数理统计茆诗松第二章自测题

1、数理统计茆诗松第二章自测题统计学院数理统计数理统计第二章自测题自测题时间：120分钟，卷面分值：100分'填空题：(每题2分，共10分)得分 1 设总体X服从参数为 的泊松分布，Xi, X2,Xn是取自X的随机样本，其均值和方差分别为X和S2，如果? aX (2 3a)S2是 的无偏估计，贝 y a=。2 设总体X的密度函数为f(x,)e(x0,xX1,X2, ,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量为3. 已知？,？为未知参数 的两个无偏估计，且？与?不相关，D(?) 4D(?)。如果? a? b?也是 的无偏估计，且是？,？的所有同类 型线性组合中方差最小的，则a=,

2、 b=。4. 设X是在一次随机试验中事件 A发生的次数，进行了 n次试验得一组样本X1, X2,Xn,其中事件A发生了 k次，则事件A发生的概率 为p，?的最大似然估计为；p(1-p)的矩估计为。5. 设总体XN(卩？)，卩？均为未知参数，?,?, ? ? (n >3)为来自总体X的一个 样本,当用 2?- ?，服 0.2?+ 0.3? +0.5?作为u的估计时，最有效的二、选择题：(每题3分，共24分)得分1. 设总体X服从a,b(a<b)上的均匀分布，a、b 均为未知参数，?,?，? ?为来自总体X的一 个样本，则？?与?的最大似然估计量为()(A)?= max ?2,?= m

3、in ?2 (B)? =1 < ? < ? 1 < ? < ?min ?2,?= max ?2L 1 < ? < ?1 < ? < ?( C ) 供=?- S2,? = ?+ S2(D)盟=?+ S2,?= ?- S22 设总体X的概率分布为X0132PP2 2 (1 )1 22其中(0< <1/2)是未知参数，从总体 量为8的一组样本，其样本值为3,1, 2, 3,则参数 的矩估计值为(A) 1/3 ; (B)1/4; (C)1/2 ; (D) 1/83. 设？和?2是总体参数 更有效，是指(A)E(?)E(?)，且(C)D(?)

4、D(?)；(D) E(?) E(?),且D(?)D( ?2)X中抽取容1, 3，)。0, 3,O的两个估计量，说)。(B)E(?) E(?)；?比?24. 设X1,X2, ,Xn是来自总体 X的样本，D(X)= 含口 S2 n (Xi X)2，分别为样本均值和样本方差,氏，2 n (Xi X)2i 1 n 1 则()。(A) S是0勺无偏估计 然估计(C) S是舶相合估计立5.设？?同时满足 lim ? = B,m ? = 0, ? 乂? 乂则下列结论正确的是(a)y?是 e的有效估计量 是e的无偏估计量(C)丫?是 e的相合估计量(B) S是o的最大似(D) S与？相互独(B) Y?(D)A

5、 和 C同时正确6.设Xi,X2, ,Xn是来自总体X的样本，E(X)=仏D(X)=则可以作为3的无偏估计量的是()。(A)当卩为已知时，n；(B)当卩为i in已知时，n(X;i i n 1(C)当卩为未知时，"匸；(D)当卩为未i i n知时，nd_£。i i n 17 .设？是参数 的无偏估计量，且D(?) 0，则71()是2的无偏估计量。(A)定；(B)不一定；(C) 一定不；(D)可能。8.设用普通的最小二乘方法去估计线性模型， EX=M e,要使得参数估计为最好线性无偏估 计需要满足()(A) M列满秩，Var(X)= ?V (V对称的正定 阵)(B) Var(

6、X)= ? (I 单位矩阵)(C) M列满秩，Var(X)= ? (I单位矩阵)(D) (A)和(0都对三、判断题：(每题1.5分，共15分) 得分1. ()设总体XN( , 2), , 2均未知，Xi,X2,X是来自X的样本，贝US2 n (X| X)2 是 2 的 UMVUE。i i n2. ()未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。3. ()对C-R正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。4. ()用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。5. ()用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。6. ()未知参数的无偏估计为相合估计。7. ()费希尔信息量总是存在的。8.

7、 ()对C-R正则族，无偏估计的方差下界可以任意小。9. ()参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。10. ()在贝叶斯统计中，对给定的总体，参数是随机的；参数估计由先验信 息决定。四、计算题(共51分)1 . (8分)设总体X的概率密度函数为6X/、°f(x, ) F x), 0 x ,其中参数0未0,其它，知，设Xi, X2,Xn是来自总体X的样本，求 的矩估计量？，计算？的方差D(?)，并讨论？的无偏 性。得分2 .(12分)设总体X的概率密度为r 2(x)f(x；) 2e0 ，X ，其中参数0为未知，从总体中0, x ,抽取样本Xi, X2,Xn，其样本观察值

8、为xi,X2,x n，(1) 求参数的最大似然估计$ ；(2) 讨论$是否具有无偏性；(3) 若$不是 的无偏估计量，修正它，并由此指出的一个无偏量估计$ O 讨论$是否具有相合性； 得分3. (6分)一个人重复的向同一目标射击，设他每 次击中目标的概率为p,射击直至命中目标为止。 此人进行了 n(n 1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为X1, X2,，Xn,试求命中率P的矩估计值 和 最大似然估计值 。 得分4. (11)设 Xi, X2,Xn 是来自 Ga( a, 的样本，a> 0已知，其密度函数为；p(X； , )x 1e x, x 0.1试求参数?的UMVU,并判断是否为有效估

9、计。5. (8)设总体为均匀分布U( e ,0 + 1),的先验分布为均匀分布U (10,16 ),现有三个观测值： 11.7,12.1,12.(1)求啲后验分布(2)求贝叶斯估计以及方差。6. (6)对线性模型EX M 2，其中M为列满秩阵，Var(X) 2II为单位矩阵，使用普通最小二乘方法计算参数 的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无 偏的？数理统计第二章自测题参考答案一、填空题：1. 1; 2. X i ； 3. a=0.2, b = 0.8; 4.(?/?),(k/n)(1- k/n) ; 5.夕？【提示】1 因为 E(X) D(X)，故 E(X) E(S2)，又 E(?)，即

10、 E(aX (2 3a)S2) a (2 3a) ，解得 a g。3 由题意a , b应使得E(?)且D(?)达到最小。已 知 E(?) E(?),Cov(?, ?) 0 , E(?) aE(?) bE(?) (a b)a b 1 , b 1 a ,D(?) a2D(?) b2D(?) 2cov(?, ?) (4a2 (1 a)2)D(?) (5a2 2a 1)D(?) 令f(a) 5a2 2a 1，求f ( a)的最小值点为a = 0.2,则 b= 0.8。4. 因为X服从两点分布，则E(X)=p，矩估计值 ? 1 n Xi，代入p(1-p)可得其矩n i 1 n估计。设(X1, X2,Xn

11、)是X的一组样本观察值，则p的似然函数为nnnxn 为L(p)pXi(1 p)1 Xi pi1 (1 P) i1pk(1 p)n ki 1两边取自然对数为In L(p) kin p (n k)l n(1 p),令晋0，得似然估计值为? n，由最大似然估计的不变性，可得？的最大似然估计为(?/?)?5. D(2?- ?) = ?,?= ?; D(0.2? +、1920.3? + 0.5?)=命？?.二、选择题：1. (B)； 2. (B)； 3. (D)； 4. (C);5. (C)6. (A)；7. (C) ；8.( C)【提示】1.易得a和b的最大似然估计分别为?= rnin ?= rnax

12、 ?,再由最大似然估计的 1 n n 1 n ? n ?不变性可得。2. E(X)=3 4，故？子。代入样本均值的观察值X 2，得? 4。44. S2是?的无偏估计，但S不是o的无偏估计； (n-1)/n S2是？的最大似然估计，所以 v(n- 1)/n?是 o的最大似然估计；只有当总体是正态分布时，才有S与？相互独立。6. E 1 (Xi )2 1 E(Xi )2 1 n 2 2。niinn7. E ? D ? E ?2 D ?22。三、判断题：1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8.;9. ; 10.;【提示】3. 对C-R正则族，有效估计一定是一致最小方差

13、无偏估计，但反过来，由于 UMVUE的方差不一定能达到C-R下界，所以UMVUE不一 定是有效估计。4. 设X1, X2,Xn为来自总体U(, 1)的一个样本，其中参数未知，似然函数 为nL( )f(X；)i 11,X1,X2,L ,Xn0,其他，1,要使L() 1，须满足min x, max1 i n1 i n1，所以，max X 11 i nmin xi，1 i n?即 满 足 max Xi 1 g(X1,X2, L ,Xn) minXi1 i n1 i n的统计量g(xX2丄,Xn)都是的最大似然估计量。10. 贝叶斯统计中，参数确实是随机的，但是参数值也是由先验信息和样本信 息同时决定

14、的。四、计算题2 Q1【解】因为E(X) 0弘(3 X)dx 2，所以-X ,的矩 估计量为？ 2X。D(0 4D(X) 4D凶。n3 2 2 因为 E(X2)06x(3 X)dx 鴛,所以 D(X) E(X2) (E(X)2 20 ,2D(?) 5-，又E(?) 2E(X)，所以是无偏的。5n 772【解】(1)似然函数为-L( )f(Xi；)i 1-2e2(x)Xi0,X2丄，X-其他，当 X1> , X2>X -> 时，L( )>0，取对数，得-l- L( )-1-22 Xi 2-,i 1因为空严2- 0，以L()单调增加，因此 越大，L()越大，但VX1, X2

15、,X -,故取 的最大 似然估计值为？ mi-(X,X2,L ,x-)，于是 的最大似然 估计量为mi-(X1, X2, L ,X-)。X0,设总体X的分布函数为F( x) f (t)dtFmin(z)1(1 Fx( z)n1 e2n(z0,f min (z)Fmin(z)2ne2n(z),0,因为E(3zf?(z)dz2n ze2n0)dx12n所以$不是的无偏估计量。(3)取卩$ 1，则E(卩)E($舟)是的无偏估计量。E($)12n,于是即$(4) 由 于 E?= 肩？?2?(?-?21?C1D(? = ?+?+?- (?+乔? (?？+ 2?+ 1)2?2+ ?+ ?,所以32 f 0

16、. 4?由习题2.1节题目7的结论可知？是啲相合估计。3.【解】设X为直到命中目标为止所进行的射击 次数，则X服从参数为p的几何分布，即k 1X为总体，p未知， 组样本值，由PX k (1 p) p , k 1,2丄。X1, X2,，Xn是来自总体的一E(X)1 1 np, x 7i1Xi,由矩估计法有亠为P的矩估计值。xii 1n似然函数 L(p) (1 p)Xi 下一步计算参数g( 2 = ?的 C-R下界由伽玛分布的密度函数得到ln p(x; ) In In ( ) (1)lnx x ； p (1 p)i1pn ,i 1nIn L( p) ( x n) ln(1 p) n In p ,i

17、 1nx n令 d|nL( n o，解得 p 亠。dp p 1 pxi 14.【解】(1)求解参数的UMVUE 。Ga( a ,2), a> 0已知，其密度函数为： p(x; , ) x 1e x, x 0.易判断它为指数分布族, 并且 当a> 0已知时有T= Z?| ?为充分统计量，又 指数分布族的充分统计量为完备统计量，所以 T = 宰 ?是充分完备统计量。?T1 ?1T又ex= ?,所以(；)=；?= ?从而;是参数 1:?的无偏估计，又是完备充分统计量的函数，所 以为UMVUE(2)判断它是否为有效估计。先计算J的方差：Var n an2 Var(X)自测题I( ) E 2|nP(X；)统计学院数理统计2 In p(x;)22所以 的费希尔信息量为1C-R下界公式知g(为=?的无偏估计下界为:g'( )21nI( ) n 2.由于UMVIM到了 C-R下界，所以为有效估计。5. 【解】(1)当 0< ?< ?+ 1,?= 1,2,3; 10 < ?< 16,即 10 < 0< ?(?) < ?(3) < ?+ 1 < 仃时，样 本和