用卡诺图化简逻辑函数的研究

1、  用卡诺图化简逻辑函数的研究     摘 要   给出了用卡诺图法化简逻辑函数的可行原则，并用具体事例诠释了该原则。    关键词可行原则卡诺图化简逻辑函数  key wordsdoable principlekarnaugh chartreducelogistic function熟知，数字 电子 技术的功能是通过逻辑函数来实现的，而逻辑函数一般是基本逻辑或、与、非的复合表达，实现某种复合逻辑

2、的最简数学表达意味着对应的技术成本较低；所以化简逻辑函数既具有 理论 价值，也具有现实意义。化简逻辑函数的 方法 大体有两类：一是公式化简法，二是卡诺图化简法。迄今，用卡诺图化简逻辑函数的 研究 尚不完善，本文专论用卡诺图化简逻辑函数的可行原则。一、 问题 的提出阎石教授在面向二十一世纪课程教材数字电子技术基础中给出了一个事例1：用卡诺图化简法化简以下逻辑函数y=ac+ac+bc+bc（1）由于y=ac+ac+bc+bc=a（b+b）c+a（b+b）c+（a+a）bc+（a+a）bc=abc+abc+abc+abc+abc+abc+abc+abc=abc+abc+abc+abc+abc+abc

3、所以，阎石教授画出了表示逻辑函数y的如下卡诺图然后，阎石教授对卡诺图中为1的相邻元素进行不同方案的合并，分别得到y=ab+ac+bc（2）y=ac+bc+ab（3）据此，阎石教授认为，“有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的”。遗憾的是，阎石教授没有追问，这是为什么？其实，一个逻辑函数利用卡诺图化简的结果不唯一，只表明函数的化简还可继续！为论证我们的推断，且从基本概念开始讨论。二、基本概念1、n个逻辑变量组成的最小项。n个逻辑变量组成的最小项可以定义如下：由n个逻辑变量或其非组成的n个不同元素的连续与叫这些自变量的最小项。例如：abcd，abcd等等。这个定义较之以往的陈述2更简洁、也更准确。2

4、、n个逻辑变量组成的最大项。n个自变量组成的最大项可以定义如下：由n个自变量或其非组成的n个不同元素的连续或叫这些自变量的最大项。例如：a+b+c+d，a+b+c+d等等。这个定义也较以往的陈述2更简洁、更准确。3、逻辑相邻性。由n个自变量组成的两个最小项（或最大项），只有一个因子不同（即互反），这两个最小项（或最大项）就具有逻辑相邻性。例如：两个最小项abcd与abcd具有逻辑相邻性；两个最大项a+b+c+d，a+b+c+d也具有逻辑相邻性。=a+b+c+d4、卡诺图。在逻辑代数中，由于任何一个逻辑函数总可以表成最小项的连续或，也总可以表成最大项的连续与；所以卡诺图应当有两种：一是关于最小项

5、的卡诺图，二是关于最大项的卡诺图。不过，一个逻辑函数之最小项的表达形式恰好是这个逻辑函数组成元素之非的最大项的非；例如：abcd=a+b+c+d，abcd=a+b+c+d。据此可知，一个逻辑函数之最小项的卡诺图与这个逻辑函数之最大项的卡诺图是同一表达的两种形式。鉴于n个逻辑变量组成的最小项书写起来比这n个逻辑变量组成的最大项简洁，因而，通常只讨论最小项的卡诺图。最小项的卡诺图就是把所有具有逻辑相邻性的n个逻辑变量组成的最小项相邻地排布起来，当n为偶数时，排成2n 2×2n 2方阵；当n为奇数时，排成2n-1 2×2n+1 2阵列；这类

6、阵列就是n个自变量组成的最小项卡诺图。三、用卡诺图化简逻辑函数的可行原则用卡诺图化简逻辑函数，先得将一个逻辑函数化为最小项的连续或（抑或最大项的连续与）的表达形式，并据此表达在对应卡诺图中存在某最小项（抑或最大项）的位置记1，不存在该最小项（抑或最大项）的位置记0，排布出2n 2×2n 2抑或2n-1 2×2n+1 2卡诺图陈列。然后，依据卡诺图，按以下基本原则化简逻辑函数：1、为简便起见，卡诺图中为1的元素少于为0的元素，宜将诸为1的元素合并化简逻辑函数，给出逻辑函数的表达式y；反之，若卡诺图中为1的元素多于为0的元素，宜将诸为0的

7、元素合并化简逻辑函数，给出逻辑函数的非的表达式ytx-；容易证明两种化简逻辑函数的途径对于同一卡诺图是等价的。2、卡诺图中有2n个为1（抑或0）的元素在一行（抑或一列）内连续相邻，抑或2n个为1（抑或0）的元素构成一个连续相邻的矩形阵列，则可化简消去n对元素。3、若一个逻辑函数对应的卡诺图中，任何为1（抑或为0）的最小项（抑或最大项）均无逻辑相邻性的同为1（抑或为0）的项，则此逻辑函数不能再用卡诺图化简。下面用具体事例展示用卡诺图化简逻辑函数的上述原则。仍用阎石教授给出的上例1：实际上，阎石教授对逻辑函数y=ac+ac+bc+bc的化简没有遵从我们上面给出的原则，从而导致了逻辑函数化简过程的复

8、杂化。显然，上面列出的逻辑函数y=ac+ac+bc+bc对应的卡诺图中，有六个1、两个0，所以据基本原则1、3两条，“宜将诸为0的元素合并化简逻辑函数”，给出y=abc+abc（4）而不应当像阎石教授那样，采用不同方案“将诸为1的元素合并化简逻辑函数”，分别得出（2）式和（3）式。事实上，由（2）式进一步化简，有y=ab+ac+bc=abacbc=(a+b)(a+c)(b+c)=a b c+abc（5）同样地，由（3）式进一步化简，有y=ac+bc+ab=acbcab=(a+c)(b+c)(a+b)=a b c+abc（6）（5）式和（6）式表明，（2）式和（3）式其实是唯一结果（4）式的不同中间表达，阎石教授关于“有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的”