第2章多自度系统振动

1、第2章 多自由度系统振动2.1 多自由度系统的自由振动2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法2.4 确定系统固有频率与主振型的方法 本章目的：本章目的： 掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法 掌握多自由度振动系统的模态分析方法 了解动力减振器的基本原理2.1 多自由度系统的自由振动1.振动微分方程的建立振动微分方程的建立2.多自由度系统的多自由度系统的固有频率固有频率与与主振型主振型 3.初始条件和系统响应初始条件和系统响应（模态叠加）（模态叠加）（一）多自由度振动微分方程的建立（一）多自由度振动微分

2、方程的建立牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理有限单元法（第9章）1.用牛顿定律建立微分方程gxgttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 fxkxmgggg jmm002222111122112221lklklklklklkkkk例题1（p24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2 ，杆绕质心g点的转动惯量为j。假设作用在质心g点的激励力为简谐力f和简谐转矩t，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕其质心扭转振动。解取刚性杆的广义坐标为由牛顿定律，系

3、统的振动微分方程为和写成矩阵表达式：即质量矩阵刚度矩阵sinfftt力列阵122 21 1sin()()gggmxftkkxk lk l222 21 11 12 2sin()()gggjttk lk l xk lk l), 2 , 1(,)(kifquqtqtdtdiiiinjijjzijjyijjxiqzfqyfqxff1)(t 为系统的动能 u为系统的势能qi 为广义坐标 fi为非有势广义力拉格朗日方程ttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系

4、！（p25） gxg和在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。例题2（p25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由度系统的动力学微分方程（右图）。223)(21)(21cccjlxmt252241)(21)(21cccclxklxkutfxkxkmlxmccccsin213 ttlklkmljxmlcccccsin252241233 cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 解广义坐标：取c点（g点为质心）的直线位移为 xc 为q1，转角为c为q2 ，此时外力 fc 和转矩 tc作用在c点。5241lklk另设：系统的动能：系统的势能：利用拉格朗日方程

5、，得写出矩阵12221 42 500kkkk lk l质量矩阵讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（p26） 3233mmlmmljml为对称阵刚度矩阵为对角阵cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 gx g和在两个方程中出现，称为惯性耦合。3.影响系数法n刚度影响系数法n柔度影响系数法刚度影响系数刚度影响系数kij ：在系统的 j 点产生单位位移（即 xj=1 ），而其余各点的位移均为零时，在系统的 i点所需要加的力。刚度影响系数法刚度影响系数法又成为单位又成为单位位移法位移法例如，上图中k1

6、1表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1，而其它各质量位移均为0时，在质量m1所施加的力。此时111212() 1kkkkk 0xkxm 321000000mmmm433332222133323123222113121100kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk例（p26）：质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统的动力学微分方程。解刚度影响系数kij ：111212() 1kkkkk 122kk130k 212kk2223kkk233kk310k 323kk3334kkk动力学微分方程为则讨论：（讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！）如

7、果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！（2）刚度影响系数）刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性！（与刚度矩阵的对称性！（p27）11表示在 m1上作用一个单位力 fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材料力学，得eil7689311柔度影响系数法柔度影响系数法又称为单位又称为单位力法力法柔度影响系数ij ：在系统的 j 点作用一个单位力（即fj =1 ），而其余各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。例（p27）：图2-3所示，简支梁上有质量 m1、m2 、m3，不计梁的自重。 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分

8、方程。解柔度影响系数 ij ：21表示在m1上作用一个单位力fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上m2处所产生得位移，由材料力学，得32111768lei同理，可以求出其他柔度系数。 11,kk 01xxm eil768911711161171193333231232221131211最后得出总柔度系数矩阵可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即三自由度铅垂方向振动微分方程为讨论：讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？（2）上述方程为什么不用刚度影响

9、系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？（3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（p28）结论：结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易（2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易（3）对于杆件机构，应）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法用拉格朗日方程方法较容易较容易（二）多自由度系统的固有频率与主振型（二）多自由度系统的固有频率与主振型 0xkxm )si

10、n()sin(2211taxtaxnn 0)sin()(21212taakaamnn 0)(2ukmn 21aau对于一个多自由度多自由度的自由振动系统自由振动系统（以二自由度系统为例）（以二自由度系统为例）设质量块作简谐振动，即（2-5）带入（2-5）式，则上式对于任意时间t 成立，则振幅列阵特征方程特征方程（2-6）即为振型求解二自由度系统的固有频率与主振型0)()(0)()(222222122121221212121111amkamkamkamknnnn022222221212111121111nnnnmkmkmkmk 02mkn21,21122112222 11211221242()n

11、bbacaam mbm km kck kk 二自由度系统特征矩阵方程的展开式为（2-7）（2-8）该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零也可表示为 易解出 得出两个固有频率下的振幅比值21nn为一阶固有频率（或第一阶主频率）为二阶固有频率（或第二阶主频率）1n2n固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。将所求得的固有频率1n2n和代入系统特征矩阵方程12221111)2(1)2(2)2(12211111)1(1)1(2)1(kmkaakmkaann因此，振型可表示为)1()1(1u)2()2(1u ,)2()1 (uuu 第一主振型第二主振

12、型22方阵方阵 ,)()2()1 (nuuuun1nn对于 n 个自由度振动系统 0xkxm 由特征方程，可求出 n 个固有频率 其振型可表示为nn方阵方阵（三）初始条件和系统响应（模态叠加）（三）初始条件和系统响应（模态叠加） (1)u)2(2)1(22)2(1)1(11xxxxxx)sin()sin()sin()sin(22)2(1)2(11)1(1)1(222)2(111)1(11tautauxtataxnnnn101xx )sin()sin()sin()sin(22)2(211)1 (2222)2(111)1 (11tataxtataxnnnn202xx 101xx 202xx 222

13、010)1(22010)1()2()1()2(1212010)2(22010)2()2()1()1(1)()(1)()(1nnxxuxxuuuaxxuxxuuua)(tan()(tan(2010)1(2010)1(222010)2(2010)2(11xxuxxuaxxuxxuann以二自由度系统为例，质量块 m1、m2 组成的二自由度振动系统有两组解，而其全解由这两组解叠加而成，即系统的响应响应为引入振型设初始条件初始条件：t=0 时，推导出2n1n(2)u(2)1a已知已知：求求：(1)1a12（2-14）2.2 动力减振器tfxxkkkkkxxccccxxmmsin000021222212

14、12121 tiebx222111xiebixxiebixtiti2222212121xebxxebxtiti 在工程中，为减少振动带来的危害，可以在主系统主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统主系统构成一个二自由度系统二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区，并有减振效果，故称为动力减振器动力减振器。动力减振器动力减振器与隔振器是本质不同的。该二自由度系统二自由度系统的动力学微分方程为采用复数法求解微分方程（参见第1.9节，p20） tieff0sin000（2-18）带入（218）式，得 为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值 作

15、用下产生的静位移 之比来评价。0)00(02122221212fbbkkkkkccccimm22221122222222221122222201)()()(mmkcmkmkmkcmkfb（2-20）展开后，求出 b1 ，再将b1的复数值求模，得静位移为0f0fst10/kfst1n12nn111mkn222mkn12mm222222mkcmcccnc设带入（220）式，得 注意希腊字母(ksi)原机械固有频率原机械固有频率减振器固有频率减振器固有频率注意：为了工程设计方便，与二自由度系统两阶固有频率概念有别。222222222222222221)1 (4)(1(4)()(stb02222222

16、1)(1 (stb1 . 0/12mm注意希腊字母(ksi)如果 （2-22）则 无阻尼动力减振器的设计无阻尼动力减振器的设计讨论讨论当减振器的固有频率等于激振频率时，即 2n则 （2-23）10stb达到了消振目的 然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点 ：12和取式（2-23）分母为零（意味着共振），并令 1221,2124 则 即：新的共振频率仅由减振器与主系统质量之比为使主系统能远离新的共振点的范围内，希望12与相差较大一般在设计无阻尼动力减振器设计无阻尼动力减振器时，取（2-24）理想情况理想情况2.3 多自由度系统的模态分析方法 1.方程的耦合与坐标变换2.主振型的正交性 3.

17、模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化6.振型截断法（cut off）1.方程的耦合与坐标变换方程的耦合与坐标变换ttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 回顾回顾（第（第2.1节节p24、p25）（g点为质心）为刚性杆的广义坐标时，有gxg和针对行驶车辆的二自由度系统，用牛顿定律，以用拉格朗日方程，以gxg和为刚性杆的广义坐标时，有称谓弹性耦合称谓惯性耦合n对于同一系统，采用的坐标系统不同，微分方程的形式和耦合情况就不同。即微分方程

18、的耦合状态是由所选的坐标系统决定的。n如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵，各方程间不存在任何耦合，各分别求解，与单自由度求解完全相同。n适当的坐标变换，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。结论结论问题问题如何进行坐标变换？gccgclxx3ggccxlx1013 yux 仍然采用行驶车辆的二自由度系统图，有如下关系写成矩阵对于任意的线性变换可表达为 u为变换矩阵遗憾：遗憾：前面这个变换矩阵不能达到解耦目的要做的工作：要做的工作：寻找一个合适的变换矩阵，使原来方程解耦结论：结论： u这个变换矩阵就是主振型矩阵2.主振型的正交性主振型的正交性 与第一式相减，有 0)(2ukmn umukn

19、2 )2(22)2()1 (21)1 (umukumuknn (2)(1)(2)2(1)1(1)(2)(1)2(2)2ttnttnukuumuukuumutu)2(tu) 1 ( ) 1 (22)2() 1 ()2(umuukuntt0)() 1 ()2(2122umutnn以二自由度系统为例特征方程或将两个固有频率和相应振型代入，得将上式两边分别前乘以和将第二式转置，有0)(2122nn0) 1 ()2(umut 0)1 ()2(ukut主振型的正交性的物理意义：主振型的正交性的物理意义：各阶主振型之间的能量不能传递，保持各自的独立性，但每个主振型内部的动能和势能是可以相互转化的（p33）

20、当 时，有主振型对主振型对质量矩阵质量矩阵的正交性的正交性同理可得主振型对主振型对刚度矩阵刚度矩阵的正交性的正交性条件：条件：主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立推论：推论： ( )( )( )( )0,0,ttijijumuukuij3.模态矩阵和模态坐标模态矩阵和模态坐标,)2() 1 (uuu 由主振型对质量矩阵和刚度矩阵的正交性k可使m、k 变为对角矩阵。 以主振型 u线性变换矩阵，对系统的原方程进行坐标变换 设系统原方程为（仍以二自由度为例） fxkxm 主振型称为模态矩阵或振型矩阵坐标变换 yuxyux 线性变换矩阵， um y为模态坐标（2-35）代入原方程，

21、并在等号两边分别前乘以 tu，得（2-35） 21210210000000qqfuqkkukukmmumumqykymttt 0m0k1m为模态质量矩阵2m为模态刚度矩阵1k2k为第一、二阶模态质量或主质量 为第一、二阶模态刚度或主刚度 q为模态力列阵理解：理解：0) 1 ()2(umut 0) 1 ()2(ukut运用主振型的正交性运用主振型的正交性4.多自由度系统的模态分析方法多自由度系统的模态分析方法 fxkxm )()2()1 ()(2)2(2)1 (2)(1)2(1)1 (1)()2()1 (,nnnnnnnuuuuuuuuuuuuu yuxyux qykym00 fuqukukum

22、umttt00在二自由度系统模态分析基础上扩展多自由度系统运动微分方程为坐标变换有（2-38）（2-40）系统的模态方程是一组不耦合的方程组理解：理解：运用主振型的正交性运用主振型的正交性 ( )( )( )( )0,0,ttijijumuukuij（4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应小结：小结：多自由度系统模态分析的基本步骤（多自由度系统模态分析的基本步骤（p34） （1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵 u yuxyux （2）坐标变换 qykym00 fuqukukumumttt00得（3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分杜哈美积分，或待定系数法待定系数法求微

23、分方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表示，并代入模态方程，求出各积分常数。注意：此时的变量为y！ xuy即理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！5.模态矩阵正则化模态矩阵正则化（p35）（本科生略）（本科生略） imn 1)()(intinniumum)()(iiinuu)(iu)(inuiiitiimumu11)()( 将模态方程的模态质量矩阵变为单位矩阵，该坐标变换称为模态矩阵正则化，即第 i 阶模态质量为为系统的 i 阶振型；为系统的 i正则阶振型所以，必须对系统主振型加以修正：为正则化因子（2-41）（2-42）将（2-42）代入（2-41），得i

24、m为 i阶模态质量 理解：正则模态质量矩阵为单位矩阵；正则模态刚度矩阵为对角阵用正则模态矩阵进行坐标变换，有 n00000000000021 uun ,nnnnxuyxuy 221nnnnnnnnntnnntnnntnnnininininimykyqyyqmumukukuqufkkkm 或将正则化因子排成一个对角矩阵正则模态矩阵为（2-44）（2-45）（2-47）6.振型截断法（振型截断法（cut off） nn 11n) 1()2() 1 () 1(2)2(2) 1 (2) 1(1)2(1) 1 (1) 1()2() 1 (,nnnnnnnpuuuuuuuuuuuuu ppppyuxyux

25、 fuqukukumumqykymtppptppptppppppp 适用于：（1）对于自由度很大的系统，可以进行自由度缩减，求解大模型的少数阶（前几阶）模态。（2）对于外力随时间变化较慢，系统初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况。在 n 个主振型中，取个主振型，且进行坐标变换，有nn1矩阵，无逆阵正n1个方程，即自由度缩减 ppyux pppptptpymyumuxmu xmumytppp1问题问题pu ppppppyuxyuxyux 由于无逆阵，运用不能直接求出模态坐标的初始条件方法方法利用则（2-51）则可求出模态坐标的初始条件讨论：讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多

26、大提高，在工程实际中得到广泛应用。振型截断的正则化振型截断的正则化（p36）（本科生略）（本科生略） pnmi 121000000000000ppppn pnppuu( )( )11iipitpipppmumu( )( )iipnpipuu212221000000nnnnpnk xmuxmumytpntpnpnpn1 ,pnpnpnpnxuyxuy 2pnpnpnpnpnpnnpnpnmykyqyyq 或坐标变换振型截断正则模态矩阵为模态方程模态坐标的初始条件（2-54）2.4 确定系统固有频率与主振型的方法1.矩阵迭代法2.瑞雷(rayleigh)法 3.邓克莱(dunkerley)法 4.

27、传递矩阵(transfer matrix)法 1.矩阵迭代法矩阵迭代法（p36） ampak2 apamk211 akmap12 mkd1 apad21 ,1kkn kkbdaba kknkbba,11基本方法：基于数值计算方法的迭代计算方法 0)(2ukmn特征方程特征方程改写为改写为或或（2-56）（2-57）依次从最低阶固有频率和主振型开始计算依次从最高阶固有频率和主振型开始计算动力矩阵动力矩阵引入一个迭代初始列阵 1a，进行迭代计算迭代计算：得到下一步迭代初始列阵是,n kb中的最后一个元素（最好是绝对值最大的元素） kb a u2p2nn为固有特性阶数k 为迭代次数（2-60）2)(

28、2)1(2)(/kkkppp 1ka注意：请比较 apad21 ,1kkn kkbdaba容易看出：每次迭代中计算knkbp,2)(1精度设置：若满足（也可以对其他值进行精度设置）迭代过程终止，则第一阶主振型2)(21kpf第一阶固有频率（hz）过程示范： 111,11 1bdaba 211,11abb 1a初选2(1)1,11pb 221,22 1bdaba 321,21abb2(2)1,21pb 1,1kkkkbdaba 11,1kkkabb2( )1,1kkpb注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！ *2(1)(1)1( )1tkkkddaamm p ) 1() 1(1ktka

29、mam ) 1( ka2)(kp下一步目的：用矩阵迭代法矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型方法：用清除法清除法从动力矩阵d中清除与上一阶算出的主振型有关的部分清除法清除法清除（矩阵）部分上一阶算出的主振型固有频率和 d*d上一阶用于迭代计算的动力矩阵。如果上一阶计算的是第一阶，即为原始动力矩阵 将 d，应用前面的迭代式，即可求解下一阶固有特性说明：固有特性就是指固有频率和主振型 ampamk)()(2 )(mk mmkd1)( apad21问题：有刚体运动的机械系统刚体运动的机械系统，刚度矩阵k是半正定半正定的，无法求逆，也就无法直接形成动力矩阵 d，不能直接使用上述算法方法：改写为 a

30、mpak2是任意正数是正定矩阵正定矩阵令原问题改变为利用前面的计算方法，得到固有频率与主振型提问：请列举有刚体运动的机械系统？刚体运动的机械系统？例如：空中的飞行器；齿轮减速器中的齿轮轴扭转（不计摩擦力） （2-66）（2-64）（2-65）2p2p讨论（p37）（1）采用（2-64）式后，系统的主振型（特征失量）不变，只是2p变为2p原系统的固有频率（特征值）变了，（2）一般取比系统估计的最低固有频率的平方 2p略小一些为宜。 对经验不足者，这一点难以把握。可以随意取一个正数，试算之后调整。 课后练习（p37） 课后，请对图2-8所示的3自由度水平振动系统、图2-9所示的13自由度扭转振动系

31、统，运用matlab或自己熟悉的计算机语言，求出所有各阶固有频率与主振型。要求：编写程序、打印计算结果，最好是图形显示结果。2.瑞雷瑞雷（rayleigh）法法（p42）下一小结之引言：人们早就认识到多自由度系统有多个固有频率与振型。但是，一方面由于微分方程组精确求解困难，另一方面，工程实际中最关心的是低阶固有特性，尤其是第一阶固有频率。在电子计算机问世之前，瑞雷法、邓克莱法等具有一定的实用价值。采用系统的机械能守恒原理机械能守恒原理求系统的固有频率。基本思想：先根据经验和理论分析，假定一个振型，然后用能量法求出与这个假定振型相应的系统固有频率。局限性：只能求一阶固有频率（基频）)(21332

32、211maxgymgymgymu)(21233222211maxymymymt332211,yyyyyynnn)(22332222112maxymymymtnmaxmaxutniiiniiinymymg12121)()(23322221133221121ymymymgymymymn例（p42）：右图所示的三自由度横向振动系统，在一根无质量弹性梁上，固定三个集中质量，用瑞雷法求其基率。解：（1）假定一阶振型根据经验和理论分析，这个系统的一阶振型十分接近它的静绕度曲线。因此，其振型可用各点静绕度（由材料力学）来表示。123,y yy（2）梁振动至极限位置的变形能（3）梁恢复到平衡位置的动能由于则（

33、4）机械能守恒机械能守恒对于保守系统（系统作自由振动，且忽略系统的阻尼时）（5）推广到 n 个自由度 3.邓克莱邓克莱(dunkerley)法法（p43）kkkmkkknkk222332222112111111nkknnnn1n211n2222nnkk19世纪邓克莱在通过试验方法确定多圆盘轴的横向振动固有频率时，发现了这样一个关系：系统的基频当轴上只有圆盘1，而其余圆盘都不存在时，单圆盘轴系统的固有频率依此类推 2211nnkk的计算是一个单自由度问题。可以利用材料力学公式（可查表），先计算相应点的挠度，再计算 然后计算相应点的刚度4.传递矩阵传递矩阵(transfer matrix)法法 传

34、递矩阵法的优点：（1）所使用的矩阵阶次不随系统的自由度多少而变 对扭转系统，其矩阵始终为2阶（转角和扭矩） 对横向振动系统，其矩阵始终为4阶（2个位移和2个力）（2）很容易采用计算机计算，用同一程序可计算出系统的各阶固有频率与主振型链状系统：链状系统：由许多单元一环连一环结合起来的结构例如：例如：汽轮发电机转子、内燃机曲轴、齿轮传动系统等，经等效转换后，可转化成一个多盘转子式的链状系统 扭转振动型（本节介绍） 连续梁可离散成若干个集中质量，各集中质量之间以无质量的弹性梁相联接的链状系统 横向振动（弯曲）型（第八章第三节介绍）扭转振动的传递矩阵法liriiittj ini2 inilirijtt2iliriliinritjt1012第i个圆盘