信号与系统信号的频域分析

1、信号的频域分析 连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 (1) 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正

2、弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析意义：一、周期信号的傅立叶级数展开1. 周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。dttfTT2/2/ )( 2. 2. 指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数tjnneCtf0=n )(dtetfTCTTtjnTn22 0)(1 连续时

3、间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中1n两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量2n的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量Nn的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。3. 3. 三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数若 f (t)为实函数，则有nnCC利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为tnnntnnneCeCCtf00j1j10)(tnntnnneCeCC00jj10) Re(20j10tnnneCC令2jnnnbaC由于C0是实的，所以b0=0，故200aC 三角形式傅

4、立叶级数三角形式傅立叶级数220)(2TTdttfTa其中：dttnbtnaatfnnn)sincos(2)(1000220)1,2=( cos)(2TTnntdtntfTa220)1,2=( sin)(2TTnntdtntfTb纯余弦形式傅立叶级数100cos2nnntnAatf）（）（其中 称为信号的直流分量， An cos(n0t+ n)称为信号的n次谐波分量。20a22nnnbaA nnnabarctg例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。At)(tfT-T0)2(0nSaTAdtAeTdt

5、etfTCtjnTTtjnn2222001)(1t=00)2( jnnenSaTAtnnTATAtfn00010cos)2/(Sa)/2()/()(可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为)5cos513cos31(cos22)(000tttAAtfT若=T/2，则有) Re(2)(0j10tnnneCCtf由因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为tjnneCtf0=n )(例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。t)(tf2-201解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在)(21)(1100122000dttedttedtetfTCtjntjn

6、TTtjnn)(211010010100000dtetedtetejntjntjntjntjn) 1(cos)(12nnT20t)12(=20) 1(22 21mjmem周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为) Re(2)(0j10tnnneCCtf由周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为tjnneCtf0=n )(tnmtfm01=2cos) 1(24 21)(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn为奇数ttt0202025cos2543cos94cos421二、 周期信号的频谱及其特点 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 Cn是频率的函数，它

7、反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数频谱函数。tjnnTeCtf0=n )( 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。1 1、频谱的概念、频谱的概念2 2、频谱的表示、频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。njnneCC幅频特性相频特性例1周期矩形脉冲信号的频谱图)2(0nSaTACn3 3频谱的特性频谱的特性(1)(1)离散频谱特性离散频谱特性周期信号的频谱是由 间隔为间隔为0的谱线组成 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，

8、谱线则越疏。3 3频谱的特性频谱的特性(2)(2)幅度衰减特性幅度衰减特性 当周期信号的幅度频谱 随着谐波随着谐波n 0增大增大 时，幅度频谱|Cn|不断衰减不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不连续时，不连续时， Cn按按1/n的速度衰减的速度衰减 f(t)不连续时，不连续时，Cn按按1/n2的速度衰减的速度衰减(3)(3)信号的有效带宽信号的有效带宽 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 2B 信号的有效

9、带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 说明：说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。4 4 相位谱的作用相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变1. 线性特性 nnCtfCtf2211)( , )( 若nnCaCatfatfa22112211)()( 则有2. 时移特性 )( nCtf若ntjn0Cett f00)( 则有 三、傅里叶级数的基本性质3.卷积性质| nnCC则nn(1)若f(t)为实信号若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且nn

10、CtfCtf2211)( , )(nnCCTtftf21021)(*)( 则有4. 微分特性 )( nCtf若nCjnt f0)( 则有5. 对称特性5. 对称特性(2) 纵轴对称信号fT(t)=fT(t)200220cos)(4cos)(2TTTTTntdtntfTtdtntfTa0sin)(2220TTTntdtntfTb纵轴对称周期信号纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项直流项与余弦项余弦项。T0 / 2T0 / 2t0f(t)A (3) 原点对称信号fT(t)=fT(t)t0f(t)A-AT0 / 2T0 / 2原点对称周期信号原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦

11、项正弦项。0cos)(2220TTTntdtntfTa200220sin)(4sin)(2TTTTTntdtntfTtdtntfTb(4) 半波重迭信号 fT(t)=f(tT/2) 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦正弦与余弦的偶次谐波分量的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。t)(tfT/2-T/2(5) 半波镜像信号 fT(t)=f(tT/2)半波镜像周期信号半波镜像周期信号只含有只含有正弦与余弦正弦与余弦的奇次谐波分量的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分，而无直流分量与偶次谐波分量。量。t)(tfT/2T0去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有

12、正弦各次谐波分量，直流分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后， 才呈现出某种对称特性t)(tf-1-21234-321-4t)(1tf-1-21234-32-4t)(2tf-1-21234-31-4)2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntfn)2cos()2(Sa5 . 1)(1tnntfn例题3四、周期信号的功率谱2222)(1nnTTTCdttfTP 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱功率谱。 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理例题4 试

13、求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。22TAtT)(tfT解 周期矩形脉冲的傅立叶系数为)2(0nSaTACn将A=1，T=1/4，=1/20，0=2/T=8 代入上式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn)5/(Sa04. 022nCn功率谱信号的平均功率为包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为41=n20244=n201 | )(|2)0( | )(|nCCnCP1806. 0%90200. 01806. 01PP2 . 0)(12/2/2TTdttfTP周期矩形脉冲信号包

14、含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。吉伯斯现象用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点在不连续点 出现过冲出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的为跳变值的9% 。吉伯斯现象产生原因时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点间断点傅里叶级数出现非一致收敛非一致收敛。-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.

15、511.52-0.60.811.2N=5N=15N=50N=500周期信号的频域分析小结 分析问题使用的数学工具为傅里叶级数傅里叶级数 最重要概念：频谱函数频谱函数 要点要点1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用连续非周期信号的频谱 从从傅立叶级数到傅立叶变换傅立叶级数到傅立叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别 傅里叶反变换傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析非周期矩形脉冲信号的频谱分析1从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽

16、度为的周期矩形脉冲的Fourier系数为)2(Sa0nTACnnTnTTCfC limlim0)(jFdtetfTCTTtnTn22 j0)(1dtetfTdtetfTCtTTTtnTTnT j22 j)(1lim)(1limlim0dtetfTCjFtnT j)(lim)(物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。2. 2. 频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别(1) 周期信号的频谱为周期信号的频谱为离散离散频谱，频谱， 非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为连续连续频谱频谱。(2) 周期信号的频谱为周期信号的频谱为Cn

17、的分布，的分布， 表示每个谐波分量的复振幅表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示每单位带宽内的分布，表示每单位带宽内 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：nTTCjF lim)(0)(nnTjFC)(lim)(tftfTTtnTeC0 j=nn limtnTejF0 j0=n2)(limdejFtftj)(21)(物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为F()/2d 的复指数信号ej t的线性组合。T , 记n0=, 0=2/T=d, 3. 3. 傅里叶反变换傅里叶反变换dejF

18、tftj)(21)(dtetfjFt j)()(傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：)()()()(1jFFtftfFjF)()(jFtfF或狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。dttf)(例题 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数22tA)(tf解 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为2/| 02/| )(ttAtf，由傅立叶正变换定义式，可得dteAdtetfjFtt22 j j)()()2(SaA 22A)(F分析：

19、2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得3. 信号在时域有限时域有限，则在频域频域将无限无限延续。4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽有效带宽。5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱 常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号e|t| 单位冲激信号(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常

20、见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列1. 常见非周期信号的频谱(1) 单边指数信号，0)()(tuetftdtetfjFtj)()(幅度频谱为22)(aAjF相位频谱为)()(aarctgdteettj0jajaet10)()j(单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱t01)(tf0/1)(F0)(2/2/(2) 双边指数信号e-|t| 幅度频谱为tdtetdttfjFtcos2cos)(2)(00222)(aajF0)(222220)cossin(2aaatatet相位频谱为(3) 单位冲激信号(t)单位冲激信号及其频谱dtetdtetftFtjtj)()()(10t)(t)

21、 1 (01)(F(4) 直流信号直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。1 lim 1 | t |0eFF2lim220)(20002lim2202)(2222arctgd对照冲激、直流时频曲线可看出: 0)2()(F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（5） 符号函数信号符号函数定义为0 10 00 1)sgn(tttt)sgn(lim)sgn(0tetFtFdteedteeetFtjttjtt00) 1()sgn(0)(0)(ttjttjjejejj11j2)(F02/2/)(0符号函数的幅度频谱和相位频谱(6

22、) 单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱0t)(tu1)(F0)(2/2/)(0)()(21)()(21)(tututututu)sgn(2121tjtuF1)()(2 常见周期信号的频谱)(0jtet)(21jdtet由)(20)j(j00dteeFtt得)(20)j(j -00dteeFtt(1) 虚指数信号同理:)2(00)(F虚指数信号的频谱（ 2 ） 正弦型信号)()()(21cos00000tjtjeettt0cos100)()(0)(F余弦信号及其频谱函数)()()(21sin00000jeejttjtjtt0sin100)()(0)(F0)(2/2/正弦信号及其频谱函数（3

23、）一般周期信号 两边同取傅立叶变换 tnnTeCtf0jn)()()(0jntnnTeCFjFtfF)(2)(0nCtfFnnT)2(0T0jntnneFC（4）单位冲激序列因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：ntnTeTnTtt0jn1)()()(12)(0nTtFnT)(00nnnTnTtt)()(000)(tFT)(00TT)(tT) 1 (t单位冲激序列及其频谱函数 1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性

24、 12. 能量定理傅里叶变换的基本性质1. 线性特性，；若)()( )()(2211jFtfjFtfFF)()()()(2121bFaFtbftaf则 其中a和b均为常数。2.共轭对称特性)()(jFtf若)(*)(*jFtf则 当f(t)为是实函数时，有 |F(j )| = |F(j )| ， ) = ) )(*)(*jFtf)()()(jejFjF)()(jjFjFIR)()(),()(jFjFjFjFIIRRF(j为复数，可以表示为3 时移特性)()(jFtf若0t-j0)()(ejFttf则式中t0为任意实数证明：dtettfttfFtj -00)()(令x= t-t0，则dx=dt，

25、代入上式可得dxexfttfF)xt (j -00)()(0t-j)(ejF信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2t2)(tf0At)(1tfT解 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，)2()(SaAjFTj1)()(-ejFjF)()(1TtftfTj -)2(eSaA 因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4. 展缩特性 证明:)()(jFtf若)(1)(ajFaatf则dteatfatfFtj -

26、)()()(1)(1)(ajFadxexfaatfFxaj -令x=at，则dx=adt ，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。0A2)2(2F0A)(F22)2( tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(21F44例：尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)(tf220AtE)(F24246t2)(tF20A

27、)(f20200A5.5.互易对称特性互易对称特性)()(jFtf若)(2)(fjtF则6. 6. 频移特性（调制定理）频移特性（调制定理）若f(t) F(j) )()(0j0jFetftdteetfetfFtttj -jj00)()(式中0为任意实数证明证明： 由傅立叶变换定义有dtetft )-j(-0)()(0jF则cos)(0ttfF )(21)(2100j -jttetfFetfF信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。sin)(0ttfF)(21)(2100jFjF)(2)(200jFjjFj同理 )(21)(2100j -jttet

28、fFjetfFj 例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后信号的频谱函数。)2()(SaAjFcos)(0ttfF)(21)(2100jFjF应用频移特性可得解解 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为2(2(21)0)0SaASaA0)(jF000)(jF0A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(7 7.时域微分特性则)()()(jFjdttdf)()()(jFjdttfdnnn 若f(t) F(j) 例3试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解 )2()2()( tAtAtf2j2j)( -AeAetfF)()(jFj)2()2sin(2)(SaAAjF由

29、时域微分特性)2sin(2jA因此有0(A)2/t2/)( tf(A)(tf220At8 8.积分特性 若信号不存在直流分量，即F(0)=0)()0()(1)(FjFjdft)(1)(jFjdft则 若f(t) F(j) 则9.频域微分特性ddFtft)j (j)(则 若f(t) F(j) nnnnddFtft)j (j)(dtetfjFtj -)()(dtetfjtdeddtfdjdFttj -j -)()()()(dtetf tdjdFjtj -)()(将上式两边同乘以j得证明：证明：例4 试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。jtuF1)()(1)()(jddjttuF解 已知单位阶跃

30、信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:21)(10.时域卷积特性)()( , )()(2211jFtfjFtf若)()()()(2121jFjFtftf则)()(21tftfFddtetff)()(tj21)()(21jFjF证明：证明：dejFfj -21)()(dtedtfftj21)()(11.频域卷积特性(调制特性) 证明：)()( )()(2211jFtfjFtf若)()(21)()(2121jFjFtftf则dtetftftftfFtj -2121)()()()(dtdejFetf)(21)(tj1tj2)()(21t )-j(-21dtetfdjF)()(2121djFjF)(

31、)(2121jFjF12.非周期信号的能量谱密度 由于信号f(t)为实数，故F(j)=F*(j)，因此上式为dttfW)(2djFdttf22| )(|21)(djFjF)()(21dtdejFtf)(21)(tjddtetfjF)(21)(21tj信号的能量可以由|F(j)|2在整个频率范围的积分乘以1/2 来计算。2| )(|21)(jFG物理意义物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量频谱密度函数能量频谱密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量djFdttf22| )(|21)(帕什瓦尔能量守恒定理帕什瓦尔能量守恒定理 1. 线性特性 2. 对称互易

32、特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性 傅立叶变换性质一览表)(2)(fjtF)(1)(ajFaatf0t-j0)()(ejFttf)()(0j0jFetft)()()()(2121jFjFtftf)()(21)()(2121jFjFtftf)()(jFjdtfdnnn)()0()(1)(FjFjdftnnnndjdFjtft)()()()()()(2121bFaFtbftaf非周期信号频域分析小结 重要概念:非周期信号的频谱非周期信号的频谱 1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区

33、别 2)非周期信号频谱的物理意义 3)非周期信号频谱的分析方法:应用常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质 分析问题使用的数学工具:傅里叶变换 工程应用:调制、解调，频分复用离散离散FourierFourier级数（级数（DFSDFS） DFSDFS的定义的定义 常用离散周期序列的频谱分析常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列 Nk正弦型序列 周期矩形波序列 DFSDFS的性质的性质一、一、DFSDFS的定义的定义mkNNmNWmXNmXIDFSkx1)(10mkNNNkNWkxkxDFSmX)(10IDFSDFS且有式中,2NjNeW10 NlklNW0 k不是N的整数倍N k是N的整数

34、倍kNNDFSDFS的物理含义的物理含义1)周期为N的任意序列可分解为基本序列 exp(2km/N ; m=0,1, , N1的线性组合。2)任意序列在11 , 0;)(2NmeXmNjkxN的抽样值，做DFS获得可通过对二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析1.1.周期单位脉冲序列周期单位脉冲序列 Nk1mRNmkNNNkNWkkDFSmF10二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析2.2.正弦型序列正弦型序列周期序列f k=cos(k/6)的频谱kjkjeekf1221222121kkWW1212661211, 65016mmmmF0,102011, 16mmmmF11m6023Fm1111二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析3.3.周期矩形波序列周期矩形波序列当m=0, N, 2N, 时有Mk10fkMNNMNMN+MkmNjMMkemF2mNjMmNjmMNjeee2)1(221NmMNmsin12sin12 MmF周期矩形波序列的频谱周期矩形波序列的频谱-3 0-2 0-1 001 02 03 0-1012345mF m -30-20-100102030-505101520