专题09一元二次及其应用(解析版)

1、xix1x22a专题09 一元二次方程及其应用专题知识回顾1 .定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元二次方程。2 .一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(aw 0)其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是次项系数；c是常数项。3 . 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。4 .一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。(1)直接开方法。适用形式： x2=p、(x+n)2=p 4(mx+n)2=po(2)配方法。套用公式 a2+2a

2、b+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是：化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1;移项把常数项移项到等号的右边；配方一一两边同时加上b2,把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；开方，即降次；解一次方程。(3)公式法。b b 4ac当b2-4ac>0时，万程ax2+bx+c=0的头数根可与为：x 的形式，这个式子叫做一兀二次万2a程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。2b b 4ac-?-，？?4?=2a,2?b2-4ac=0时，

3、方程有两个相等的实数根。bb2-4ac<0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判另1J式，通常用字母A表示，即&b2-4ac。(4)因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5 .一元二次方程根与系数的关系bc如果方程ax bx c 0(a 0)的两个实数根是 x1, x2，那么x1 x2 ， x1x2 。也就正说,aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以

4、二次项系数所得的商。6 .解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。专题典型题考法及解析【例题1】(2019安徽)解方程：(xT) 2=4.【答案】xi = 3 , x2= - 1.【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a (a>Q的形式，利用数的开方直接求解.(1)用

5、直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a>0；ax2=b(a, b 同号且 aw。；(x+a)2= b( b>0 ；a(x+b)2= c(a,c 同号且aw。.法则：要把方程化为左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可.两边直接开平方得：x- 1=±Zx - 1 = 2 或 x - 1= - 2,解得：x1 = 3, x2 = - 1 .【例题2】(2019山西)一元二次方程x2 4x 1 0配方后可化为()2222A. (x 2)3B.(x

6、 2)5 C.(x2)3D. (x 2)5【答案】D【解析】x2 4x1 0,( x2 4x4) 4 10,( x 2)25 ,故选 D。【例题3】(2019年山东省威海市) 一元二次方程3x2=4-2x的解是.答案x1=T*i3, x2=JqH 33【解析】直接利用公式法解方程得出答案.3x2 = 4 - 2x3x2 +2x - 4= 0,贝U b2-4ac = 4-4X3X(-4) = 52>0,故、=今空6解行：x1 =, x2 =.33【例题4】(2019年江苏省扬州市) 一元二次方程x (x-2) = x- 2的根是.【答案】1或2 .【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一

7、次方程，求出方程的解即可.x (x - 2) = x- 2,x (x-2) - ( x-2) =0,(x-2) (x- 1) =0,x2=0, x 1 = 0,x1 = 2, x2= 1【例题5】(2019北京市) 关于x的方程x2 2x 2m 1 0有实数根，且m为正整数，求 m的值及此时方 程的根.【答案】m=1 ,此方程的根为x1 x2 1【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式b2 4ac 0进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.关于x的方程x2 2x 2m 1 0有实数根，.22b 4ac 24 1 2m 14 8m 4 8 8mom 1又

8、二 m为正整数，m=1,此时方程为x2 2x 1 0解得根为为X2 1 ,m=1 ,此方程的根为X1 X2 1【例题6】（2019四川泸州）已知X1,x2是一元二次方程x2- x- 4=0的两实根，则（X1+4）（x2+4）的值是.【答案】16【解析】考查一元二次方程根与系数的关系' X1, X2是一元二次方程 x2-x- 4=0的两实根，X1 + X2= 1 , X1X2= 4,（ X1+4）（X2+4）=X1X2+4X1+4X2+16=X1X2+4（X1+X2）+16=-4+4X 1 + 16=-4+4+16=16【例题7】（2019安徽）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总

9、值为90.3万亿，比2017年增长6.6% .假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A. 2019 年B. 2020 年C. 2021 年D. 2022 年【答案】B.【解析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案.2019年全年国内生产总值为：90.3 X（1+6.6%） = 96.2598 （万亿），2020年全年国内生产总值为： 96.2598 X 1+6.6%） = 102.6（万亿），国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年。专题典型训练题一、选择题1 .（ 2019甘肃省兰州市）x= 1是关

10、于的一元二次方程 x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】将x=1代入方程x2+ax+2b=0,得a+2b=- 1,2a+4b=2 （a+2b） =2X（ 1） =- 2.2 . （2019?胡南怀化）一元二次方程 x2+2x+1 = 0的解是（）A. xi=1, x2= - 1 B. xi = x2=1C. xi=x2= 1 D. xi= 1, x2= 2【答案】C【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键利用完全

11、平方公式变形，从而得出方程的解x2+2x+1 = 0,（ x+1 ） 2=0,则 x+1 = 0,解得 x1 = x2 = - 1 ,3 .（ 2019?浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0 时，配方结果正确的是（）A. （x-3）2=17B. （x-3）2=14C. （ x-6）2=44D. （x-3） 2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程.x2-6x-8=0,x2-6x+9=8+9 , . （x-3） 2=17.4 . （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则实数 m的取值范围是（）A . m< 1B. m< 1C. m> 1

12、D . m>l【答案】【解析】,关于 x的一元二次方程 x2 - 2x+m= 0有实数根，= （- 2） 2- 4m>0,解得：m< 1.5 .（2019内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m 的值是（）A. 34B.30C.30 或 34D.30 或 36【答案】A.【解析】分两种情况讨论： 若4为等腰三角形底边长，则 a, b是两腰，方程x2-i2x+m+2=0有两个相等实根， . =（-12）2-4 X 1 刈+2）=136-4m=0,m=34.此时方程为 x2-l2x+36=0 ,解得x

13、i=x2=6.，三边为6, 6, 4,满足三边关系，符合题意 . 若4为等腰三角形腰长，则 a, b中有一条边也为4,方程 x2-l2x+m+2=0 有一根为 4. - 42-12 X 4m+2=0,解得，m=30.此时方程为 x2-l2x+32=0 ,解得 xi=4, x2=8.，三边为4, 4, 8,不满足三边关系，故舍去 .综上，m的值为34.6. （2019?山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为（）A. k>0 B. k>0且 kw2 C. k3 D. k3且 k222【答案】D.【解析】考点是一元二次方程的定义以及根

14、的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式4>0,即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出 k的取值范围.（k-2） x2 - 2kx+k- 6= 0,;关于x的一元二次方程（k - 2） x2- 2kx+k= 6有实数根，k-2=O二"2k ）（k-Z） （k-6）解得：k修且吐27. （2019湖北仙桃）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为 “&则 入伊的值为（）A. 12B. 10C. 4D. - 4【解析】:方程 x2-2x-4=0的两个实数根为 a, 3, a + 炉 2 , a 住一4,- 02+伊=（a+6 22a 炉 4+8=128. （2019

15、利苏泰州） 方程2x2+6x 1 = 0的两根为xi、X2则xi+x2等于（）A . - 6B. 6C. - 3D. 3【答案】C.【解析】根据根与系数的关系即可求出答案.由于> 0,xi + x2= - 3 ,9. （2019山东淄博） 若xi+x2=3, xi，x22=5,则以x1，x2为根的一兀二次方程是（）A . x2- 3x+2 = 0B. x2+3x- 2=0 C, x2+3x+2=0D, x2- 3x- 2=0【答案】A.【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c= 0（awo的两根时，x1+x2=a x1x2=-1.利用完全平方公式计算

16、出 x1x2=2,然后根据根与系数的关系写出以 x1, x2为根的一元二次方程. - x12+x22= 5,-1 （ x+x2）2 - 2x1x2= 5,而 x1+x2= 3 ,1- 9 - 2x1x2= 5,x1x2= 2,，以x1, x2为根的一元二次方程为 x2-3x+2=0.10. （2019旷东）已知x1.x2是一元二次方程了 x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）A. x1 以B. x12 2x1=0C. x1+x2=2D. x1 x2=2【答案】D【解析】因式分解 x （x-2） =0,解得两个根分别为 0和2,代入选项排除法.11. （2019?广西贵港）若 3是关于

17、x的一元二次方程 x2-2x+m= 0的两实根，且= 一§， 则m等于（）A . - 2 B. - 3C. 2 D. 3【答案】B.【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到叶片2, “伊m,再化简_L+1_ =,代入可求解;ab a Pa, 3是关于x的一元二次方程 x2 - 2x+m= 0的两实根,12. （2019碰江宁波）能说明命题 关于x的方程x2-4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例为（）A. m= - 1 B. m= 0C. m= 4 D. m= 5【答案】D.【解析】利用m= 5使方程x2 - 4x+m= 0没有实数解，从而可把m= 5作为说明命题 关于x的方程

18、x2- 4x+m =0一定有实数根”是假命题的反例.当m=5时，方程变形为 x2-4x+m=5=0,因为= （ 4） 2 4X5< 0,所以方程没有实数解，所以m= 5可作为说明命题 关于x的方程x2-4x+m = 0一定有实数根”是假命题的反例.13. （2019?黑龙江哈尔滨） 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A . 20% B. 40% C. 18%D. 36%【答案】A.【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a （1-x） 2=b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键.设

19、降价的百分率为 x根据题意可列方程为 25 （1-x） 2=16解方程得工1=/，（舍），每次降价得百分率为 20%14. （2019?胡南衡阳）国家实施”精准扶贫 政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口 9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至 1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得（）A . 9 (1 - 2x) = 1【答案】B.B. 9 ( 1 x) 2= 1 C. 9 (1+2x) = 1 D . 9 (1+x) 2= 1【解析】等量关系为：2016年贫困人口 X(1-下降率)2 = 2018

20、年贫困人口，把相关数值代入计算即可.设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,根据题意得：二、填空题15. (2019湖北十堰)对于实数a, b,定义运算 ”如下：aOb= ( a+b) 2- (a-b) 2.若(m+2) (m3) = 24,则 m=.【答案】-3或4【解析】根据题意得(m+2) + (m-3) 2 - (m+2) - ( m - 3) 2=24,(2m- 1) 2- 49=0,(2m- 1+7) (2m- 1 - 7) =0,2m-1+7 = 0 或 2m-1-7=0,所以 m1 = - 3, m2= 4.16. (2019吉林长春)一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的

21、值为 .【答案】5.【解析】: a=1, b=-3, c=1, =b2-4ac=(-3)2-4X 1 x 1=517. (2019吉林省)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数*则c的值可以为 (写出一个即可)【答案】答案不唯一，例如 5, (c>0时方程都有实数根)【解析】O 0时方程都有实数根18. (2019年湖北省荆门市)已知x1，x2是关于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 = 0的两个不相等实数根，且满足(x1 1) (x2 1) = 8k2,则 k 的值为.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合(x1-1) (x2-1) = 8k2,可得出关于k的一元二次

22、方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式>0,可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出 k的取值范围，进而即可确定 k值，此题得解. x1, x2是关于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 = 0的两个实数根，1. x1+x2= - (3k+1), x1x2=2k2+1.:(x1 一1) (x21) = 8k2,即 x1x2 ( x1+x2)+1 = 8k2, -2k2+1+3k+1+1 = 8k2,整理，得：2k2 k- 1=0,解得：ki = - - k2= 1. 2.关于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 =0的两个不相等实数根， .= ( 3k+

23、1) 2-4X1X(2k2+i) >0,解得：kv - 3- 2"与或 k> - 3+2 J3，k= 1.19 . (2019广西桂林)一元二次方程(x 3)(x 2) 0的根是.【答案】x1 3 , x22【解析】解一元二次方程因式分解法x 3 0或x 2 0 ,所以 x 3, x2 2 .故答案为x1 3 , x2 2 .20 .(2019年四川省遂宁市)若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 .【答案】k< 1.【解析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) > 0?方程有两个不相等的实数根

24、；(2) = 0?方程有两个相等的实数根；(3) < 0?方程没有实数根.利用根的判别式进行计算，令4>0即可得到关于k的不等式，解答即可.,关于x的方程x2- 2x+k= 0有两个不相等的实数根，0,即 4- 4k>0,k< 1 .21. (2019年江西省) 设x1 , x2是一元二次方程 x2-x- 1=0的两根，则x + x2+x1x2=.【答案】0【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c= 0 (aw。的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2,则x1+x2blc"| . _,=,x1 ?<2=.直接根据根与系数的关系求解.aa- xk x

25、2是方程x2-x- 1=0的两根，x1 + x2= 1 , x1 及2= 1 ,x1 + x2+x1x2= 1-1 = 0.22. (2019年四川省攀枝花市)已知xi, X2是方程x2-2x- 1 = 0的两根，则xi2+x22=【答案】6【解析】根据根与系数的关系变形后求解.,xi、x2是方程x2-2x- 1 = 0的两根， xi + x2= 2 , xi 双2= 1 ,xi2+x22= ( xi + x2)2 2xix2= 22 2X( 1) = 6.23. (2019年四川省成都市) 已知xi, x2是关于x的一元二次方程 x2+2x+k- 1 = 0的两个实数根，且 xi2+x22-

26、xix2= 13,则k的值为.【答案】-2【解析】根据x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k- 1=0的两个实数根，且xi2+x22- xix2= 13”,结合根与系数的关系，列出关于 k的一元一次方程，解之即可.根据题意得：xi + x2= - 2, xi x2= k - 1,工2+¥?2_股=2 3xix2=4-3 ( k- 1) = 1324. (2019年甘肃省天水市)中国带一路”给沿线国家和地区带来很大的经¥效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.(用百分数表示)【答

27、案】40%.【解析】根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率,本题得以解决.设该地区居民年人均收入平均增长率为x,20000 (1+x) 2=39200,解得，xi = 0.4, x2= - 2.4 (舍去)，.该地区居民年人均收入平均增长率为40%25. (2019年四川省宜宾市)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升 5%.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为 x,根据题意可列方程是.【答案】65X (1-10%) X (1+5%) - 50 (1 -x)

28、 2=65- 50.65【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为X,根据利润=售价-成本价结合半年以后的销售利润为(-50)元，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解.设每个季度平均降低成本的百分率为x,依题意，得：65X (1-10%) X (1+5%) - 50 (1 -x) 2 = 65- 50.26. (2019年江苏省连云港市)已知关于x的一元二次方程 ax2+2x+2-c= 0有两个相等的实数根，则 一+ca的值等于.【答案】2【解析】根据 关于x的一元二次方程 ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案.根据题意

29、得： = 4 - 4a ( 2 - c) = 0,整理得：4ac - 8a = - 4, 4a (c- 2) = - 4,方程ax2+2x+2 - c= 0是一兀二次方程， a WQ等式两边同时除以 4a得：c-2= i,贝 U§+c=227. (2019年浙江省嘉兴市) 在x2+4=0的括号中添加一个关于 x的一次项，使方程有两个相等的实数 根.【答案】±x【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(=b2-4ac)可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当> 0时，方程有两个不相等的实数根；当= 0时，方程有两

30、个相等的实数根；当<0时，方程无实数根，但有 2个共轲复根.上述结论反过来也成立.要使方程有两个相等白实数根，即4=0,则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可.要使方程有两个相等白实数根，则=b2 - 4ac= b2 - 16= 0得 b= ±4故一次项为土农28. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x- 3=0有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是.【答案】a>上且awo【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0 （aw°的根的判别式是 b2-4ac>0即可进行解答【解答】解：由关于 x的方程ax2+

31、2x- 3= 0有两个不相等的实数根得= b2- 4ac=4+4X 3a>0,解得a > L3贝U a>上且aw。 J三、解答题29. （2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式 x2+1, 4x+1的值相等？【答案】x = 0, x2= 4.【解析】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.利用题意得到x2+1 = 4x+1 ,利

32、用因式分解法解方程即可.x2+1 =4x+1 ,x2 - 4x= 0,x （x 4） =0,xi = 0, x2=4.30. （2019黑龙江绥化）已知关于x的方程kx23x+1 = 0有实数根.求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2,当x1+x2+xx2=4时，求k的值.【答案】见解析。【解析】根据根的判别式列出不等式，即可求得k的范围；由根与系数的关系，得到方程，即可解得k的值.（1）当k = 0时,方程是一元一次方程，有实数根，符合题意；当kw 001方程是一元二次方程，由题意得=9-4k>0,，kw ,综上所述，k的取值范围是k<9 .44(2) X1

33、和X2是该方程的两个实数根，. Xl+X2= 0 ,X1X2=2，,Xl+X2+XlX2 = 4,3 +=4,解得k=1,经检验,k k kk k=1是原分式方程的解，且1w9,.k的值为i.431. ( 2019湖北十堰)已知于X的元二次方程X2-6X+2a+5= 0有两个不相等的实数根 Xi, X2.(1)求a的取值范围；(2)若X12+X22 - X1X2 w 30且a为整数，求a的值.【答案】(1) a<2 (2) a的值为-1, 0, 1.【解析】根据根的判别式，可得到关于 a的不等式，则可求得 a的取值范围；由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的

34、不等式，则可求得 a的取值范围，再求其值即可.(1) ;关于X的一元二次方程 X2- 6X+2a+5= 0有两个不相等的实数根 X1, X2,. .> 0,即(-6) 2-4 (2a+5) >0,解得a<2;(2)由根与系数的关系知：X1 +X2= 6, X1X2 = 2a+5,X1, X2 满足 X12+X22 X1X2< 30 ( X1+X2) 23X1X2W30 .36-3 (2a+5) <30 . a>- 3，= a 为整数， 2a 的值为-1, 0, 1.32. (2019湖北孝感)已知关于X的一元二次方程 X2- 2 (a-1)X+a2-a-2=

35、 0有两个不相等的实数根 X1,X2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若 X1, X2 满足 X12+X22 - X1X2= 16,求 a 的值.【答案】(1) a= 1, 2 (2) a= - 1.【解析】根据关于 x的一元二次方程 X2- 2 (a-1) X+a2- a - 2= 0有两个不相等的实数根，得到 = - 2 (a- 1) 2- 4 (a2-a - 2) >0,于是得到结论；根据 X1+X2= 2 (a-1), X1X2= a2-a - 2,代入 X12+x22-x1x2= 16,解方程即可得到结论.(1) ;关于x的一元二次方程 X2-2 (a-1) x+a2 -

36、a - 2 = 0有两个不相等的实数根，.= -2 (a-1) 2-4 (a2-a-2) > 0,解得：av3,.a为正整数,，a=1, 2;(2) xi+x2= 2 ( a 1), xix2= a2 a 2,1' X12+X22 XiX2= 16,( X1+X2)2 - X1X2= 16,-2 (a-1) 2-3 (a2- a - 2) = 16,解得：a1 = 1, a2= 6,a< 3,a = - 1.33. （2019江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板， 长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形, 然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当

37、剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子 的侧面积为200cm2?【答案】5【解析】根据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解.设剪去的小正方形的边长为Xcm,则根据题意有：（30-2x）（20-2x）=200 ,解得 X1=5, x2=20 , 当 x=20 时，20-2x<0,所以 x=5.所以，当剪去小正方形的边长为5cm时，长方体盒子的底面积为200cm234. （2019砌南衡阳）关于x的一元二次方程 x2- 3x+k=0有实数根.（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（ m-1） x2+x+m-3=0与方程x2

38、- 3x+k= 0有一个相 同的根，求此时 m的值.【答案】见解析。【解析】(1)根据题意得= (- 3) 2-4k>0,解得kWL；4(2) k的最大整数为2,方程 x2-3x+k= 0 变形为 x2-3x+2=0,解得 xi=l, x2= 2,m- 1+1 + m- 3=0,解得 m =元二次方程(m- 1) x2+x+m - 3= 0与方程x2-3x+k=。有一个相同的根,当 x= 1 时, 当 x= 2 时，4(m1) +2+ m 3= 0,解得 m= 1,而 m - 10,m的值为一.35. (20197T西贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018

39、年底两年内由5万册增加到7.2万册.(1)求这两年藏书的年均增长率；(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?【答案】见解析。【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.(1)设这两年藏书的年均增长率是x,5 (1+x) 2= 7.2,解得，x = 0.2, x2=- 2.2 (舍

40、去)，答：这两年藏书的年均增长率是20%;(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2-5) X20%= 0.44 (万册)，到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5HX100% 10%,7. 2答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.36. (2019?胡南长沙)近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2 万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（ 1 ）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

41、（ 2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【答案】见解析。【解析】设增长率为x， 根据 “第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次 ”可列方程求解；用2.42 X （1+增长率），计算即可求解.（1）设增长率为x,根据题意，得2 （1+x） 2= 2.42,解得 X1= - 2.1 （舍去），X2=0.1= 10%.答：增长率为10%（2） 2.42 （1+0.1 ） = 2.662 （万人）.答：第四批公益课受益学生将达到2.662 万人次37. （ 2019?湖南邵阳）2019 年 1 月 14 日， 国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在 2018 年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30 万亿元人民币有望继续保持全球货物贸易第一大国地位预计 2020 年我国外贸进出口总值将达36.3 万亿元人民币求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率【答案】10%【解析】根据 a （1-x） 2=b增长率公式建立方程 30 （1+x） 2=36.3,解方程即可.设平均