行列展开定理

1、一一 、行列式的性质、行列式的性质二、二、 应用举例应用举例 用行列式定义计算其值，仅在罕见的情况下适用。用行列式定义计算其值，仅在罕见的情况下适用。 n 级行列式共有级行列式共有 n! 项，计算它就需做项，计算它就需做n!(n - 1) 个乘法个乘法.当当 n 较大时，较大时，n! 是一个相当大的数字是一个相当大的数字.直接从定义来计直接从定义来计算行列式算行列式几乎是不可能的事几乎是不可能的事. 一般的方法是把行列式变换为三角行列式，然后以对角一般的方法是把行列式变换为三角行列式，然后以对角线元素的乘积作为其值。线元素的乘积作为其值。 为了把行列式变换为三角形行列式，就需要研究行列式为了把

2、行列式变换为三角形行列式，就需要研究行列式在进行所谓初等变换时其值的变化规律。在进行所谓初等变换时其值的变化规律。 因此我们有必要进一步讨论行列式的性质因此我们有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性利用这些性质可以化简行列式的计算质可以化简行列式的计算.若若n10，则乘法次数为：，则乘法次数为：36 288 000次次;如果矩阵是如果矩阵是25阶的，阶的，则乘法次则乘法次数为：数为：3.72271026次次;假如用每秒能做假如用每秒能做1012 （1万亿）次乘法的计算机来计万亿）次乘法的计算机来计算这个行列式，需要算这个行列式，需要1200万年。因此，实际计算时，要采用很多巧妙的简化万年。因

3、此，实际计算时，要采用很多巧妙的简化方法。方法。 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DTa11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D= a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 则 DT=即 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式的值变号行列式的值变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ， 等于用数等于

4、用数 k 乘此行列式乘此行列式.行列式中如果有两行（列）对应元素成比例，则此行列式为零行列式中如果有两行（列）对应元素成比例，则此行列式为零行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面行列式符号的外面推论推论2 行列式一行（列）所有元素为零，行列式值为行列式一行（列）所有元素为零，行列式值为0 .性质性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列 式可以拆成两个行列式的和式可以拆成两个行列式的和.性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到把行列式的某一列（行

5、）的各元素乘以同一数然后加到 另一列另一列(行行)对应的元素上去，行列式的值不变对应的元素上去，行列式的值不变(行列式中的行与列具有同等的地位行与列具有同等的地位)记212222111112111111122112112222222122, ,.nnnnnnnnTijjinnnnnnnnnnaaaababaaaababaaaDababDbaaabbab= =行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的的转置行列式转置行列式. 有了这个性质,所有对于行叙述的行列式性质对于列也成立.例如11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaa= =第第i行行第第s行行1112

6、11211212nsssniiinnnnnaaaaaaDaaaaaa= =第第i行行第第s行行1.DD= = 111213112131212223122223313233132333112131111213122223212223132333313233.akaaaaaakaakakakaakaaaaaaaaaaak aaak aaaaaaaaa= =111213212122222323313233111213111213212223212223313233313233.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=11111212122333330rrrrrrkrrkrrrr

7、rrrr= 利用行列式的性质，把行列式化为上利用行列式的性质，把行列式化为上( (下下) )三角形行列式或三角形行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值对角形行列式，从而算得行列式的值二、二、应用举例应用举例【注注】 化为上三角形行列式的基本步骤：化为上三角形行列式的基本步骤：如果第一列第一个元素为如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为（列）交换，使得第一列第一个元素不为0；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为列的元素除了

8、第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。角线上元素乘积就是行列式的值。 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 第 i 行(或列)提出公因子 k 记作 ri k (或 ci k ) 交换 i j 两行记作 rirj 交换 i j 两列记作 cicj 以数 k 乘第j行(列)加到第 i 行(列)上 记作 rikrj (cikcj) 以以 ri 表示行列式的第表示行列式的第 i

9、 行，以行，以 ci 表示第表示第 i 列列.例例1 1 计算行列式计算行列式2101044614753124025973313211 = =D解解2101044614753124025973313211 = =D3 2101044614753124022010013211312 rr 2 2101044614753140202010013211 3 312rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr413rr2220020100211003512013211 23rr 22200010002110035

10、12013211 34rr 2 6400001000211003512013211 352rr 4 6000001000211003512013211 612 = =454rr .12= =21124132234342131213121534084602115021151330162713121312131202114021102115 / 440084680081000810016270010150005 / 2rrDccrrrrrrrrrr=解解3112513420111533D = = 例例2 2 计算四阶行列式计算四阶行列式解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111

11、 = =D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2abbbbabbbbabbbbaD= =例例3 3 计算计算n阶行列式阶行列式 abbbabbbabbbbna1111) 1( = = babababbbbna = =1) 1(00 .)() 1(1 = =nbabna231312123.nnnxaaaaxaaaaxaDaaax= =例例4 4 计算计算n阶行列式阶行列式12,.,irrDin = =解解2312131000000nnxaaaaxxaaxxaaxxa(,1,2,., )ixa in=1,iicxain = = 32123110010101001nniaaxax

12、axaxaxaxa 12,iccin = = 32231010000100001ininiaaaaxaxaxaxaxa 1iiiaxaxa= 1111000000 xxxxxxx 12,3,4irrDi = =解解111000000000 xxxx 41,2,3icci = = 4x= =例例5 5 计算计算1111111111111111xxxxu 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法： (1)利用定义利用定义; (2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从利用性质把行列式化为三角形行列式，从 而算得行列式的值而算得行列式的值 u 行列式的行列式的5个性质及推论个性质及推论. ( (行列式中

13、行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质行列式的性质 凡是对行成立的对列也同样成立凡是对行成立的对列也同样成立) )作业：作业： P30 8 (4) 10 (4)11 (2) (4) 12 (2) (3)思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD = = 1= =abcd已知已知解解111111112222dddcccbbbaaaD = =1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222= = dddcccbbbaaa1111

14、11111111122223 . 0= = = 6 1 1 1 1= 练习1 计算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 =D =D 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 =D =D 解 c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1= 6= c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1r4r1r3r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0=68=48 = D 练习2 计算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD=3610363234

15、232 解 r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bca bcd0 a ab abc0 0a2ab0 0a3ab= r4r3r3r2a bcd0 a ab abc0 0a2ab0 00 a= r4r3=a4 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD =1111111111110000 kkkkaaaaD =11111nnnnbbbbD =11112 练习3 证明D=D1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 kkkkkpppppD = = 0111111 nnnnnqqqqqD = = 0111112 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 nnnnknkkkkqqqccccpppD =11111111110000 00 故D=p11 pkk q11 qnn=D1D2 把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得ddccbbaadcbaDnn= )22(22) 1( 根据例4的结果 有 D2n=D2D2(n1) =(adbc)D2(n1) 以此作递推公式