第三章2 平面立体的切割

1、立体的截切立体的截切截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。截平面：截平面：用来截切立体的平面称为截平面。用来截切立体的平面称为截平面。截断面：截断面：立体被截切后的断面称为截断面立体被截切后的断面称为截断面。截交线：截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线截平面与立体表面的交线称为截交线。讨论的问题：截交线的分析和作图 。1 1、平面立体截交线的性质、平面立体截交线的性质2 2、平面立体截交线的求法、平面立体截交线的求法（1 1） 棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法（2 2） 棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法 平面立体的截交线平面立体的截交线1 1 平面与平面立体的截交线的性质

2、平面与平面立体的截交线的性质2 2）截交线的形状由直线围成的截交线的形状由直线围成的平面多边形平面多边形。1 1）截交线既在截平面上，又在截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体立体表面上，是截平面与立体表面的表面的共有线共有线。3) 3) 截交线的每条边是截平面与棱面的交线截交线的每条边是截平面与棱面的交线。求截交线的实质是求两平面的交线2 2 平面立体截交线的求法平面立体截交线的求法 平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形状特征，又具有截平面的平面特征。因面立体的形状特征，又具有截平面的平面特征。因此在看图或画图时，一般应此在看

3、图或画图时，一般应先反映平面立体特征视先反映平面立体特征视图多边框出发图多边框出发，想象出完整平面立体形状并画出其，想象出完整平面立体形状并画出其投影，投影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截平然后再根据截平面的空间位置，想象出截平面的形状并画出其投影面的形状并画出其投影。平面立体上切口的画法，。平面立体上切口的画法，常利用平面特性中常利用平面特性中“类似形类似形”这一投影特征作图。这一投影特征作图。2 求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状 空间及投影分析 画出截交线的投影（1 1）求出截平面与棱柱或棱锥上若干棱线的交点，）求出

4、截平面与棱柱或棱锥上若干棱线的交点，如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。（2 2）依次连接各点。）依次连接各点。（3 3）判断可见性）判断可见性（4 4）整理轮廓线）整理轮廓线画截交线投影的方法：例 1: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影P截交线的形状？15432876截交线的投影特性？2367184515476328分析棱线的投影检查截交线的投影例题例题2五棱柱截切后的投影五棱柱截切后的投影A,B,CA,B,C在棱线上在棱线上P Pq qqqPPa ae ec cb bd db be e(d d)f f(g g)a a(c c)PPqq

5、g g aabbc c d d eef f 例例3 3 切口切口六棱柱的投影六棱柱的投影先画先画H H面投影面投影（积聚特征）（积聚特征）3 3（2 2）1 12 21 13 31 12 23 3对称切口对称切口交线的形状？截平面与体的几个棱面相交？ 投影分析例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 空间分析 求截交线 分析棱线的投影 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性321(4)1 243124 3 截交线在俯、左视图上的形状？ 注意： 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121(2)2

6、1三面共点： 、两点分别同时位于三个面上。例题例题6 求立体切割后的投影235411166543264（5）2（3）例例7 7 求求P P、Q Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥截交线的投影 解题步骤解题步骤1 1分析分析: :截平面的截平面的正面投影积聚，截正面投影积聚，截交线的正面投影已交线的正面投影已知，水平投影和侧知，水平投影和侧面投影待求；面投影待求；2 2求出截交线上求出截交线上的的折点折点、 、 ；3 3顺次地连接顺次地连接各各点，作出截交线，点，作出截交线，并且判别可见性；并且判别可见性；4 4。补全轮廓线补全轮廓线。二二 平面与平面与 圆柱圆柱相交相交三三 平面与平

7、面与 圆锥圆锥相交相交四四 平面与平面与 圆球圆球相交相交一一 概述概述五五 综合题综合题 基本要求基本要求2 2 回转体的截交线回转体的截交线 基本要求基本要求1 1、掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球、掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法。相交，求表面交线的方法。2 2、掌握回转体截交线的性质及求截交线的、掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法方法一、概述一、概述1 1、 截交线的性质截交线的性质 2 2、 截交线的类型及形状截交线的类型及形状 3 3、 求作截交线的方法求作截交线的方法 4 4、 截交线上的特殊点截交线上的特殊点 5 5、 作图步骤作图步骤1 1、曲面

8、立体截交线的性质、曲面立体截交线的性质（1 1）曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或）曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围城的平面图形或多边形。是由曲线和直线所围城的平面图形或多边形。（2 2）曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的）曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线。共有线。（3 3）曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的）曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。共有点。2 2、截交线的类型及形状、截交线的类型及形状（1 1）截平面与单个回转体相交，其截交线通常是）截平面与单个回转体相交，其截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的

9、平封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。面图形或多边形。（2 2）截平面与复合回转体相交，其截交线是截平）截平面与复合回转体相交，其截交线是截平面与基本几何体截交线的组合。这种截交线之间面与基本几何体截交线的组合。这种截交线之间的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界线与截平面的交点。线与截平面的交点。（3 3）多个截平面和立体相交所得的截交线是各截）多个截平面和立体相交所得的截交线是各截平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻两截平面与立体表面的共有点，它是两截平面的两截平面与立体表面

10、的共有点，它是两截平面的交线与立体表面的交点。两截平面的交线是各截交线与立体表面的交点。两截平面的交线是各截断面的分界线。断面的分界线。3 3 求作截交线的方法求作截交线的方法 （1 1）表面取点法）表面取点法1 1）素线法）素线法 在曲面立体表面取若干条素线，并求出在曲面立体表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。所求的截交线。2 2）纬圆法）纬圆法 在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所

11、求的截交线。所求的截交线。（2 2）辅助平面法）辅助平面法 用三面共点的原理做适当数量的用三面共点的原理做适当数量的辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，将这些点依次光滑连接即得所求截交线。将这些点依次光滑连接即得所求截交线。（3 3）求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复）求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求求作多个截平面与基本立体相交时，应按单一截平面作多个截

12、平面与基本立体相交时，应按单一截平面求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。4 4、特殊点、特殊点 特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有：特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有：（1 1）极限点）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。最左和最右点。（2 2）转向点）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区别曲线可见于不可见部分的分界点。是区别曲线可见于不可见部分的分界点。（3 3）特征点）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上曲线本

13、身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。四个端点。（4 4）结合点）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线）截交线由几部分不同的线段（曲线、直线）组成时结合处的那些点。组成时结合处的那些点。对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。5 5、作图步骤、作图步骤（1 1）根据截平面的位置与曲面立体表面的）根据截平面的位置与曲面立体表面的性质、判断截交线的形状和性质。性质、判断截交线的形状和性质。（2 2）根据截平面位置和曲面立体所处位置，）根据截平面位置和曲面立体所处位置，决定采用什么方法求共有点。决定采用什么方法求共有点。（3 3）

14、求出截交线上的特殊点。）求出截交线上的特殊点。（4 4）根据需要求出若干个一般点。）根据需要求出若干个一般点。（5 5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判断可见性。并且判断可见性。（6 6）最后，补全可见性和不可见部分的轮）最后，补全可见性和不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部分。分。二二 平面与圆柱相交平面与圆柱相交1 1、平面与圆柱相交所得截交线形状、平面与圆柱相交所得截交线形状2 2、求圆柱截交线上点的方法、求圆柱截交线上点的方法3 3、例题、例题1 1、平面与圆柱相交所得截交线形状、平面与圆柱相

15、交所得截交线形状矩形矩形椭圆椭圆圆圆截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的，其交线的W W投影为投影为椭椭圆圆，椭圆的，椭圆的长、短轴长、短轴随随的变化而变化的变化而变化1 1截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线成成4545时时, ,投影为圆投影为圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题例题例题1 求圆柱截交线111548883254452323解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3求出若干个一般点、 、；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。766767例题例题2 求圆柱截交线解题步骤1

16、分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2求出截交线上的特殊点、 ；3求出若干个一般点、 ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。3453345541221122143例题例题3 求圆柱截交线解题步骤1分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点、；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。121334241234例题例题4 求圆柱截交线解题步骤1 分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2 求出截交线上的特殊点、； 3 顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4 整理轮廓线。12341

17、324例题例题5 求圆柱截交线解题步骤1分析 截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、 、 、；3求一般点；4 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3311 22445532514例题例题6 想象出物体及其侧面投影的形状三、平面与三、平面与 圆锥相交圆锥相交1 1、平面与圆锥相交所得截交线形状、平面与圆锥相交所得截交线形状2 2、圆锥截交线的求法、圆锥截交线的求法3 3、例题、例题1 1、平面与圆锥相交所得截交线形状、平面与圆锥相交所得截交线形状圆圆椭圆椭圆过锥顶的两直线过锥顶的两直线双曲线双曲

18、线抛物线抛物线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线 2 2、求圆锥截交线上点的方法、求圆锥截交线上点的方法3 3、 例题例题例题例题1 求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3求出一般点；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。333例题例题2 求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点A、C；3求出一般点B ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。aaacbbbcc例题例题3 求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3出一般点、 ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。a2314511a232 35445例题例题4 分析圆锥切割后截交线投影的形式例题例题5 分析并想象出圆锥穿孔后的投影平面与平