高等数学B》(160学时)

1、高等数学高等数学B(160学时学时) 一、本课程的地位、作用和任务一、本课程的地位、作用和任务 高等数学是高等院校工科各专业学生的一门重要基础理论课程，也是培养中、高级科技人才基本素质和基本技能的文化修养课。它是为培养我国现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：极限的基本思想和方法，一元函数的微分积分学，多元函数微分学，多元函数微积分学，无穷级数，线性微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本知识和运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 讲授本课程，应注重数学思想、数学思维能力、应用数学意识的培养。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思

2、维能力、逻辑推理能力和自学能力；培养学生具有较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程内容 1 函数的极限：数列的极限，实数集的完备性，函数的极限、连续及其运算法 则等。 2一元函数的微分学：函数的导数和微分及其运算法则，中值基本定理，泰勒 公式，导数的应用等。 3一元函数的积分学：不定积分，定积分的概念与可积函数，定积分的元素法，广义积分等。 4可积常微分方程：常微分方程，一阶常微分方程，可降阶的二阶常微分方程 线性微分方程的理论与解法等。 5多元函数微分学：多元函数的连续性，全微分，求导法则，向量值函数的求导，多元函数微分学应用等。 6多元函数积分学：二重积分

3、，三重积分，曲线积分，曲面积分格林公式，高斯公式等。 7无穷级数：数项级数，幂级数，富里叶级数等。 三、教学基本要求 一) 函数、极限、连续 1 熟悉数列极限的概念和收敛数列的基本性质。 2 了解实数集合对极限运算的完备性定理。 3 理解函数极限的概念和性质，熟悉函数极限和数列极限的关系。 4 熟悉函数极限的性质与四则运算。 5 熟悉极限的判别法：两边夹判别法，单调有界判别法，柯西准则。 6 会应用两个重要的函数极限。 7 熟悉无穷小量、无穷大量的概念及其比较，会应用等价无穷小求极限。 8 理解函数连续与间断的概念，连续函数的性质与四则运算。掌握初等函数的连续性。 9 知道闭区间上连续函数的性

4、质：介值定理，有界性，取最值性，一致连续性。 (二) 一元函数微分学 1 理解导数和微分的概念，会用导数描述一些物理量，理解导数的几何意义。 2 熟悉导数的四则运算法则，掌握基本求导公式和复合函数的求导法则。 3 会求隐函数和参数方程所确定函数的导数。 4 理解微分的概念、微分的运算法则和一阶微分形式不变性。 5 理解高阶导数和高阶微分的概念，能熟练计算初等函数的二阶导数。 6 熟悉微分学的基本定理：费马定理，罗尔定理，中值定理。 7 知道泰勒定理，了解泰勒公式的应用。 8 能利用罗必塔法则求不定型的极限。 9 会用导数判断函数的单调性、求函数的极值、判断曲线的凹凸性，求曲线的曲率。(三) 一

5、元函数积分学 1 理解原函数、不定积分的概念和性质。 2 掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法和分部积分法。 3 会求有理函数和简单无理函数的积分。 4 理解定积分的概念，了解达布和，熟悉可积函数类。 5 掌握不定积分的基本性质，熟悉变上限函数及其导数定理。 6 掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法。 7 理解定积分的微元法，会用积分方法求一些几何量与物理量：面积、体积、功和弧长等。 8 理解广义积分的概念，会计算广义积分。 (四) 可积常微分方程 1理解常微分方程、通解、初始条件、特解等基本概念。 2掌握变量可分离方程、一阶线性方程的解法。 3会解齐次方程和贝努里方程，

6、了解用变量代换求解方程的思想。 4会用降阶法求解特殊的可降阶方程。 5熟悉线性微分方程解的结构。 6掌握二阶线性微分方程的解法。 (五) 多元函数的微分学 1 熟悉平面上点集的一些概念。 2 了解二元函数的极限，掌握二元函数的连续性概念。 3 熟悉有界闭区域上连续函数的性质：介值性质，有界性，取最值性，一致连续性。 4 理解偏导数、全微分、高阶全微分的概念以及一阶全微分形式的不变性。 5 掌握复合函数求导的链式法则，会求函数的二阶偏导数。 6 会求隐函数的偏导数。 7 会求向量值函数的导数，会求空间曲线的切向量和曲面的法向量。 8 了解二元函数的泰勒公式，理解多元函数极值及条件极值的概念。 9

7、 会求二元函数的极值，熟悉条件极值的拉格朗日乘数法。 (六) 多元函数的积分学 1理解重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2掌握直角坐标系下和极坐标系下二重积分的累次积分法。 3了解二重积分的变量代换和广义二重积分。 4熟悉直角坐标系下三重积分的累次积分法。 5.会柱坐标和球坐标下三重积分的计算方法。了解三重积分的变量代换。 6 理解曲线（曲面）积分的概念，能正确计算第一型曲线（曲面）积分 7 掌握格林公式和曲线积分与路径无关的条件 8 理解第二型曲面积分的概念和性质，熟悉向量场的通量 9 会求向量场的散度，掌握高斯公式，了解斯托克斯定理。 10 能应用重积分、曲线积分、曲面积分解决一些典型的几

8、何与物理问题。 1理解重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2掌握直角坐标系下和极坐标系下二重积分的累次积分法。 3了解二重积分的变量代换和广义二重积分。 4熟悉直角坐标系下三重积分的累次积分法。 5.会柱坐标和球坐标下三重积分的计算方法。了解三重积分的变量代换。 6 理解曲线（曲面）积分的概念，能正确计算第一型曲线（曲面）积分 7 掌握格林公式和曲线积分与路径无关的条件 8 理解第二型曲面积分的概念和性质，熟悉向量场的通量 9 会求向量场的散度，掌握高斯公式，了解斯托克斯定理。 10 能应用重积分、曲线积分、曲面积分解决一些典型的几何与物理问题。 (七) 无穷级数 1 理解级数收敛与发散的概念。 2 掌握正项级数、交错级数、一般项级数的判敛法。 3 熟悉函数项级数收敛的概念和一致收敛的性质。 4 掌握幂级数收敛半径的求法，熟悉幂级数的基本性质。 5 熟悉函数的泰勒展开式和初等函数的泰勒展开式。 6 了解