第十二章能量法

1、第十二章第十二章能能 量量 方方 法法主讲教师：余茜主讲教师：余茜 12 1 12 1 概述概述 12 2 12 2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算 12 3 12 3 卡氏定理卡氏定理 12 4 12 4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 12 5 12 5 莫尔定理莫尔定理目目 录录第十二章第十二章 能量方法能量方法 12-1 12-1 概述概述基本概念基本概念外力功外力功物体在外力作用下发生变形，外力在弹性体的变物体在外力作用下发生变形，外力在弹性体的变形过程中所做的功，称为形过程中所做的功，称为外力功外力功，用用W表示表示应变能应变能对于弹性体，因为变形是可逆的，

2、外力功将以一对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在该弹性体内部。通常把这种形式的能量称为种能量形式积蓄在该弹性体内部。通常把这种形式的能量称为应变能应变能，又称为，又称为变形能变形能，用用V 表示表示功能原理功能原理当外力由零开始缓慢增加时（不考虑变形过程当外力由零开始缓慢增加时（不考虑变形过程中的动力效应和温度效应），根据能量守恒，外力功中的动力效应和温度效应），根据能量守恒，外力功全部转化全部转化为应变能存储于弹性体的内部，即为应变能存储于弹性体的内部，即能量法能量法利用功能原理来解决弹性体的变形、内力计算的利用功能原理来解决弹性体的变形、内力计算的方法，称为能量法方法

3、，称为能量法WV 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能EAlFlN EAFl l 0:轴轴向向伸伸长长 对应于加载过程中某一个外力对应于加载过程中某一个外力F1的微小的微小增量增量d dF1，杆件伸长了，杆件伸长了 ，外力从，外力从F1增增加到加到F1+ d dF1的过程中，外力功的增量为的过程中，外力功的增量为 1ld F0:外力外力 11ldFdW 外力从零开始到外力从零开始到F值时，外力功的总和为：值时，外力功的总和为： 1010ldFdWWlW lFEAlFEAldFFF 21221011 1、轴向拉伸（压

4、缩）、轴向拉伸（压缩）l图 1 2 . 1( b )ld ( l1) l1OdF1F1FBAF( a )llF图 1 2 . 1(b )ld (l1)l1OdF1F1FBAF(a )llFl 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能1 1、轴向拉伸（压缩）、轴向拉伸（压缩）图 1 2 . 1(b )ld (l1)l1OdF1F1FBAF(a )llFllFW 21上式表明：在静荷载作用下，外力在线弹性体变形过程中所上式表明：在静荷载作用下，外力在线弹性体变形过程中所做的功，做的功，等于外力最终值与相应位移最终值的乘积的

5、一半等于外力最终值与相应位移最终值的乘积的一半，在数值上在数值上等于图中三角形等于图中三角形OAB的面积的面积如果杆件的轴力如果杆件的轴力FN分段为常量时分段为常量时lFWV 21EAlFN22 2N12ni iiiiF lVE A如果如果FN =FN （x）时，时，或或A =A （x）时）时2N( )d2( )lFxVxEA x注意：本章所谓外注意：本章所谓外力的功，是指静荷力的功，是指静荷载的功。它与在工载的功。它与在工程动力学中，所谓程动力学中，所谓“常力的功常力的功”不同。不同。2N( )dd2( )FxVxEA x 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基

6、本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能1 1、轴向拉伸（压缩）、轴向拉伸（压缩）图 1 2 . 1(b )ld (l1)l1OdF1F1FBAF(a )llFl如果杆件的轴力如果杆件的轴力FN分段为常量时分段为常量时2N12ni iiiiF lVE A如果如果FN =FN （x）时，时，或或A =A （x）时）时2N( )d2( )lFxVxEA x应变能密度（单位体积的应变能）应变能密度（单位体积的应变能）2N( )dd2( )FxVxEA x22Nd( )d1d2d22VFxxvVEA A xE21101d22vE2dd2VVVv VVEOl(c )1d11d1abOd (l1)

7、BA 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能0:切应变切应变0:切切应应力力应变能密度在数值上应变能密度在数值上等于三角形等于三角形OABOAB的面积的面积2 2、剪切变形、剪切变形(a )dyd zd x11d( d d ) ( d )d d d22Wx zyx y z11ddd d dd22VWx y zV2d 1d 2 2VvVG 2ddd2VVVVVv VVG2d1d22VvVG(b )ABO 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算eMW21 如果圆轴的扭矩如果圆轴的扭矩MT分段为常量时分段为常

8、量时如果如果MT = MT （x）时，时，或或I =I （x）时）时一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能3 3、扭转变形、扭转变形TOBAMT(b )PTGIlM 2Tep122M lVMGI2T1p2ni iiiiM lVG I2Tp( )d2( )lMxVxGIx 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算设实心圆杆的横截面半径为设实心圆杆的横截面半径为r1，杆长为，杆长为l，其应变能为，其应变能为设薄壁圆筒壁中线半径为设薄壁圆筒壁中线半径为r2 ，壁厚为，壁厚为，则，则筒的体积为筒的体积为 应变能密度应变能密度 应变能为应变能为 例例12.2 12.

9、2 材料、长度和截面面积均相同的薄壁圆筒和实心圆杆，材料、长度和截面面积均相同的薄壁圆筒和实心圆杆，若杆端受扭转力偶后两杆的最大切应力相等。试求两者的应变若杆端受扭转力偶后两杆的最大切应力相等。试求两者的应变能之比。能之比。2222m a xp m a xp2T11m a x2p p 11222 4I IlM lr llVG I G I r G r G 图3.14(a)m axm axm axMT22Vrl 20/ (2 )vG220220dd2VVr lVv VVGG 2122rrmax0222022221max1/42/ (4 )Vr lGrVr lGr 2222max pmax p2T1

10、1max2pp112224II lM lr llVGIGIrGrG 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算弯矩弯矩M M所做的功在数值上等所做的功在数值上等于三角形于三角形OABOAB的面积的面积 一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能4 4、弯曲变形、弯曲变形纯弯曲梁纯弯曲梁MMl(a )图 1 2 . 5lz1MEIzMlEIMABOM(b )图 1 2 . 512WM2z122M lVMEI 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能4 4、弯曲变形、弯曲变形横力弯曲梁横力弯

11、曲梁弯曲应变能弯曲应变能1d( )d2WM xxlx(a)ydx2F1F2z1( ) dd( ) d22MxxVM xEI2z( ) d2lMxxVEI 梁的应变能是弯曲应变梁的应变能是弯曲应变能与剪切应变能之和。能与剪切应变能之和。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能4 4、弯曲变形、弯曲变形横力弯曲梁横力弯曲梁弯曲应变能弯曲应变能剪切应变能剪切应变能xlx(a)ydx2F1F2z( ) d2lMxxVEI 梁的应变能是弯曲应变梁的应变能是弯曲应变能与剪切应变能之和。能与剪切应变能之和。2122vG*SzzF

12、SbI2*Szz12F SvGbI2*Szz1ddd2VlAF SVvVAxGbI 2*z2zdASAkAIb令2Sd2lkFVxGA剪切形状系数剪切形状系数（与截面（与截面形状有关的切应力不均形状有关的切应力不均匀分布修正系数）匀分布修正系数） 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能4 4、弯曲变形、弯曲变形横力弯曲梁横力弯曲梁弯曲应变能弯曲应变能剪切应变能剪切应变能xlx(a)ydx2F1F2z( ) d2lMxxVEI 梁的应变能是弯曲应变梁的应变能是弯曲应变能与剪切应变能之和。能与剪切应变能之和。2*z2zd

13、ASAkAIb令2Sd2lkFVxGA剪切形状系数剪切形状系数（与截面（与截面形状有关的切应力不均形状有关的切应力不均匀分布修正系数）匀分布修正系数）1.2k 109k 2k 矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面薄壁圆环截面薄壁圆环截面。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能4 4、弯曲变形、弯曲变形横力弯曲梁横力弯曲梁弯曲应变能弯曲应变能剪切应变能剪切应变能xlx(a)ydx2F1F2z( ) d2lMxxVEI 梁的应变能是弯曲应变梁的应变能是弯曲应变能与剪切应变能之和。能与剪切应变能之和。2Sd2lkFVxGA横

14、力弯曲梁的应变能横力弯曲梁的应变能22S( )( )d22lzkFxMxVxEIGA 对于高跨比较小的细长梁，剪切应变能远小于弯曲应变能，对于高跨比较小的细长梁，剪切应变能远小于弯曲应变能，因此在工程结构分析时，一般将剪切应变能略去不计。因此在工程结构分析时，一般将剪切应变能略去不计。如果广义力是轴向力或横向力，则广义位移为对应的线位移如果广义力是轴向力或横向力，则广义位移为对应的线位移如果广义力为力偶，则广义位移为对应的转角如果广义力为力偶，则广义位移为对应的转角如果广义力是一对大小相等、方向相反的集中力，则广义位移如果广义力是一对大小相等、方向相反的集中力，则广义位移为对应的相对线位移。为

15、对应的相对线位移。杆件在线弹性范围内，静荷载外力功的表达式可统一写为：杆件在线弹性范围内，静荷载外力功的表达式可统一写为：F广义力（集中力或集中力偶）广义力（集中力或集中力偶） FW21在广义力作用点，与广义力方位一致的位移（线位在广义力作用点，与广义力方位一致的位移（线位移或角位移）移或角位移） 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能注意：注意： 对于非线性弹性问题，尽管是弹性变形，功能原理仍对于非线性弹性问题，尽管是弹性变形，功能原理仍然成立，但是应力应变关系不再是线性关系，其应变能计然成立，但是应力应变关系不再

16、是线性关系，其应变能计算公式为算公式为 由于非线性弹性问题，由于非线性弹性问题， F - -曲线不再是直线，因此由上式曲线不再是直线，因此由上式计算所得应变能的系数不再是计算所得应变能的系数不再是1/21/2。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件在各种基本变形时的应变能一、杆件在各种基本变形时的应变能dlVWF 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算例例12.3 12.3 简支梁简支梁AB在在C处作用集中力处作用集中力F，如图，如图12.712.7所示。已知梁的所示。已知梁的抗弯刚度抗弯刚度EI为常数，试求梁的应变能为常数，试求梁的应变能 V ，并且计算

17、，并且计算C点的挠度点的挠度yC。abx12xlCFBA图12.71111()(0)AyFbM xF xxxal2222()(0)ByFaM xF xxxbl22212120022112200222()()( )ddd2221dd26ablabMxMxMxVxxxEIEIEIFbFaxxxxEIllF a bEIl12CWF y223CFa byEIl 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算例例12.4 12.4 试求图试求图12.812.8所示变截面悬臂梁自由端所示变截面悬臂梁自由端B B点的挠度点的挠度 yB。bb(x)hxlM (x)FBA图 12.8 由于能量原理应用不涉

18、及变形的具体过程，因此可以不采用由于能量原理应用不涉及变形的具体过程，因此可以不采用统一坐标系；能量原理对于复杂结构的变形分析具有优越性。统一坐标系；能量原理对于复杂结构的变形分析具有优越性。 图示微段是从处于拉、弯、扭组合变形下的圆截面杆件中取图示微段是从处于拉、弯、扭组合变形下的圆截面杆件中取出的出的 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算二、杆件在组合变形时的应变能二、杆件在组合变形时的应变能dxFN (x) x ( NF图12.9MT(x)MT(x)M(x)M(x) 各广义位各广义位移相互正交，移相互正交，因此各个外力因此各个外力所做的功是相所做的功是相对独立的，互对独立

19、的，互不影响。不影响。 拉压、扭转、弯曲组合变形的杆件，当弯曲变形为对称弯曲拉压、扭转、弯曲组合变形的杆件，当弯曲变形为对称弯曲时，其中任一种内力并不在其他内力产生的变形上作功，而分时，其中任一种内力并不在其他内力产生的变形上作功，而分别只在各自的相应位移上作功，忽略剪力的影响，则别只在各自的相应位移上作功，忽略剪力的影响，则注：应变能是荷载的二次函数，因此应变能的计算一般不能采注：应变能是荷载的二次函数，因此应变能的计算一般不能采用叠加法。只有当各内力不在非自身引起的广义位移上作功，用叠加法。只有当各内力不在非自身引起的广义位移上作功，杆件的应变能才可以用叠加法计算。杆件的应变能才可以用叠加

20、法计算。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算二、杆件在组合变形时的应变能二、杆件在组合变形时的应变能NT111d( )d()( )d( )d222WFxlMxM xTNT222Np111dd( )d()( )d( )d222( )( )( )ddd222VWFxlMxM xMxFxMxxxxEAGIEI222NTp( )( )( )ddd222lllFxMxMxVxxxEAGIEI 拉压、扭转、弯曲组合变形的杆件，当弯曲变形为对称弯曲拉压、扭转、弯曲组合变形的杆件，当弯曲变形为对称弯曲时，其中任一种内力并不在其他内力产生的变形上作功，而分时，其中任一种内力并不在其他内力产生的

21、变形上作功，而分别只在各自的相应位移上作功，忽略剪力的影响，则别只在各自的相应位移上作功，忽略剪力的影响，则对于非圆截面杆件，应变能的普遍表达形式为对于非圆截面杆件，应变能的普遍表达形式为注：变形能是荷载的二次函数，因此变形能的计算一般不能采注：变形能是荷载的二次函数，因此变形能的计算一般不能采用叠加法。只有当各内力不在非自身引起的广义位移上作功，用叠加法。只有当各内力不在非自身引起的广义位移上作功，杆件的变形能才可以用叠加法计算。杆件的变形能才可以用叠加法计算。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算二、杆件在组合变形时的应变能二、杆件在组合变形时的应变能222NTp( )(

22、)( )ddd222lllFxMxMxVxxxEAGIEI2222yNTztyz( )( )( )( )dddd2222llllMxFxMxMxVxxxxEAGIEIEI 弹性体受多个外力作用时，由于变形使各外力作用点产弹性体受多个外力作用时，由于变形使各外力作用点产生位移，则各外力在对应位移上做功之代数和，其数值等于弹生位移，则各外力在对应位移上做功之代数和，其数值等于弹性体内部存储的应变能。性体内部存储的应变能。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算三、应变能的普遍表达式三、应变能的普遍表达式 当线弹性体上作用有多个广义力当线弹性体上作用有多个广义力Fi，每个广义力的相应位

23、移，每个广义力的相应位移为为i，对于，对于小变形、线弹性范围内、且弹性体的位移与外力之小变形、线弹性范围内、且弹性体的位移与外力之间满足线性关系间满足线性关系的杆件，所有外力在其相应位移上所做功的总的杆件，所有外力在其相应位移上所做功的总和为：和为： niiiFW121 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算三、应变能的普遍表达式三、应变能的普遍表达式 当线弹性体上作用有多个广义力当线弹性体上作用有多个广义力Fi，每个广义力的相应位移，每个广义力的相应位移为为i，对于，对于小变形、线弹性范围内、且弹性体的位移与外力之小变形、线弹性范围内、且弹性体的位移与外力之间满足线性关系间满足

24、线性关系的杆件，所有外力在其相应位移上所做功的总的杆件，所有外力在其相应位移上所做功的总和为：和为： niiiFW121112211112222iinnVWFFFF线弹性体的应变能等于每一外力与其对应位移乘积的二分线弹性体的应变能等于每一外力与其对应位移乘积的二分之一的总和。这一结论也称为之一的总和。这一结论也称为克拉贝依隆克拉贝依隆原理。原理。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算例例12.5 12.5 如图如图12.1112.11所示圆截面折杆，荷载所示圆截面折杆，荷载F沿竖向作用，已知杆沿竖向作用，已知杆的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为，抗扭刚度为GIP。试求折杆

25、的应变能。（略去。试求折杆的应变能。（略去剪力的影响）。剪力的影响）。Czalx图 12.11BzyxAF1 1、应变能恒为正值、应变能恒为正值2 2、应变能的大小只与荷载的终值有关，而与加载、应变能的大小只与荷载的终值有关，而与加载的次序无关的次序无关3 3、若各广义力在非自身引起的广义位移上作功时，、若各广义力在非自身引起的广义位移上作功时，则不能用叠加法计算杆件的应变能则不能用叠加法计算杆件的应变能 因为应变能是内力的二次函数，所以各广义力因为应变能是内力的二次函数，所以各广义力共同作用下杆件的应变能，并不等于每个广义力共同作用下杆件的应变能，并不等于每个广义力单独作用下的应变能之和。只

26、有当各广义力并不单独作用下的应变能之和。只有当各广义力并不在非自身引起的广义位移上作功，杆件的应变能在非自身引起的广义位移上作功，杆件的应变能才可以用叠加法计算。才可以用叠加法计算。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算四、计算应变能应注意的问题四、计算应变能应注意的问题 若各广义力在非自身引起的广义位移上作功时，若各广义力在非自身引起的广义位移上作功时，则不能用叠加法计算杆件的应变能则不能用叠加法计算杆件的应变能 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算例例12.6 12.6 求图求图12.1212.12所示悬臂梁的应变能。所示悬臂梁的应变能。xlMeF图 12.

27、12e( )M xMFx 2222 32eee0() 1d ( )d2 22 6 2llM lM F lM xF lVxM F xxE I E IE I E I E I e22eM lVEI2 36FF lVEIeFVVV2222 32eee0( )1d() d22262llMlMFlM xFlVxMFxxEIEIEIEIEI 因为这时的力因为这时的力F产生的内力为轴力，力偶产生的内力为轴力，力偶Me作用作用产生的内力为扭矩，而轴力和扭矩不属于同一类型产生的内力为扭矩，而轴力和扭矩不属于同一类型的内力，因此，在计算应变能时，可以应用叠加法的内力，因此，在计算应变能时，可以应用叠加法 12-2

28、12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算例例12.7 12.7 试计算图试计算图12.1312.13所示圆杆的应变能。所示圆杆的应变能。lx图 12.13FMe22ep22M lF lVEAGIe2e2MpM lVGI22FF lVEAeMFVVV如左图，两种属于同一类型，应变能不能叠加；如左图，两种属于同一类型，应变能不能叠加；如右图，两种荷载属于不同类型，应变能可以采用叠加法计算。如右图，两种荷载属于不同类型，应变能可以采用叠加法计算。 12-2 12-2 杆件的应变能计算杆件的应变能计算四、计算应变能应注意的问题四、计算应变能应注意的问题 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理一、卡氏第

29、一定理一、卡氏第一定理 若弹性体上作用有若弹性体上作用有n个已知的广义个已知的广义力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，在它们的共同作用下，沿每个广义力方向们的共同作用下，沿每个广义力方向的广义位移分别为的广义位移分别为1 ， 2 ， i ， n ，则，则由广义位移表示的应由广义位移表示的应变能变能V （ 1 ， 2 ， n ）对某个）对某个广义位移广义位移i的偏导数，等于与广义位移的偏导数，等于与广义位移 i相对应的广义力相对应的广义力Fi ，即，即卡氏第一定理对线性弹性体或非线性弹性体都适用。卡氏第一定理对线性弹性体或非线性弹性体都适用。FinFi2F12n图 1 2 . 1 0F

30、1iiVF （i =1，2，n） 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理证明：设弹性体上的已知广义力如图证明：设弹性体上的已知广义力如图所示所示应变能的应变能的增量增量外力功的增量外力功的增量由功能原理由功能原理弹性体的应变能弹性体的应变能FinFi2F12n图 1 2 . 1 0F11201d, ininiVWFV 当广义力当广义力Fi 对应的位移对应的位移i 有微小增量有微小增量di，而其他位移均保持不变时，而其他位移均保持不变时，1212ddddddininiiVVVVVVddiiWFiiVF例例 求图示超静定杆求图示超静定杆C C处的位移处的位移 ala

31、21 aEAEAFN 1111alEAEAFN 2222 alEAaEAEAlFViiNii 2222221221应变能为应变能为解：首先，采用解：首先，采用C C截面的位移作为基本未知量，表达各杆段截面的位移作为基本未知量，表达各杆段的应变、轴力和变形能的应变、轴力和变形能 alEAaEAVF21 121 alEAaEAF 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 若弹性体上作用有若弹性体上作用有n个已知的广义个已知的广义力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，在它们的共同作用下，沿每个广义力方向们的共同作用下，沿每个广

32、义力方向的广义位移分别为的广义位移分别为1 ， 2 ， i ， n ，则，则由广义力表示的应变由广义力表示的应变能能V （ F1 ， F2 ， Fn ）对某个广）对某个广义力义力Fi的偏导数，等于与广义力的偏导数，等于与广义力 Fi相对相对应的广义位移应的广义位移i ，即，即卡氏第二定理仅适用于线性弹性体。卡氏第二定理仅适用于线性弹性体。FinFi2F12n图 1 2 . 1 0F1 （i =1，2，n） iiVF 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理证明：设线弹性体上作用一组相互独证明：设线弹性体上作用一组相互独立的广义力，如图所示立的广义力，如图所示应变能的

33、增量应变能的增量弹性体的应变能弹性体的应变能 当广义力当广义力Fi有微小增量有微小增量dFi(a)(b)iF2F1FiFnF1F2FiFndi12inFd12,inVVF FFF112niiiFdiiVFF总应变能总应变能11dd2niiiiiVVVFFF 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 将上述两组荷载的作用次序颠倒，将上述两组荷载的作用次序颠倒，首先在弹性体上作用第一组力首先在弹性体上作用第一组力dFi，然后再作用第二组外力然后再作用第二组外力F1 ， F2 ， Fi ， Fn略去高阶微量，得略去高阶微量，得第一组力作用下弹性体的应变能第一组力作用下弹性

34、体的应变能再作用第二组外力再作用第二组外力F1，F2，Fi，Fn(a)(b)iF2F1FiFnF1F2FiFndi12inFd(c)图12.16ni21iFnFiF2F1Fidd12,inVVF FFF总应变能总应变能1d d2iiF111d dd22niiiiiiiFFF总应变能总应变能11dd2niiiiiVVVFFF1dd dd2iiiiiiVVFFVFFiiVF 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 若弹性体上作用有若弹性体上作用有n个已知的广义个已知的广义力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，在它们的共同作用下，沿每个广义力方向们的共同作用下，

35、沿每个广义力方向的广义位移分别为的广义位移分别为1 ， 2 ， i ， n ，则，则由广义力表示的应变由广义力表示的应变能能V （ F1 ， F2 ， Fn ）对某个广）对某个广义力义力Fi的偏导数，等于与广义力的偏导数，等于与广义力 Fi相对相对应的广义位移应的广义位移i ，即，即FinFi2F12n图 1 2 . 1 0F1 （i =1，2，n） iiVF注意：如果在欲求广义位移的点处，没有与之相应的广义力作注意：如果在欲求广义位移的点处，没有与之相应的广义力作用时，则需要在该点处施加一个虚拟的广义力用时，则需要在该点处施加一个虚拟的广义力Fi，并计算结构，并计算结构在包括在包括Fi在内的

36、所有外力作用下的应变能，将应变能对虚拟的在内的所有外力作用下的应变能，将应变能对虚拟的广义力求偏导数后，再令广义力求偏导数后，再令Fi为零，即可求得该点的位移。为零，即可求得该点的位移。二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用（1 1） 轴向拉压杆件轴向拉压杆件 dxFxFEAxFEAdxxFFliNNlNii 2)(2 dxEAxFVlN2)(2),2,1(niFVii （2 2） 圆轴扭转圆轴扭转 dxFxMGIxMGIdxxMFliTPTlPTii 2)(2 dxGIxMVlPT2)(2（3 3） 梁的弯曲梁的弯曲 dxFxMEIxMEIdxxMFlilii

37、 2)(2 dxEIxMVl2)(2（4 4） 组合变形组合变形 dxFxMEIxMdxFxMGIxMdxFxFEAxFliliTPTliNNi lllPTNdxEIxMdxGIxMdxEAxFV2)(2)(2)(222 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理例例12.9 12.9 悬臂梁悬臂梁AB作用荷载如图作用荷载如图12.1712.17所示。已知梁的抗弯刚度所示。已知梁的抗弯刚度为为EI，试用卡氏第二定理求，试用卡氏第二定理求A截面的挠度截面的挠度yA和转角和转角A。解：（解：（1 1）首先求）首先求A截面的挠度截面的挠度yA 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理FAB(a)qxl21(

38、)2M xFxqx 0 xl( )M xxF 2034()()d11() ()d211138AllVMxMxyxFEIFFxqxxxEIFlqlEI2034()()d11()() d211138AllVMxMxyxFE IFF xq xxxE IF lq lE I例例12.9 12.9 悬臂梁悬臂梁AB作用荷载如图作用荷载如图12.1712.17所示。已知梁的抗弯刚度所示。已知梁的抗弯刚度为为EI，试用卡氏第二定理求，试用卡氏第二定理求A截面的挠度截面的挠度yA和转角和转角A。（2 2）求）求A截面的转角截面的转角A 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理BAFq(b)lx注意：如果在欲求广义位

39、移的点处，没有与之相应的广义力作注意：如果在欲求广义位移的点处，没有与之相应的广义力作用时，则需要在该点处施加一个虚拟的广义力用时，则需要在该点处施加一个虚拟的广义力Fi，并计算结构，并计算结构在包括在包括Fi在内的所有外力作用下的应变能，将应变能对虚拟的在内的所有外力作用下的应变能，将应变能对虚拟的广义力求偏导数后，再令广义力求偏导数后，再令Fi为零，即可求得该点的位移。为零，即可求得该点的位移。BAFq(b)lxMe2e1( )2M xMFxqx0 xle( )1M xM2e0ee23e( )( )11d() d21()26lAlVM xM xxMFxqxxMEIMEIFlqlM lEIe

40、0M令2326AFlqlEIEI 例例12.10 12.10 求图求图12.1812.18（a a）所示简支梁）所示简支梁A端的转角端的转角A。 由卡氏第二定理，应该是变形能对由卡氏第二定理，应该是变形能对A点的力偶点的力偶Me求偏导数，求偏导数，而不是对而不是对B点的力偶点的力偶Me求偏导数，两者不可混淆。故在求支座反求偏导数，两者不可混淆。故在求支座反力、列弯矩方程及弯矩方程求偏导数时应使两个力偶有所区别。力、列弯矩方程及弯矩方程求偏导数时应使两个力偶有所区别。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理l(a)MeMeABxl(b)BAMe1Me ee1AyMMFlee1e1( )MMM xM

41、xle1( )1M xxMl e1eMM令ee0e 1() ()1d( 1 )d2lAlM lMx MxxxMxE I ME IlE Ie( )1M xMee0e( )( )1ddllM lM xM xxMxEIMEIEI0 xlee0e 1() ()1d( 1 )d2lAlMlMx MxxxMxE IME IlE I如果不对两端力偶予以区分，则如果不对两端力偶予以区分，则e( )M xM例例12.11 12.11 图图12.1912.19所示正方形铰接体系，由五根材料相同截面相所示正方形铰接体系，由五根材料相同截面相同的杆件组成，在节点同的杆件组成，在节点A、B受一对力受一对力F作用。已知：

42、作用。已知：F、l、E、A，试求，试求AB两点间的水平相对位移两点间的水平相对位移AB和和C、D间的竖直间的竖直相对位移相对位移CD 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理lF(a)FFDBACNNNN22ACCBBDDAFFFFFNCDFF 222421()2222212 FVlFlEAEAF lEA(22)ABVFlFEA例例12.11 12.11 图图12.1912.19所示正方形铰接体系，由五根材料相同截面相所示正方形铰接体系，由五根材料相同截面相同的杆件组成，在节点同的杆件组成，在节点A、B受一对力受一对力F作用。已知：作用。已知：F、l、E、A，试求，试求AB两点间的水平相对位移

43、两点间的水平相对位移AB和和C、D间的竖直间的竖直相对位移相对位移CD 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理lF(a)FFDBACF11FCABDFF(b)FN1CDFFFNNNN22ACCBBDDAFFFFF221()42()2222FFFVllEAEA1102CDFVFaFEA 例例12.12 12.12 求图求图12.2012.20所示的超静定梁的支座反力所示的超静定梁的支座反力 FA 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理lxABq图 12.20二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 关于卡氏第二定理的说明关于卡氏第二定理的说明（1 1）力和位移均有广义性；）力和位移均有广义性；（2

44、2）所求位移处有无相应的广义力，有则直接对它求偏导，）所求位移处有无相应的广义力，有则直接对它求偏导，无则需要虚设一个相应的广义力无则需要虚设一个相应的广义力；（3 3）要注意所求位移处相应的广义力，是否与所求位移不）要注意所求位移处相应的广义力，是否与所求位移不对应的其它荷载具有相同的名称。对应的其它荷载具有相同的名称。如果是，需要先将与所如果是，需要先将与所求位移相应的广义力换个名称，以避免求偏导发生概念上求位移相应的广义力换个名称，以避免求偏导发生概念上的错误的错误；（4 4）在运算时，一般不要将体系的应变能求出来后再求偏）在运算时，一般不要将体系的应变能求出来后再求偏导数，应当先求偏导数再进行积分运算（简称导数，应当先求偏导数再进行积分运算（简称“先求导后先求导后积分积分”）；）；（5 5）区分不同的荷载类型，分别应用有关公式，还需要弄）区分不同的荷载类型，分别应用有关公式，还需要弄清楚，写内力方程需要将杆件（或简单结构）分为几段来清楚，写内力方程需要将杆件（或简单结构）分为几段来进行正确的描述，变形能的计算同样需要分为几段来计算。进行正确的描述，变形能的计算同样需要分为几段来计算。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理),2,1(niFVii 12-4 12-4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理一、功的互等