曲线运动讲义

1、曲线运动/万有引力与航天讲义一、曲线运动、运动的合成与分解一、对曲线运动规律的进一步理解1运动类型的判断(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合外力方向是否与速度方向在同一条直线上2运动类型的分类(1)直线运动匀速直线运动，条件：F合0.匀变速直线运动，条件：F合为恒力、不等于零且与速度同线非匀变速直线运动，条件：F合为变力且与速度同线(2)曲线运动匀变速曲线运动，条件：F合0，为恒力且与速度不同线非匀变速曲线运动，条件：F合0，为变力且与速度不同线3两个直线运动的合运动性质的判断根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动

2、两个互成角度(0°<<180°)的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如v合与a合共线，为匀变速直线运动如v合与a合不共线，为匀变速曲线运动【例1】 一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1F，则质点以后()A一定做匀变速曲线运动B在相等时间内速度的变化一定相等C可能做匀速直线运动D可能做变加速曲线运动例1 AB恒力F1和F2的合力仍为恒力，物体由静止开始做匀

3、加速直线运动，若运动过程中F1突然增大到F1F，虽仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，故物体将做匀变速曲线运动，选项A正确而C、D错误；由va·t可知，选项B正确规范思维先判断是曲线运动还是直线运动，方法是看合外力的方向与速度的方向是否在一条直线上；再判断加速度是否变化，方法是看F合是否变化 针对训练1下图中，能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是()1A物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，所受合外力(或加速度)的方向指向曲线的凹侧二、运动的合成和分解1原则：当定量研究一个较复杂的曲线运动时，往往按实际效果把它分解为两个方向上的直线运动2运动的合成与

4、分解的运算法则(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图2所示图2(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a合，v合，x合.【例2】 (2010·江苏单科·1)如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度()A大小和方向均不变 B大小不变，方向改变C大小改变，方向不变 D大小和方向均改变图3例2 A笔匀速向右移动时，x随时间均匀增大，y随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速直线运动，竖直方向也是匀速直线运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A

5、正确规范思维首先按运动的效果将橡皮的运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的运动，再由题给条件判断竖直分运动为匀速直线运动针对训练2(2010·上海单科·12)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞()A下落的时间越短 B下落的时间越长C落地时速度越小 D落地时速度越大2D风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A、B两项均错风速越大，落地时合速度越大，故C项错误，D项正确三、两种典型模型1小船过河问题模型(1)涉及的三个速度： v1：船在静水中的速度v2：水流的速度v：船的实际速度(2)小船的实际运动是合运动，两个分运动分别是水流的

6、运动和船相对静水的运动(3)两种情景怎样渡河，过河时间最短？船头正对河岸，渡河时间最短，t短(d为河宽)怎样渡河，路径最短(v2<v1时)?合速度垂直于河岸时，航程最短，x短d，船头指向上游，与河岸的夹角为，cos .2绳连物体问题模型物体的实际运动为合运动，解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳方向的两个分量，根据绳连物体沿绳方向的分速度大小相同求解【例3】 一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度vx图象和水流的速度vy图象如图4甲、乙所示，则下列说法中错误的是()图4A快艇的运动轨迹为直线B快艇的运动轨迹为曲线C快艇最

7、快到达浮标处的时间为20 sD快艇最快到达浮标处经过的位移大于100 m例3 A快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，且不在同一直线上，故快艇的运动轨迹为曲线，A错，B对最快到达浮标处的方式是使vx垂直于河岸和浮标且保持图甲所示的加速度a0.5 m/s2做匀加速直线运动，则at2x，代入x100 m有t20 s，C项正确但际位移为x>100 m，D项正确规范思维(1)首先根据运动的等时性确定船头垂直岸(即vx垂直岸)时最快(2)再将艇的运动分解为沿河岸的匀速直线运动和垂直于河岸的匀加速直线运动，并由此确定轨迹 针对训练3一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方

8、向和y方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图5所示关于物体的运动，下列说法中正确的是()A物体做匀变曲线运动B物体做变加速直线运动C物体运动的初速度大小是5 m/sD物体运动的加速度大小是5 m/s2图53AC根据运动的合成与分解v合5 m/s，C正确从图象得物体的加速度a2 m/s2，由于物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速直线运动，且合初速度的方向与合加速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，A正确【例4】 如图6所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A 与悬绳竖直用力F拉B沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A的拉力的大小()A

9、大于mg B总等于mgC一定小于mg D以上三项都不正确图6例4 A物体B向左的速度vB是合速度，根据其效果，分解为如右图所示的两个速度v1和v2，其中v2vA，又因v2vBcos ，当物体B向左匀速运动时，vB大小不变，变小，cos 增大，所以v2增大，即物体A向上做加速运动，由牛顿第二定律得FTmgma，可知：FTmgma>mg，故A正确规范思维(1)在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动情况确定，分速度由合速度所产生的实际效果利用平行四边形定则确定(2)对绳连物体的问题进行分析时，物体的速度一般分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分速度

10、 针对训练4如图7所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动设某时刻物块A运动的速度大小为vA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为.则()AvAvBcos BvBvAcos C小球B减小的势能等于物块A增加的动能D当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大图74BDvA可分解为沿绳方向和垂直绳方向的两个分速度，如右图所示而小球B的速度等于沿绳方向的分速度，即vBvAcos ，故B正确；根据能量守恒可知，小球B减小的势能等于物块A增加的机械能和小球B增加的动能之和，C错；当物块

11、A上升到与滑轮等高时，vA沿绳方向分速度为0，即vB0，小球B运动到最低点，减少的重力势能全部转化为A的机械能，故此时A的机械能最大，D正确思维提升1判断物体是否做曲线运动要紧紧抓住力的方向是否与速度方向在一条直线上；而物体是否做匀变速运动，则要看物体是否受大小、方向不变的恒力作用，两者不要混淆2速度分解的一般原则是按实际效果来进行分解，常用的思维方法有两种：一种是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向；另一种是先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向)，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向3根据曲线运动的轨迹和受力

12、的关系运动轨迹弯向合外力一侧，确定出物体运动的轨迹4对于较复杂的运动，要善于将其分解为两个不同的运动，从而按运动的合成与分解的一般方法求解有关问题二、平抛运动一、平抛运动物体的运动1求以下三种情况下平抛运动的时间(如图1所示)图1tatbtc总结：(1)平抛运动的时间取决于(a)：物体下落的高度(b)：初速度v0及斜面倾角(c)：抛点到竖直墙的距离及v0(2)(a)中的水平位移xv0·，取决于v0和下落高度h.2速度的变化规律(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.(2)任意相等时间间隔t内的速度变化量方向竖直向下，大小vvygt.3位移变化规律(1)任意相等时间间隔t内的水平

13、位移不变，即xv0t.(2)连续相等的时间间隔t内，竖直方向上的位移差不变，即ygt2.4平抛运动的两个重要推论推论：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则tan 2tan .图2证明：如图2所示，由平抛运动规律得：tan tan 所以tan 2tan 推论：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点证明：如图2所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O运动到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x，0)则xv0t，ygt2，vygt，又tan ，解得x.即末状态速

14、度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点【例1】 (全国高考)如图3所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足()Atan sin Btan cos Ctan tan Dtan 2tan 图3例1 D本题考查平抛运动的有关知识，本题为中等难度题目由平抛运动知识可得：对速度分解有tan ，对位移分解有tan ，所以有：tan 2tan .规范思维本题考查平抛运动的基本处理方法，也考查了斜面的制约关系平抛物体落在斜面上，就确定了水平位移和竖直位移的几何关系，即tan (此式可称为斜面的制约方程)此外利用推论解题很便捷本题的结果实

15、际上是平抛运动的一个重要推论tan 2tan . 针对训练1(2010·北京理综·22)如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角37°，运动员的质量m50 kg.不计空气阻力(取sin 37°0.60，cos 37°0.80；g取10 m/s2)求：(1)A点与O点的距离L；(2)运动员离开O点时的速度大小；图41(1)75 m(2)20 m/s解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°gt2A点与O点的距离L75 m(2)设运动员

16、离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°v0t 解得v020 m/s【例2】 (2010·全国·18)一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为()Atan B2tan C. D.图5例2 D设小球的初速度为v0，飞行时间为t.由速度三角形可得tan .故有，答案为D.规范思维本题中，斜面制约的是速度方向物体垂直落在斜面上，就确定了速度方向 针对训练2(2010·天津河西期末)如图6所示，以v010 m/s的速度水平抛出的

17、小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角30°的斜面上，按g10 m/s2考虑，以下结论中不正确的是()A物体飞行时间是 sB物体撞击斜面时的速度大小为20 m/sC物体飞行的时间是2 sD物体下降的距离是10m图62AB考查平抛运动竖直方向的速度vy10 m/s，运动时间t s s，A正确，C错误；合速度大小v20 m/s，B正确；物体下落的竖直距离ygt215 m，D错误【例3】 (2008.江苏单科.13)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力

18、(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图7中实线所示)，求P1点距O点的距离x1.(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度h3. 图7例3 (1)v1(2) (3)h解析(1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动规律h1gtx1v1t1联立以上两式，解得x1v1·(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，根据平抛运动规律h2gtx2v2t2乒乓球反弹

19、前后水平分速度不变，最大高度不变故h2h2x2L联立式，得v2 (3)如下图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，根据平抛运动得h3gtx3v3t3且3x32L设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为x，有h3hgt2xv3t由几何关系知x3xL联立式，解得h3h规范思维本题以乒乓球发球为背景，考查学生读题、审题及挖掘信息的能力、建模能力问题设置有台阶、有铺垫，难度逐渐增加：第(1)问已知平抛的竖直高度和初速度求水平位移，难度较小；第(2)问认识到发球的对称性才可解答；第(3)问不仅能从对称性分析，还要恰当列式，熟练推导二、类平抛运动物体的运动1类平抛运动的受力特点物体所受合力为恒力，

20、且与初速度的方向垂直2类平抛运动的运动特点在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a.3类平抛运动的求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解图8【例4】 在光滑的水平面内，一质量m1 kg的质点以速度v010 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿竖直向上(沿y轴正向)的恒

21、力F15 N作用，直线OA与x轴成37，如图8所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求：(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；(2)质点经过P点的速度大小例4 (1)3 s(30 m,22.5 m)(2)5 m/s解析(1)质点在水平方向上不受外力作用做匀速直线运动，竖直方向上受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动由牛顿第二定律得a m/s25 m/s2设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xPv0t，yPat2又tan 联立解得：t3 s，xP30 m，yP22.5 m(

22、2)质点经过P点时沿y方向的速度 vyat15 m/s故P点的速度大小vP5 m/s规范思维类平抛运动是指物体受恒力作用且恒力方向与初速度方向垂直的运动，其运动规律与平抛运动的规律相同，处理方法与平抛运动问题的处理方法亦相同，但需注意的是不一定按竖直方向和水平方向进行分解，而是按初速度方向和合外力方向来分解思维提升1平抛运动的条件是只受重力作用；初速度不为0，且方向水平2平抛运动的性质是匀变速曲线运动3平抛运动的研究方法是运动的分解，即平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动4平抛运动中速度偏角与位移偏角之间的关系是tan 2tan ，要记住这一重要推论易错点评1平抛运

23、动中，在任意相等时间内的速度变化量都相等，且方向竖直向下，即vgt.2平抛运动的物体在空中的飞行时间仅决定于下落的高度，与初速度的大小无关，即t.3平抛运动与斜面结合的问题，常常用斜面倾角的正切与平抛物体水平位移、竖直位移之间的关系来处理4类平抛运动的处理方法与平抛运动完全一样，只是加速度不再是g，而应先根据牛顿第二定律求出加速度a，然后用平抛运动的处理方法来解决三、圆周运动一、圆周运动的运动学分析1匀速圆周运动(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向

24、时刻改变的变加速曲线运动(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心2传动装置特点(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等(3)在讨论v、r三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系【例1】 (宁夏理综高考.30)如图3所示为某一皮带传动装置主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑下列说法正确的

25、是()图3A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动C.从动轮的转速为n D.从动轮的转速为n例1 BC因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动而转动，所以从动轮做逆时针转动；由于通过皮带传动且转动过程中皮带不打滑，皮带与轮边缘的线速度相等，所以由2nr12n2r2得，从动轮的转速为n2.答案为B、C.规范思维分析传动问题要抓住关键的两点：(1)同一轮轴上的各点角速度相同；(2)皮带不打滑(或齿轮传动)时，轮边缘各点的线速度大小相同这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论 针对训练1如图4所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接

26、且不打滑在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1r2r3211，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vAvBvC；(2)A、B、C三点的角速度之比ABC；(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aAaBaC.图41(1)221(2)121(3)241解析(1)令vAv，由于转动时不打滑，所以vBv.因AC，由公式vr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vcv，所以vAvBvC221.(2)令A，由于共轴转动，所以C.因vAvB，由公式知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故B2.所以ABC121.(3)令A点向心加速度为aAa，因vAvB，由公式a知

27、，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB2a.又因为AC，由公式a2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aCa.所以aAaBaC241.二、圆周运动中的动力学问题分析1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力2分析下列各情景中的向心力来源图形向心力来源卫星绕地球做匀速圆周运动引力绳拉球在光滑水平面上做匀速圆周运动拉力(或弹力)衣服在筒内壁上做匀速圆周运动壁对衣服的弹力物体做圆锥摆运动拉力和重力的合力汽车通过拱形桥时重力和支持力的合力3.圆周运动的分析思路(1)

28、圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸将牛顿第二定律Fma应用于圆周运动，F就是向心力，a就是向心加速度，即得：Fmanmm2RmR(2)基本思路明确研究对象分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？)；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向)由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式求解或进行必要的讨论【例2】 (2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测)如图5所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆

29、心，a与c垂直，下列说法正确的是()A当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向B当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为b方向C当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向D当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向图5例2 BD圆周运动，向心方向一定受力匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力加速沿a方向，减速沿a反方向摩擦力即为向心方向和切向方向这两个方向上受到的力的合力由此可判断B、D正确规范思维(1)首先确定物体做什么性质的圆周运动：匀速圆周运动，合外力指向圆心；非匀速圆周运动，合外力有两个分力：沿半径指向圆心方向的合外力提供向心力，改变物体的速度方向；沿切线方向的

30、分力产生切向加速度，改变速度的大小(2)再根据合加速度的方向判断静摩擦力的方向【例3】 如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A和球B，A、B之间以及B球与固定点O之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O点做匀速圆周运动，如果OB2AB，则绳OB与绳BA的张力之比为()A21 B32 C53 D52图6例3 C设AB段长为l，分别对A、B受力分析如图所示由牛顿第二定律得FOBFABm·2l2FBAm·3l2由牛顿第三定律知FAB与FBA大小相等联立解得：FOB5ml2，FAB3ml2规范思维通过此题进一步强化应用牛顿第二定律解题的思路：明确研究对象；隔离物体进行

31、受力分析；明确圆心及半径；应用牛顿第二定律列方程正确的进行受力分析仍是解题的关键 针对训练22009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1 000 m，飞行速度为100 m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多少倍(g10 m/s2)2见解析解析如右图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力FN1，合力提供向心力即Fn1FN1mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力FN2，合力提供向心力即Fn2FN2mg.两个向心力大小相等且FnFn1Fn2在最低点：FN

32、1mg，则FN1mg解得：12在最高点：FN2mg，则FN2mg解得：10即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重力的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力思维提升1注意区分匀速直线运动与匀速圆周运动的不同匀速直线运动是平衡态，加速度为零，所受合力为零；匀速圆周运动是非平衡态，速度方向在变化，一定有加速度，也一定受力的作用2向心力是效果力，是物体实际所受性质力的分力或合力，在分析物体所受力的个数时，不应分析向心力易错点评1在传动问题中要注意区分轴传动与带(或摩擦)传动两种情况轴传动时，共轴各轮角速度相等；带(或摩擦)传动时，各轮边缘线速度相等解题中应挖掘出这一隐含条件2匀速圆周运动具有周

33、期性，解题中要特别注意由周期性所引起的多解问题3在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量4对于圆周运动中的临界问题，找到临界状态，列出临界条件下的平衡方程或牛顿第二定律方程是解题的关键四、圆周运动规律的应用圆周运动规律在实际中的应用1圆锥摆类问题分析图4圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力F合Fnmgtan m其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图5所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图6所示)；飞机在

34、水平面内的盘旋(如图7所示)图5图6图7【例1】(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系图8例1 解析设转盘转动角速度为时，钢绳与竖直方向的夹角为座椅到中心轴的距离：RrLsin 对座椅受力分析有：Fnmgtan mR2联立两式得： 针对训练1(2009·广东单科)(1)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷

35、下炸弹并击中目标求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小(不计空气阻力) (2)如图9所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半内壁上有一质量为m的小物块求：当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度图91(1)v0(2) 针对训练2铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对

36、应的轨道的高度差h.弯道半径r/m660330220165132110内、外轨高度差h/mm50100150200250300(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r440 m时，h的设计值(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数当很小时，tan sin )2(1)hr33 m275 mm(2)54 km/h 2竖直面内的圆周运动问题分析图10(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能

37、有支持力(如图10所示)这种情况下有Fmgmg，所以小球通过最高点的条件是v，通过最高点的最小速度vmin.当v> 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力当v< 时，球不能通过最高点(实际上球没有到最高点就脱离了轨道)图11(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图11所示)有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：mgFmg，所以v，物体经过最高点的最大速度vmax，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图12所示图12过最高点的临界条件：v0.在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆

38、周运动的向心力，即mg，v，杆或轨道内壁对小球没有力的作用当0<v<时，小球受到重力和杆(或内轨道)对球的支持力当v>时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)图13【例2】 如图13所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围例2 Rh5R解析设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒得mgh2mgR

39、mv2物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力FN.重力与压力的合力提供向心力，有mgFNm物块能通过最高点的条件是FN0，即当FN0，只有重力提供向心力时为通过最高点的临界条件，有mgm由式可得v由式得hR按题的要求，FN5mg，代入式得v由式得h5R规范思维解此题要注意两个临界条件的分析，特别要理解“物块能通过最高点”的临界条件的意义 针对训练3在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩如图14所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动假设他的质量为60 k

40、g，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g10 m/s2)()图14A600 N B2 400 N C3 000 N D3 600 N3C 针对训练4如图15所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0，则物块()A立即做平抛运动 B落地时水平位移为RC落地速度大小为2 D落地时速度方向与地面成60°角图154AC物体恰好不受轨道的支持力的情况下(物体在最高点做圆周运动)的临界条件是最高点速度为，因为v0>，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律Rgt2，xv0t，可得：x2R，B答案错误；落地时竖直分

41、速度vy，合速度v2，其方向与地面成45°角，C正确，D错误思维提升1虽然铁路外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内故火车运动轨迹的圆周平面是水平面，而不是斜面2汽车通过凹部时处于超重状态；通过凸部时处于失重状态3离心运动是因为所受的向心力小于所需向心力所致，根本不存在“离心力”这种力离心运动轨迹可以是直线，也可以是曲线4杆连小球与绳连小球在完成竖直面内的圆周运动时，所需临界条件不同其根本原因是杆可提供拉力，也可提供支持力，而绳只能提供拉力易错点评1汽车过凸形拱桥面顶点，当汽车的速度v时，汽车对桥的压力

42、减小为零这时，汽车以速度v开始做平抛运动，而不再沿桥面做圆周运动，如图所示2处理离心运动问题时，要注意区分外界所提供的力与物体做圆周运动所需的向心力3处理竖直面内的圆周运动时，要注意临界条件的使用，且在最高点或最低点时应用向心力关系，而在两点之间应用动能定理或功能关系处理五、万有引力定律及其应用一、万有引力定律及其应用重力与重力加速度1关于重力(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零各处位置均有mg(2)由于FnmR2非常小，所以对一般问题的研究认为Fn0，mg2重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Gmg，g.(R为星球半径，M为星球质

43、量)(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：Gmg，g随着高度的增加，重力加速度逐渐减小【例1】 (2009·江苏单科·3)英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A108 m/s2 B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2例1 C可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg，即g，将代入上式得g m/s21×1012

44、m/s2.规范思维在星球表面，由mgG，得GMgR2，若知星球表面重力加速度g和星球半径R，可替换GM，称为黄金代换；g，由重力加速度g可将万有引力定律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题二、天体质量和密度的估算1解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤(1)两条线索万有引力提供向心力FFn.重力近似等于万有引力提供向心力(2)两组公式Gmm2rmrmgrmm2rmr(gr为轨道所在处重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Gmg，故天体质量M，天体密度.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周

45、期T和轨道半径r进行计算由万有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天体质量M；若已知天体的半径R，则天体的密度；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度【例2】 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由Gm()2h得M.(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由如不正确，请给出正确的解法和结果(2)

46、请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果例2 见解析解析(1)上面的结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略正确的解法和结果：Gm()2(Rh) 得M.(2)解法一在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由mg，解得M.解法二对月球绕地球做圆周运动，由Gm()2r，得M.规范思维本题给出了两种常用的求星球质量的方法：(1)已知卫星的轨道半径r和周期T求质量(注意r为卫星到天体球心的距离)；(2)已知星球表面重力加速度g、星球半径R和引力常量G，由M，求星球质量三、对人造卫星的认识及变轨问题1人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即Gmmr2m()2r2人造卫星的运动学特征

47、(1)线速度v：由Gm得v ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小(2)角速度：由Gm2r得，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小(3)周期：由Gmr，得T2 ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大3卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动满足的公式：G.(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新

48、的轨道运行，由v 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)图3【例3】 (2010·江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道 进入椭圆轨道 ，B为轨道 上的一点，如图3所示关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有()A在轨道 上经过A的速度小于经过B的速度B在轨道 上经过A的动能小于在轨道 上

49、经过A的动能C在轨道 上运动的周期小于在轨道 上运动的周期D在轨道 上经过A的加速度小于在轨道 上经过A的加速度例3 ABC在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A选项正确由万有引力定律可知飞机在A点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A点的加速度是个定值，故D项错误飞机从A点进入轨道 相对于轨道 可看成向心运动，则可知飞机在轨道 上A点速度小于轨道 上A点速度，再结合动能定义式可知B选项正确根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C选项正确综上知正确答案为A、B、C.规范思维卫星的变轨问题注意区分这两种情况(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道

50、半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v 7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ，其大小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大2地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空(2)地球同步卫星与地球

51、自转具有相同的角速度和周期(3)地球同步卫星相对地面静止(4)同步卫星的高度是一定的【例4】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A0.4 km/s B1.8 km/s C11 km/s D36 km/s例4 B设地球的质量、半径分别为M、R，月球的质量、半径分别为M、r，则M，rR.在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则：m0g，即GMgR2；在月球表面，满足GMgr2，由此可得：ggg，地球表面的第一宇宙速度v17.9 km/s，在月球表面，有v ×7.9 km/s1.8 km/s.规范思维(1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力五、双星问题【例5】 (2010·重庆理综)月球与地球质量之比约为180.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A16 400 B180C801 D6 4