二项式系数最大，即7；” =Til+ltJ也就長第川+1项。练：在(|-r的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项 是多少？解：只有第5项的二项式最大，则£ + 1 = 5,即心8,所以展开式中常数项为第2七项等于C；G)2=7乙练：写出在(a-b)1的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等， 且同时

12、取得最大值,从而有7>Y詁芳的系数最小，7；=C>即系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(g + 2x)”的展开式中系数最大 的项？解：由 C,? + C,!+C；=79,解出 212,假设心项最V(l + 2x),2=(l),2(l + 4.r)12乙厶=(C24r >C-l4rl到9.4S10.4,又v0<r<12,lA+CA+2 匕；4、6了4川r = IO,展开式中系数最大的项为心，有几=(叱；4呢。=16896+°练：在d + 2x)10的展开式中系数最大的项長多少？M：假设g项最大，严邙2、r4+1>A JcC-2-解

13、2(117)"lA.1 N 心2 久 2厂 > Cf 2別， r + l>2(10-r)6.3<<7.3, Xv0<r<10, /.r = 7,展开式中系数最大的项为7i=G：27F=i5360J题型七：含有三项变两项；例：求当(F+3X + 2)'的展开式中x的一次项的系数?解法：(x2+3x + 2)5=(x2+2) + 3a 7；+1=C；U2+2)5-r(3x)r,当且仅当厂=1时，丁冲的展开式中才有x的一次项，此时Tr=T2=Cl(x2 + 2)43x 9所以得一次项为CC；243x它的系数为C；U2°3 = 240。解

14、法：(x2 + 3x + 2)5 = (x +1)5(X + 2)5 = (Cfx5 + Cx4 + + C； )(Cx5 + Cx4 2 + + C； 2：)故展开式中含x的项为C；aC25 + C：x24 = 240x ,故展开式中x的系数 为 240.练：求式子(|x| + l-2)3的常数项?解:设第厂+1项为常数项，则心yw話=(一1)匕|严得 62广=0, r = 3,.7；+严(-1)叱：=-20 题型八：两个二项式相乘;例：求(1 + 2窃(1-切“展开式中F的系数.解：(l + 2x)3 的展开式的通项是 C? .(2xyn=C；.T.x'(1-A-)4 的展开式的通

15、项是 q-(-A-)n=q-r-/ 其中加= o,i,2,3,“=o,i,2,3,4,令加 + n = 2,则加=0 且 =2, m = 1 且 =1, m = 2且"=0,因此(1 + 2x)3(l x)4的展开式屮F的系数等于c；. 2° C; - (-1)2 + C-2,-C；.(-l),+Cj-22-C； - (-1)° = -6练：求（1 +恢）6（1 + *）®展开式中的常数项.Iwn4m-3/t解：（1 +賓）6（i + f）“）展开式的通项为C；”庐=C：”CdxF其中”。"，站“讥皿当且仅和“叫鳥m = 3,n = 4,m =

16、 6,sksn = &吋得展开式屮的常数项为c：> - q + C： + C： - cfo= 4246.练：已知（1 + "小（"丄）"的展开式中没有常数项/ e N且2 < / < &则"=.X解：（x +A）"展开式的通项为c；x" =c：疋7通项分别与前面的三项相乘可得xC：.屮亠C；.十4",©严4=.展开式屮不含常数项,2<n < 8.n工4厂且料H 4r +1且川工4r + 2,即办H 4,8且n H 3,7且n H 2,6,/. n = 5题型九：奇数项的

17、系数和与偶数项的系数和；例：在匕-血)2°°6的二项展开式中，含册奇次幕的项之和为s,当_v = V5时,s =解：设(x - 迈严' =a0+q" + a2x2 + a3x3 + +°2006*'06(-尤-血)2006"+a2x2+ .+«20()6a:2006® 一 ®W2(qx+a3x3 + a5 + +n2005.v20(>5) = (x - a/2)2<XXi-(x+a/2)2<XI6/. (x->/2)2(x)6 展开式的奇次幕项之和为 S(x) = -(x-

18、>/2)2006 - (x + >/2 )2(X)6 23x2006当x =血时,5(>/2) = 1(>/2-忑产-(x/2 + 血严=-二一=-2呎2 2题型十：賦值法；例：设二项式（3奴+丄）”的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为x$,若p + s = 272,则"等于多少？解：若（3奴+丄）” =4+中+心：+勺0，有卩=4+5+勺，x5 = C+-+C；=2H,令x = l 得P = 4J 又“ + s = 272.即4+2 =272 =>(2“+17)(216) = 0解得练：若3yxL< X )2=16或2=-17(舍去)，

19、 =4的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少？解：令x = l,则卜仮-冷”的展开式中各项系数之和为2"=64,所以” =6,则展开式的常数项为C；（3仮），（-*）' =-540.练：的值为若(1 一 2x)2"" = d()+ 如疋 + + a2OO9x2IM>，>(x e /?),则牛 + * + +2 2 2 解：令“*，可得4+今+守+.+笋= 0,.冷+笋一。在令“ 0可得q = l,因而今+守_ + . +笋 =_1.练： 若(x-2)“ = a5x5 +a4x4 + a3xy +a2x2 +axl +q),贝9&#

20、174; +a2+a3 + a4+a5 =解:令 x = 0 得 q = 32,令 x = 1 得 q +a+ 0 + 5 + a4 +a5 =-1:.ax + a2 + © + 4 + y = 31 题型十一：整除性;例：证明：32n+2-8n-9(ne)能被64整除证:32n+2-8/?-9 = 9'小 一一9 = (8 +1),+1-8/?-9=酪肿 + W + + C：82+C加+C：Z-9=C°_, 8,+1 + C；I+18n+-.- + C；-182 + 8(/7 + l) + l-8n-9=C加叩+C：+崔+ C,：肾由于各项均能被64整除32H+2

21、 -8/-9(n e M)能被64整除1、(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x) = (x-l)11,偶次项系数之和是斗匕1)=(_2屮/2 = 10242、CJJ+3C*+32C; + + 3nC：=2、2、4"h的展开式中的有理项是展开式的第项.3、 3,9,15,214、(2x-l)5展开式中各项系数绝对值之和長4、(2x-l)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+l)5展开式系数之和，故 令x=l,则所求和为3；5、求(1+x+x2) (1-x)10展开式中十的系数.5、(1 + x + x2)(l-x)10 = (1 -x3)(l-x)9,要得到含£的项，必须第一个因式中的1 与(1-x)9展开式中的项C：(-x)4作积，第一个因式中的一£与(1-x)9展开式中的 项C；(-x)作积，故(的系数是C；+C； = 135.6、求(l+x) + (l+x)2+(l+x)“展开式中£的系数.6、(l + x) + (l + b+(l + x)J(3)i + x)%(x + m + l),原式中1-(1 + X)XX实为这分子中的丘，则所求系数为cj7>若f(x) = (1 + x)m + (1 + x)n(m n