微分方程在信号与系统当中的应用探究

1、 编号 学士学位论文微分方程在信号与系统当中的应用探究 学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日 中文摘要微分方程是一门表述自然法则的语言，理解微分方程的性质，是许多当代科学和工程的基础，微分方程是关于单变量的函数，一般可以认为是时域变量。本文主要由三个部分组成，第一部分是简单的介绍微分方程和微分方程的解法，在第二部分是用例子更深刻的了解微分方程的解法和把微分方程在信号与系统当中如何应用，用留数法求出在连续时间系统的s域分析中的逆拉普拉斯变换。 关键字：微分方程；解法；拉普拉斯逆变化；留数目录中文摘要1引言31微分方程41.1微分方程概念41.2一

2、阶微分方程与解法41.3 二阶微分方程51.3.1二阶常系数齐次线性微分方程及其解法51.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法52用拉普拉斯变换法解微分方程62.1求逆拉普拉斯变换82.1.1用部分分式分解求解逆拉普拉斯变换82.1.2用留数定理求逆拉普拉斯变换113举例子解释微分方程在信号与系统当中的应用11总结15参考文献16致谢17引言微分方程是一门表述自然法则的语言，理解微分方程的性质，是许多当代科学和工程的基础，微分方程是关于单变量的函数，一般可以认为是时域变量。我们把信号不能用眼睛观看的，只有用一些仪器能测量出来的，所以，我们把信号按一定的数学模型来解决较方便。在我们的信号与系

3、统课程当中的连续时间系统的时域分析，零输入响应与零状态响应，冲激响应与阶跃响应等章节都由微分方程来解决，还有在电路中的电感器和电容器上的电压，电流等一些参数跟微分和积分有密切关系。1微分方程1.1微分方程概念 一般的说，凡表示未知函数与未知函数的导数（微分）以及自变量之间的关系式，叫做微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数，叫做微分方程的阶。例如： 如果把某个函数以及他的导数代入微分方程，能使该方程成为恒定式，这个函数成为微分方程的解。另这些以外微分方程的解有通解和特解两部分组成。如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。如果给出微分方

4、程的解或其导数在自变量的特定取值时的具体取值，这种定解条件叫做初始条件。1.2一阶微分方程与解法基本类型形式解法可分离变量法齐次方程一阶线性齐次表1 常见几种一阶微分方程 1.3 二阶微分方程 二阶微分方程有特殊二阶微分方程，二阶线性微分方程，二阶常系数现行微分方程等几种不同形式的微分方程，在我们信号与系统课程当中最常用的是二阶常系数现行微分方程，所以我们主要讨论二阶常系数现行微分方程。它有二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程两种。1.3.1二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 求解步骤： 写出方程的特种方程； ；(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根表21.3

5、.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 微分方程特解函数形式与激励函数的形式有关。通常有观察自由项试选特解函数式，代入方程后球得特解函数式中的待定系数，即可给出特解。 若由几种激励函数组合，则特解也为其相应的组合。是待定系数。若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：倍乘表中特解。若这种重复形式有次（特征根为重根），则依次增加倍乘绪项。(常数)表3 与几种典型激励函数对应的特解2用拉普拉斯变换法解微分方程运用拉普拉斯变换方法，可以把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。从数学角度来看，拉普拉斯变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。它的优点表现在： （1）求解

6、的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解（齐次解）。 （2）拉普拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算。 （3）数函数，超越函数经拉普拉斯变换可转换为简单的初等函数。 （4）拉普拉斯变换把时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数乘法。 （5）利用系统函数零点，极点分布可以简明，直观地表达系统性能的许多规律。 序号 1冲激23阶跃456789101112131415表4 一些常用函数的拉普拉斯变换2.1求逆拉普拉斯变换 利用拉普拉斯变换方法分析电路问题时，最后需要求函数的逆变换。我们往往用部分分式分解法，用留数定理法来求解函数的逆变换。2.1.1用部分分式分解

7、求解逆拉普拉斯变换 我们已经知道，微分算子的变换式要出现，而积分算子包含分子式，因此，含有高阶倒数的线性，常系数微分（或积分）方程式将变换成的多项式，或变换成两个的多项式之比。它们称为的有理分式。一般具有如下形式： 【式（1）】式中，系数和都为实数，和是正整数。将的分母可写作以下形式 【式（2）】式中为方程式的根，乘极点。按照极点之不同特点，部分分式分解方法有以下几种情况。极点为实数，无重根假定均为实数，且无重根 。我们为例: 【式（3）】分析部分分式分解法。，这时可以分解为以下的形式 【式（4）】 首先我们要找到个系数之值。为求得，以乘【式（4）】的两端，我们可得,我们利用数学归纳法能得到最

8、后我们查表4可求得逆变换对于的情况，可以用长除法将分子中的高次项提出，余下的部分满足，仍按以上方法分析。包含共轭复数极点 首先考虑下示函数的分解情况式中，共轭极点出现在处表示分母多项式中的其余部分， 式（1 ） 求得 不难看出，与呈共轭关系，假定则 如果把式（1 ）中共轭复数极点有关部分的逆变换以 有多重极点考虑下示函数的分解 式中在处，分母多项式有重根，也即阶极点。 在这里,表示展开式中与极点无关的其余部分。我们要找出等系数，观察展开式我们能知道 但是等系数不能再采用类似求得的方法。所以我们首先上式我们再三取微分可得到，用数学归纳法可得到最后我们查表四取逆拉普拉斯变换。2.1.2用留数定理求

9、逆拉普拉斯变换我们用这种方法是要取表达式在信号与系统这门课取上式留数时按照表达式的形式利用下面的两种规则。规则若为的一级极点，则。规则若为的级极点。3举例子解释微分方程在信号与系统当中的应用 求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全向应。系统微分。我们首先讨论一下下列几个实列问题，更深刻的理解一下各种形式的微分方程的解释方法利用拉普拉斯逆变换方法和微分方程在信号与系统当中的应用。例1：在连续时间系统中，起始点的跳变从负0到正0状态的转换。 , 式中第一项为自由响应，第二项为强迫响应。求零输入响应求零状态响应将以上二者合成完全响应例2：已知以上题一样，求用拉普拉斯变换法求出全响应。齐次我们取你拉

10、普拉斯变换在连续时间系统的s域分析中我们常用拉普拉斯逆变换函数法来解问题的一部分。下面我们看例子更深刻的了解利用拉普拉斯逆变换。例3：求下示函数的你拉普拉斯变换分别求出 求逆拉普拉斯变换解二：利用留数法 总结通过写这篇论文，我对微分方程在信号与系统当中应用的了解更深一步了，掌握微分方程在信号与系统中的应用以及学会了微分方程的各次的解法和思路。及深深的体会到了微分方程在理论和实际中的应用。微分方程在数学上的纯数学方程形式的意义和运用到信号与系统当中之后的意义以及区别，又学到了怎样把数学方程连接到物理学上面来。同事我由深刻的感觉到了一个研究员应该具备怎样的心理素质，应该怎样对待科学这个问题。总而言之，我对微分方程在信号与系统当中的应用有了比较系统性的了解。参考文献1阵君里.信号与系统引论M.高等教育出版社，2006年第四版：154-155.2范世贵.信号与线性系统M.西北工艺大学出版社,2006年第二版：94-96.3吴大正.信号与线性系统分析M.高等教育出版社，2005年第四版:104-106.4丁双双.微积分M.中国海洋大学出版社:365-367.5张天德.微积分M.新华出版社:207-209.6四川大学数学系高等教学教研室.高等数学M.高等教育