矿大高数92二重积分的计算(2)课件

1、1 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(d故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分.),(lim),(iiniiDfdyxf 10直角坐标系下的计算公式2xyoxdxxydyyddxdy第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法2如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x , ba直角坐标系下的计算公式直角坐标系下的计算

2、公式)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 3为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,dxxAdyxfDba)(),(得得zyx)(xAaxb),( yxfz)(2xy)(1xy4axbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydyyxfdxxxba)()(),(21 dxxAdyxfDba)(),()()(21),()(xxdyyxfxAdxxAdyxfDba)(),(dxdyyxfbaxx ),()()(

3、215.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D6若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.721 ydy y1 10 1 2 0 1 2 xxy x解法解法1 1. . I21dxdyyx21 dx2132121xdxx89xyx1221解法解法2 2. . Idxyx21dy2221yyx213212ydyy89y1xy2例例1. 1. 计算计

4、算,DdyxI 其中其中D D是直线是直线 , , 及及 所围的闭区域所围的闭区域. . 21xy,xy 8Dxy2例例2. 计算计算,Ddyx其中其中D 是抛物线是抛物线 与直线与直线 xy2所围成的闭区域所围成的闭区域. 2 xy214oyx解解: 为计算简便为计算简便 , 先先x 后后y ，则，则xdyxDdyx21yd2122212ydyxyy2152)2(21ydyyy21623461234421yyyy845y2y2y2 xy9例例3. 计算计算,sinDydxdxx其中其中D 是直线是直线 0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy解解: 由被积函数可知由被积函数可知

5、, 先对先对 x 积分积分 积不出积不出,Dydxdxxsinxyd00sinxxd0cosx20sinxdxxx10求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 1033221026ydey).21(61e 例例4. 11xy 1例例 5 5 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如

6、图积分区域如图12822 yx2D22例例6 6. . 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020 xxydyxfxdydyxfxdI),(),(解解: : 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: :yxo21D221xy 221DDD选取先对选取先对x积分，则积分，则将将DdxdyyxfI),(xdyxf),(20yd28 yy213解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 14例例8.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围立体的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:dxdyxRVD22822022xRdyxRdxxR