运筹学试题及规范标准答案11

1、运筹学试题及答案一、填空题：（每空格2分，共16分）1、 线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。2、 在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。3、 “如果线性规划的原问题存在可行解，贝U其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X2Xi+9/14X 2 <51/14-2X1+X2WI/3X1,X2>0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X1 =3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29 ，我们现在要对 X1进行分枝，应该分为 X1 &l

2、t;1 和 X12。5、 在用逆向解法求动态规划时，fk（Sk）的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。6、 假设某线性规划的可行解的集合为 D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D和B的 关系为 D包含B7、已知下表是制订生产计划问题的一张 LP最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。XbbX1X2X3X4X5X4300-213X14/310-1/302/3X210100-1Cj-Zj00-50-23213问：（1）写出 B-1=1/3 .0 2/30 0 1对偶问题的最优解：丫=（ 5，0，23，0，0） T某一个非基变量的检验数8. 线

3、性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有为0；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题 _ 无解;10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi=bi不符合整数要求，INT (bi)是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：XiINT (bi)+ 1和 Xi<INT (bi) ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。11. 知下表是制订生产计划问题的一张 LP最优单纯形表(极大化问题，约束条件均为“w”型不等式)其中X4,X5,X6为松驰变量。XbbX1X2X3X4X5X6X12110201X32/3001104X510-20

4、116Cj-Zj000-40-9问：(1)对偶问题的最优解：丫二(4,0,9,0,0,0) T(2)写出 B-1 =2 0 11041 1 6二、计算题(60分)1、已知线性规划(20分)MaxZ=3X 1+4X2X1+X 2 W52X1+4X2W123X1+2X2W8(X1,X2>0其最优解为：基变量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/20000-3/4-1/21）写出该线性规划的对偶问题。2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一

5、种产品X6，其P6=（2,3,1） t，C6=4该产品是否应该投产？为什么?解：1）对偶问题为Min w=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y3y1+4y2+2y3>4y1,y2 »2）当C2从4变成5时，04=98o5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。3）当若b2的量从12上升到15r rX = 9/8< j29/81/4由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化4）如果增加一种新的产品，则P6 =（11/8,7/8 ，- 1/4） To6=3/8>0所以对最优解有影响，该种产品应该生产2、已知运输问题的调运

6、和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）产地B1B2B3产量A159215A231711A362820销量181216解：初始解为B1B2B3产量/tA11515A21111A3181120A CA C销量/t1812161B2B3产量/tA1513015A2-20011A300020销量/t181216计算检验数由于存在非基变量的检验数小于 0，所以不是最优解，需调整调整为：BiB2B3产量/tAi1515A21111A3712120销量/t181216重新计算检验数B1B2B3产量/tA1513015A202211A300020销量/t181216所有的检验数都大于等于0，所

7、以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给 4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必 须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程 的报价如表2所示：（15 分）项目投标者、ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最优解为：厂X= 0 1 0 0p 0 0 00 0 1 00 0 0 1总费用为504. 考虑如下线性规划问题（24分）Max z=-5x i+5x 2+13x 3s.t. -xi+x2+3x 3 <2012x 1 +4x 2+10x 3 <90xi, X2 , X3

8、 X）回答以下问题：1 ）求最优解2）求对偶问题的最优解3 ）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。4）求新解增加一个变量X6, C6=10 , a16=3 , a26=5，对最优解是否有影响5）C2有5变为6，是否影响最优解答：最优解为1)Cj-5513009CbXbbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019Cj-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/346/322/30-10/3170/22Cj-Zj-2/32/30-13/3013X3185/3-34/3012/11-1/22335X235/1123/1110-5

9、/113/22-68/300-1/11-1/113最优解为 Xi=185/33, X 3=35/112) 对偶问题最优解为Y=( 1/22,1/11,68/33,0,0) T3)当b1=45时X= 45/11-11/90由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化4） P6 =（3/11,-3/4） T朋=217/20>0所以对最优解有影响。5 ）当 C2=6（ti=-137/3304=4/11o5=-17/22由于04大于0所以对最优解有影响5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集（割集），每弧旁的数字是（Cj , fj ）。（15 分）V3Vt(6,0)(3,0)V2Vs(9,7)(4,

10、4)(4,1)(8,8)VtV3(6,6)6. 考虑如下线性规划问题（20分）Max z=3x i+x 2+4x3s.t.6xi+3x 2+5x3 <93x i +4x 2+5x 3 <8xi , X2 , X3 X）回答以下问题：1）求最优解；2 ）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；3 ）若问题中X2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化;4）C2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。Cj31400CbXbbX1X2X3X4X50X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/53/54/5101/5Cj-Zj3/5-

11、11/500-4/53X11/31-1/301/3-1/34X37/5011-1/52/5Cj-Zj0-20-1/5-3/5最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52）对偶问题为Min w=9y1+8y26y1+3y2 >33y1+4y2 >15y1+5y2 >4y1,y2 >对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/53）若问题中X2列的系数变为（3, 2） T则 P2' =（1/3,1/5） To2=-4/5 v 0所以对最优解没有影响4）C2由1变为202=-1 v 0所以对最优解没有影响7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集（割集），每弧旁的数

12、字是（cj , fj ）。（10 分）(5,3)(7,5)V2(5,4)V4解:Vt(5,4)(7,7)V4V2 (5,5)8.某厂I、U、川三种产品分别经过最大流=11A、B、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表:In设备能力（台 .h）A111100B1045600C2263001064单位产品利润（元）1）建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。（15分）2）产品川每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品川每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。（4分）3）产品I的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。（2分）4）设

13、备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。（3分）5）如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。（3分）6）如合同规定该厂至少生产10件产品川，试确定最优计划的变化。（3分）解：1 ）建立线性规划模型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x3 <10010x1+4x2+5x3<6002x1+2x2+6x3<300xj >0,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为：X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6） ' =（100/3,200/3,0,0,0,100）' Z*=2200/32）

14、产品川每件利润到20/3才值得生产。如果产品川每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6）' =（175/6,275/6,25,0,0,0）'Z*=7753）产品I的利润在6,15变化时，原最优计划保持不变。4）设备A的能力在60,150变化时，最优基变量不变。5）新产品值得生产。6）最优计划的变化为：X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6）' =（190/6,350/6,10,0,0,60 ）'Z*=706.79. 给出成性规划问题：（15分）Min z=2x i+3x 2+6x 3xi+2x 2+x 3 >

15、;2“-2x1+x 2+3x3 <-3Xj»j=1,，4要求：（1）写出其对偶问题。（5分）利用图解法求解对偶问题。（5分）（3）利用（2）的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。（5分）解：1）该问题的LD为：MaxW=2y1-3y2y1-2y2 <22y1+y2 <3y1+3y2 <6y1 >0,y2 <02）用图解法求得 LD 的最优解为：丫*=（y1,y2） ' =（8/5,-1/5）'W*=19/53）由互补松弛定理：原问题的最优解为：X*=（x1,x2,x3）' =（8/5,1/5,0）'10. 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地）,生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生 产量，各销售点的销售量（单位.t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中，要求研究产品 如何调运才能使总运量最小？ （10分）B1B2B3B4产量A141241132A22103920A38511644销量1628282