第九章_压杆稳定

1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-1 9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9-2 9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9-3 9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数9-4 9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图9-5 9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9-6 9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例例 一长为一长为300mm300mm的钢板尺，横截

2、面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 20mm 1 1mm mm 。钢的许用应力为钢的许用应力为 =196MPa=196MPa。按强度条件计算得。按强度条件计算得钢板尺所能钢板尺所能承受的轴向压力为承受的轴向压力为 F = A = 3.92 kN 91 91 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 实际上实际上, ,当加的轴向压力达到当加的轴向压力达到40N40N时时, ,钢板尺就突然发生钢板尺就突然发生明显的弯曲变形明显的弯曲变形, ,丧失了承载能力丧失了承载能力. . 可见，其承载能力可见，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度并不取决轴向压缩的抗压强度，而是，而是与受压时变弯有关与受压时变弯

3、有关。一、引言一、引言maxmax AFN1、实际的受压杆件：、实际的受压杆件：其轴线并非理想的直线而存在其轴线并非理想的直线而存在初弯曲初弯曲；作用于杆上的轴向压力有作用于杆上的轴向压力有“偶然偶然”偏心偏心；材料性质材料性质并非绝对均匀并非绝对均匀；二、实际的受压杆件和理想的中心受压直杆二、实际的受压杆件和理想的中心受压直杆 因此，因此，在轴向压力作用下会发生弯曲变形在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快的增大。的增大。2、理想的中心受压直杆：、理想的中心受压直杆： 为了理论研究的方便，将压杆为了理论研究的方便，

4、将压杆抽象为抽象为材料均匀、杆材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线作用轴为直线、压力沿轴线作用的的理想的中心受压直杆理想的中心受压直杆。 理想的中心受压直杆在轴向力作用下，不会发生弯理想的中心受压直杆在轴向力作用下，不会发生弯曲变形。因此，当作用压力曲变形。因此，当作用压力F后，给其后，给其一个横向干扰力一个横向干扰力，使杆出现弯曲变形，出现下面现象：使杆出现弯曲变形，出现下面现象：当压力当压力P P 增大到某一数值增大到某一数值Pcr Pcr 时，稍受横向力的干时，稍受横向力的干扰，杆即变弯，不再恢复扰，杆即变弯，不再恢复原有的直线形状，而处于原有的直线形状，而处于弯曲平衡状态；如弯曲平衡状态；

5、如P P值再值再稍有增加，杆的弯曲变形稍有增加，杆的弯曲变形显著增大，甚至最后造成显著增大，甚至最后造成破坏，这种不能保持原有破坏，这种不能保持原有直线形状的平衡是直线形状的平衡是不稳定不稳定的平衡的平衡。如图。如图9-29-2d d. . 判断中心受压直杆是否稳定？判断中心受压直杆是否稳定？ 稳定平衡状态稳定平衡状态 临界平衡状态临界平衡状态 不稳定平衡状态不稳定平衡状态 确定压杆的确定压杆的临界力临界力FcrcrFF crFF crFF 判断中心受压直杆是否稳定的判断中心受压直杆是否稳定的关键关键：Fcr是是压杆由稳定平衡变为不稳定平衡的压杆由稳定平衡变为不稳定平衡的临界力临界力。9-2

6、9-2 两端铰支的细长中心受压直杆临界力两端铰支的细长中心受压直杆临界力 的欧拉公式的欧拉公式 本节以本节以两端铰支两端铰支的细长中的细长中心受压杆件为例，按照对于理心受压杆件为例，按照对于理想中心压杆来说想中心压杆来说临界力就是杆临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的这一概念，来导出求临界力的欧拉公式。欧拉公式。BAFcr2cr2 EIFl 两端铰支细长中心压杆临界力的两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式欧拉公式：9-3 9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数压杆的

7、长度因数和相当长度压杆的长度因数和相当长度从表从表9- -1中可见，中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 2cr2 EIFl 式中，式中， 称为压杆的长度因数称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况，它与杆端约束情况有关；有关； l 称为称为压杆的相当长度压杆的相当长度。横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰 等），则等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。应取最小

8、的形心主惯性矩。zyx取取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。中小的一个计算临界力。(2) 若杆端在各个方向的约束情况不若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。不同方向失稳时的临界压力。I 为其为其相应中性轴的惯性矩。相应中性轴的惯性矩。即分别用即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力。计算出两个临界压力。然后取小的一个作为压杆的临界压力。然后取小的一个作为压杆的临界压力。运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意：压杆受临界力压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不作用而仍在直线平衡

9、形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按稳定平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。计算。9-4 9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 临界应力总图临界应力总图一、临界应力一、临界应力欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆压杆横截面上的应力横截面上的应力为为2crcr2()FEIAlA 为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径AlEIAF2 22 2)(crcr AIi 2 22 22 22 22 22 22 2)/()()(crcrilEilEAlEIAF 称为压杆的称为压杆

10、的 柔度（长细比）柔度（长细比），集中地反映了，集中地反映了压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对对临界应力的影响。临界应力的影响。令令li 因因故故2 22 2 E cr 越大，相应的越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。 若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件 不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压杆的临界应力，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。2 22 2 E crcrcr AF二、欧拉公式的应用范围二、欧拉

11、公式的应用范围或或Pcr 2 22 2E2PPPEE 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限力不超过材料的比例极限 p的情况的情况。令令P u P 的大小取决于压杆材料的力学性能。的大小取决于压杆材料的力学性能。例如例如，对于，对于Q235钢钢，可取可取 E=206GPa， P=200MPa，得，得96P206 10100200 10PE 所以，对于所以，对

12、于Q235钢钢，只有当其柔度，只有当其柔度 100100，才能按欧拉才能按欧拉公式计算其临界力。公式计算其临界力。u通常把通常把 p的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的的压杆，称为压杆，称为大柔度压杆或细长压杆大柔度压杆或细长压杆，而把，而把 y , 所以压杆绕所以压杆绕 z 轴先失稳，且轴先失稳，且 z =115 P，用，用欧拉公式计算临界力。欧拉公式计算临界力。kN.crcr5 589892 22 2 zEAAF 例题例题3 外径外径 D = 50 mm，内径，内径 d = 40 mm 的钢管，的钢管，两端铰支，材料为两端铰支，材料为 Q235钢

13、，承受轴向压力钢，承受轴向压力 F。试求：。试求：能用欧拉公式时压杆的最小长度。能用欧拉公式时压杆的最小长度。解：解：能用欧拉公式时压杆的最小长度能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆压杆 = 1P100PE 222244414)(64)(dDdDdDAIi 224100PlliDd m6 . 11404. 005. 010022min l9-5 9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数 为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入纳入稳定安全因数稳定安全因数nst，取，取稳定条件稳定条件(stability condition)为为式中，式中

14、， st= cr/nst为为压杆的稳定许用应力压杆的稳定许用应力。crstFAn stFA 亦即亦即 由于由于 cr与压杆的柔度与压杆的柔度 有关，而且考虑到不同柔度的压杆有关，而且考虑到不同柔度的压杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst也也随随 变化，因此变化，因此 st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。 为了应用方便，将稳定许用应力为了应用方便，将稳定许用应力 st写为材料的强度许用写为材料的强度许用应力应力 乘以一个随压杆柔度乘以一个随压杆柔度 变化的变化的稳定因数稳定因数j j = =

15、j j ( )，即，即 j j stcrstcrstnn 我国钢结构设计规范我国钢结构设计规范根据对常用截面形式、尺寸和加工根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的工艺的96根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应力所根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，给出了钢压杆给出了钢压杆稳定因数稳定因数j j与柔度与柔度 的一系列关系值的一系列关系值。 该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为分为a，b，c三类截面。大多数钢压杆可取作三类截面。大多数钢压杆可取作

16、b类截面压杆。类截面压杆。表表9- -3为为Q235钢钢b类截面中心压杆随柔度类截面中心压杆随柔度 变化的稳定因数变化的稳定因数j j。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定表表9- -3 Q235钢钢b类截面中心受压直杆的稳定因数类截面中心受压直杆的稳定因数j j第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9- -6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面根据上节中所述，中心压杆的稳定条件可以表达为根据上节中所述，中心压杆的稳定条件可以表达为 FAj j 注意：注意：A所表示的横截面面积，即使当压杆被钉孔等局部削所表示的横截面面积，即使当压杆被钉孔等局部削弱时也还弱时也还采用不考虑削弱的毛面积，

17、因为压杆的稳定性取决采用不考虑削弱的毛面积，因为压杆的稳定性取决于整体的抗弯能力，受局部于整体的抗弯能力，受局部削削弱的影响很小。弱的影响很小。 这与强度计算中必须以横截面被钉孔等削弱后的净面这与强度计算中必须以横截面被钉孔等削弱后的净面积为依据是有所不同的。积为依据是有所不同的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 FA j j 压杆的临界应力随柔度压杆的临界应力随柔度 的减小而增大，的减小而增大，因而因而当杆端约束在各纵向平面内相同时当杆端约束在各纵向平面内相同时，压杆的合理截面压杆的合理截面应应是：是：. . 对两个形心主惯性轴的惯性半径相等的截面，亦即对两个形心主惯性轴的惯性半径相等的截面，亦即两个两个形心主惯性矩相等的截面；形心主惯性矩相等的截面；. . 在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半径尽可能大的截面，亦即径尽可能大的截面，亦即形心主惯性矩尽可能大的截面形心主惯性矩尽可能大的截面。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定AIlil 对于对于杆端约束在压杆各纵向平面内