三线合一性质的逆定理

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的咼互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知："ABC中，AD是/

2、BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证："ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行， 那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助|> II线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED， 由此问题就解决了。证明：延长 AD到E点，使AD=ED，连接CE在"ABD和"ECD中AD=DE丄 ADB= / EDCBD=CD" ABD 6 ECD AB=CE, / BAD= / CED AD是/ BAC的角平分线/ BAD= / CAD/ CED= / CAD AC=CE A

3、B=AC" ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知："ABC中，AD是/ BAC的角平分线，AD是 BC边上的高，求证："ABC是等腰三角形。分析：通过（ASA ）的方法来证明"ABD和"ACD的全等，由 此推出AB=AC得出"ABC是等腰三角形证明：已知："ABC中，AD是BC边上的中线，又是 BC边 上的高，求证："ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS ）的方法来'证明"ABD和"ACD的全等，由此推出 AB=AC

4、 得出"ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用(1) 逆定理的简单应用例题1已知：如图，在"ABC中，AD平分/ BAC , CD丄AD,D 为垂足，AB>AC。求证：/ 2=7 1 + / B分析：由“ AD平分/ BAC , CD丄AD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E,由逆定理得出"AEC是等腰三角形由此就可得出7 2= 7 AEC，又/ AEC= 7 1 + 7 B ,所以结论得证。(2) 逆定理与中位线综合应用 例题1 已知： 如图，在"ABC中，AD平分7 BA

5、C，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交 AD 的延长线于点E, F为BC的中点，连结EF。求证：EF / AB ,EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段 AE既是7 BAC的角平分 线又是EC边上的高，就想到把 AE所在的等腰三角形构造 出来，因而就可添辅助线"分别延长CE、AB交于点G”。简单证明：由逆定理得出" AGC是等腰三角形，点E是GC的中点 EF是"BGC的中位线得证。例题2如图，已知：在" ABC中，BD、CE分别平分7 ABC,7 ACB,AG 丄 BD 于 G, AF 丄 CE 于 F, AB=14cm,AC=9cm,BC=18c

6、m. 求： FG的长。分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长AG、AF来构造等腰三角形。简单证明：分别延长 AG、AF交BC于点K、H由逆定理得出"ABK是等腰三角形点G是AK的中点同理可得点F是AH的中点 FG是"AHK的中位线由此就可解出FG的长。(3) 逆定理与直角三角形的综合应用 例题1已知，如图，AD为Rt"ABC斜边BC上的高，7 ABD的平分线交 AD于M，交AC于P, 7 CAD的平分线交 BP于Q。求证："QAD是等腰三角形。DM分析：由直角三角形的性质可知道7 AQM=90由此线段BQ满足了逆定

7、理2的条件，所以 想到延长AQ交BC于点N。简单证明：由添辅助线得出"ABN是等腰三角形 Q点是AN的中点在Rt" AND中，Q是中点0 QA=DQ, 得证。例题2如图，在等腰"ABC中，/ C=90°，如果点B到/ A的平分线AD的距离为5cm,求AD的 长。分析：已知条件满足了逆定理2,所以延长 BE和AC,交于点F。简单证明：由所添辅助线可知"ABF是等腰三角形 E点是BF的中点 BF=2BE=10再由"ADC和"BFC的全等 得出AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语 句，满足定理条件，添加适当的辅助

8、线来构造等腰三角形，以达到解决问 题的目的。（4）逆定理的简单应用 （即垂直平 分线的应用）例题1（2006年宝山区中考模拟题） 如图，已知二次函数 y=ax2+bx的图像 开口向下，与x轴的一个交点为 B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。证明："AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点A作AD丄x轴，垂足为D及直线y=x的性质, 可以知道"AOB是等腰直角三角形。例题2如图，以"ABC的边AB , AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG ,求证：若 DF / BC,贝U AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对

9、角线：边的相等，角的 相等并都等于90度，现要证明等腰三 角形，能与其最密切的想到是否也能构 造直角呢？于是就想到了添辅线AH 简单证明：分别过点 A、D、F作AH丄BC , DI丄BC,FJ丄BC,分别交BC于点H , CB的延长线于I, BC的延长线于J由 DF / BC , DI=FJ又 "AHC 也"CJF (AAS ) , " ABH 也"BDI(AAS) HC=FJ,BH=DI BH=HC,得证。抓住已知条件和结论的联系，(例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联

10、系，)通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整 合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。(5) 逆定理在作图中的应用已知：线段 m,/ a及/ 3,求作"ABC，使/ ABC= Z a, Z ACB= / 且 AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为 m以及外角的性质我们可以找到一顶点 A，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点B和Co作法：1

11、、画射线OP，在0P上截取线段 OQ=m,2、画射线 0M，使Z MOP=1/2 / a3、画射线 QN，使Z NQO=1/2 Z 3交射线0M于点A4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交 OQ于B, C两点，"ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的 应用不但可以强化 学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路， 丰富联想，从而达到融会贯通的目的。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途

12、For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r StudiencFong, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.P