考研数学高数习题—多元函数积分学

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2、分_10、计算曲线积分，其中为圆周。11、计算曲线积分，其中是第一象限内从点到点的单位圆弧12、设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是13. 计算其中(1)抛物线上从点到点的一段弧.(2)从点到点的直线段. (3)先从点到点,在从点到的直线段.(4)曲线上从点到点的一段弧.14、计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.15、计算曲线积分，其中为自点沿抛物线至点的一段。16、计算曲线积分，其中为自点沿曲线至点的一段。17. 计算其中是由抛物线所围成的区域的边界，沿逆时针方向.18. 计算其中是由点所围成的正方形区域的边界，沿顺时针方向

3、.19、计算曲线积分，其中为正向曲线。20、已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分.21.验证下列曲线积分与路径无关22、设则_23、计算，为立体的边界24、计算，其中为抛物面在坐标平面上方的部分。25.计算其中是平面在第一卦限的部分.26.计算其中是锥面被柱面所截得的有限部分.27、计算曲面积分，其中为上半球面的上侧.28、计算曲面积分，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角.29、计算，其中为的上侧30、计算，其中是由曲面与所围立体表面的外侧.31.计算其中是由平面所围成区域的表面，取外侧.32、设是锥面的下侧，则_.33、计算，其中为下半球面的上侧，为大

4、于零的常数.34、计算为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则35、计算其中是平面与圆柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向.36、设，则.参考答案1、2、【解析】方法一：利用柱坐标进行计算方法二：3、4、解在上的投影区域则5、解6、7、8、9、10、11、【解】：，则 =12、13.14、【解】（添加轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取为轴上从点到点的一段，是由与围成的区域15、16、17.18.19、20、21.略22、23、【解】： 设，为锥面，；为上部分，在面投影为，则=， 所以，+24、25、26、27、【解】取的下侧，为和所围

5、成的区域，则由高斯公式可知原式.28、方法一：用高斯公式以表示法向量指向轴负向的有向平面，为在平面上的投影区域，则方法二：用矢量投影法，因为，于是方法三：直接投影法.曲面在平面上投影对应两个曲面：一是，其方向指向前侧，因此积分取正号，一是，其方向指向后侧，因此积分取负号，再记表示在平面上投影区域，则29、【解】： 添加与构成封闭曲面令，而，所以原式=30、【解】由高斯公式得其中为曲面与所围成的区域.31.32、【解】补一个曲面上侧（为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而（在上：）33、【解析】本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,

6、但由于被积函数分母中包含,因此不能立即加、减辅助面,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：添加辅助面,其侧向下(由于为下半球面的上侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于的方向向下；另外由曲面片在平面投影面积为零,则,而上,则.,其中为与所围成的有界闭区域,为在面上的投影.从而,第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.34、【解】： 令，则，由公式：原式=，由于该曲面的法向量方向余弦均为正，且由对称性可知35、【解】设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影，由斯托克斯公式得：36、【解】根据定义