-拉普拉斯变换

1、 第十三章 拉普拉斯变换 经典法根据电路列出微分方程然后进行求解来求解动态电路响应的方法。也叫时域解法（求解时间函数方程）。优点：物理概念清楚，便于理解。但是这种方法对于求解二阶以上的复杂电路，很困难。即使是一阶电路，当激励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当激励为指数函数、斜坡函数、特别是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。在正弦稳态分析中，采用向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。向量分析是一种变换。在暂态分析中，能否也建立这种类似的变换?拉普拉斯变换（简称拉氏变换）线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解

2、动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确定响应后，经过拉氏反变换得到时域响应。这种分析法不用求特解、通解、及确定积分常数，所得结果就是全响应。拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。因为拉氏变换分析要经过求拉氏变换和反变换两次运算（变换），所以也称为运算法。运算法是一种通过数学变换间接求解动态电路的简捷方法。 应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非时变的电路，不适用于时变及非线性电路。§15-1 拉普拉斯变换的定义一、 拉氏变换的定义 先定义一个复数 其中是使函数在区间（0，）内积分收敛而选定的一个常数；是角频率，是

3、变量；是复变量。、的单位都是1/秒。复变量也称为广义频率，或复频率。1、 拉氏正变换的定义定义在（0，）内的时间函数（代表电路中的激励，或响应），与因子相乘，构成一个新的函数，再在（0，）内对积分，该积分称为单边拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 式中为复数（复频率变量）上式对t求定积分后，变成了复变量s的函数，所以记作。 称为对应的象函数，称为的原函数。 L拉氏变换符号（算子），所以又称为的拉氏变换式。由于s被称为复频率，所以S域又叫做复频域。 积分式中下限取到，是为了当在处含有冲激函数时不会被忽略。而对一般情况，下限取，都无所谓。2、 拉氏反变换的定义 域中的象函数，与因子相

4、乘，构成一个的新函数，再从对求定积分，将积分值除以，即得到原函数。这个定积分称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。即L与是一对反变换。称为一个拉氏变换对，与是一一对应的。习惯上，时域的原函数用小写字母表示，如i(t), u(t)， 象函数用大写字母表示，如I(s), U(s)等。二、拉氏变换存在的条件 并非任意都能进行拉氏变换。 定义在区域内的函数，如果满足下列两个条件：（1）的任一有限区间内，分段连续；（2）在t充分大时，满足不等式0C其中M、C为实常数（即为一指数函数），则的拉氏变换，在复平面上（即）的半平面上一定收敛，即在的半平面内其拉氏变换存在。所以拉氏变换存在的基本要求是为有限值（收敛

5、），对应复平面中使积分收敛的区域称为收敛域。证明： 当，即，即时，是收敛的（有限的），的拉氏变换才是存在的。 满足的函数称为指数级函数。在电路分析中所遇到的大多为指数级函数，因而，其拉氏变换大多是存在的。 §15-2 一些常用函数的拉普拉斯变换 几个基本函数的拉氏变换： 1. 单位阶跃函数0 即 为一拉氏变换对收敛域为若 若（常数）根据拉氏变换的定义，对时的函数值不予考虑，所求和拉氏变换时，k可视为 2. 单位冲激函数 3. 指数函数（a为任一实数或复数） 必须满足，即（收敛域）。0C 若为一负实数时， 收敛域为 0C当为正实数， 收敛域 0当纯虚数时 收敛域 4. 正弦函数由欧拉公

6、式： 同理，余弦函数 5. 幂函数（n为正整数） 当 斜坡函数 令， 则 即 递推 从以上变换中可见，时域中难以处理的d函数、三角函数、指数函数等，通过拉氏变换都成了频域中比较容易运算的函数。其它常用函数的拉氏变换对见书P329表13-1。§13-3 拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换有好几条基本性质，掌握这些性质将有助于拉氏正、反变换。一、线性定理设、为两个定义在区域内的任意函数，在其定义域内，都可以进行拉氏变换，且，设C1、C2为两个任意常数，则有证明： 即：时间函数的线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。例 求的拉氏变换（双曲余弦）解 例求的拉氏反变换。解： 二、微分定理

7、设，则证明： 二阶导数的拉氏变换： 时域函数的一阶导数的拉氏变换，相当于在复频域中对原函数的象函数乘以S，再减去原函数时的值。若，则在时域中求导的拉氏变换相当于在频域中乘以s，时域的微分转化成了复频域中的乘法，从而将的微分方程转化为的代数方程。例 求：和解：，在处连续，在处不连续，注意在处的连续问题：若连续。但若不连续，在处有一冲激作用，若误取值，就忽略了该冲激作用而出错。三、积分定理 设 则 证： 令 ， 则 原式为有限函数（有界函数），即为指数级函数。 （只要足够大） 而 时间函数的积分的拉氏变换等于该函数的拉氏变换除以S。 当积分区间为时， 可分段表示为一个常数，后一项才是一个函数。 当

8、f(t)为电流时，为电荷；当f(t)为电压时，为磁链。四、延时定理 设 则 证明： 令，则 原式 一个时间函数在时域中延时了t0时间，则在复频域中相当于它原来的象函数乘以注意：不一定等于0tf(t)TE 例 f(t)为一单锯齿波，求其拉氏变换。解： 注意：若表示为怎样？较麻烦！周期函数的拉氏变换： 一个周期函数，若其从起始的第一个周期波形的解析式为，其拉氏变换为。则可表示为：时： 其拉氏变换为： 周期为T的周期函数拉氏变换为 为第一周期波形函数的拉氏变换。0t123759 例 求图示函数的拉氏变换解：该函数周期，第一周期波形解析式为： 五、频域位移定理设 则 的象函数为证明： 一个时间函数乘以因子，相当于它的象函数在复频域内产生位移a。例 求，的拉氏变换。解 六、复频域中的微分与积分1. 微分设，则有 证明： 时域中乘以t的拉氏变换相当于在复频