基于蚁群算法的投资组合优化研究

1、华中科技大学硕士学位论文基于蚁群算法的投资组合优化研究姓名：余超申请学位级别：硕士专业：金融学指导教师：欧阳红兵2010-05 华 中科 技 大学硕士学位论 文 摘 要 投资组合理论于1952年由经济学家马科维茨提出。采用传统的二次规划方法解决投资组合优化问题时需要极大的计算量，可操作性较差。随着现代优化技术的发展，出现了如蚁群算法这样的仿生优化算法。本文基于多目标优化连续域蚁群算法，建立投资组合优化模型，以期得到更好效果。 本文分为五个章节，各章主要内容如下： 第一章简要介绍了论文的研究背景和相关理论国内外研究现状。简要介绍了本文的研究内容和研究方法。 第二章分别介绍了蚁群算法的基本原理和数

2、学模型，以及投资组合理论的基本原理和数学模型。 第三章详细阐述了基于蚁群算法的投资组合优化方法。建立了基于蚁群算法的投资组合优化数学模型。给出详尽具体的算法实现方法和步骤。 第四章对模型所得结果进行实证检验分析。将运行结果与市场组合及其他投资组合比较，验证算法的有效性。同时还用单指数评价方法和传统评价方法对投资组合的择时能力进行检验。 第五章对本文的研究结果进行总结，同时总结了不足之处以及下一步研究方向。 本文创新点有以下两点： 首先，本文尝试采用改进的多目标连续域蚁群算法建立模型，将可以处理的证券数量提高到数百只，达到了实际应用的水平。 其次，当前的研究成果仅是静态分析，本文考虑多阶段投资组

3、合优化，建立动态模型，并对结果进行实证检验。 关键词：投资组合优化 蚁群算法 Markowitz模型 I 华 中科 技 大学硕士学位论 文 Abstract The theory of Portfolio was first put forward by the economist named Markowitz in 1952, and it has great importance to modern financial investment theory. However, there are some diffculties in dealing with Portfolio opti

4、mization according to traditional quadratic programming, due to great computation and poor operational probability. As the development of modern optimization techniques, bionic optimization algorithm such as ant colony algorithm(short for ACA) appeared. At present, the domestic research about the ap

5、plication of ACA into Combinatorial Investment Optimization is limited and it still cant reach the level of practical application. In this thesis, a portfolio optimization model was established based on continuous ant colony algorithm domain of multi-objective optimization and it can achieve practic

6、al application on the whole. There are five chapters in this article. The main content of each chapter is as follows: In Chapter one, the background of this paper、the current state at home and abroad about the study of portfolio optimization theory、the content and research methods of the thesis are

7、briefly introduced. The basic principle and mathematical model of ACA、portfolio theory and its optimization method based ACA are illustrated in the second and third chapter. In the fourth chapter，the algorithm and timing ability are verified. In the last chapter，the study results、disadvantages and f

8、urther research direction are summarized. Compared to exsisted research , there are some innovations for this paper. The currently exsisted ACA is just adapted to portfolio optimization within ten stocks. The research is based on static analysis, and its limited for using basic ant colony algorithm

9、only. The proposed novel model not only takes advantage of continuous ant colony algorithm domain of multi-objective optimization, but also the benefits and risks are considered to establish dynamic model. As a result, it can be applied to optimization of stocks up to 100 and the results are satisfa

10、ctory while used in practice. Key words：Portfolio optimization ACA Markowitz model II 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向

11、国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密。 (请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中科 技 大学硕士学位论 文 1 绪论 1.1 研究意义 人们选择投资证券或其他风险资产时，最关心的问题有两个：资产的预期收益和风险。在金融理论发展早期，如何测定投资的风险与收益是投资者迫切需要解决的问题。1952年由马科维茨提出的投资组

12、合理论很好的解决了这一问题，并将金融理论的研究带入了定量分析的阶段。投资组合理论，就是研究如何有效的在复杂不确定的环境中进行资产配置，实现一定风险水平下回报最大化或者一定收益水平下风险的最小化，达到收益和风险的均衡。金融市场实际环境的不确定性与复杂性决定了投资组合优化理论的研究需要涉及到许多学科，包括经济学、运筹学与控制论等学科。随着现代电子计算机技术的发展，金融学研究也随之进入了新的阶段。将计算机技术应用到投资组合优化领域，极大推动了现代资产选择理论的发展。 解决投资组合优化问题时考虑若干现实条件(如交易费用，最小交易单位等现实约束)，采用传统的二次规划方法在求解时存在着很大的困难，导致该理

13、论在实际应用过程中可操作性和应用性不强。现实中有许多组合优化问题，例如旅行商问题和加工调度问题等类似组合优化问题都存在这一难点。这种问题的共同特点是，它们虽然描述起来较简单，但是实际求解过程却很困难。其原因就在于一般求解这些问题的算法需要巨大的计算量，同时还需要极长的运行时间与极大的存储空间，导致现实运行中可操作性较差，无法得到令人满意的结果，这促使人们不断对组合优化理论与算法进行研究。 随着现代优化技术的不断发展，出现了如蚁群算法这一类的智能启发式优化方法。这类方法有许多优越的性能：一是这类优化方法一般对求解对象不存在较大限制，能够实现直接对优化对象进行操作；二是它们一般具有内在的并行分布性

14、，采用概率化的寻优方法，优化效率比较高；三是由于这些算法来源于现实生活中的生物系统，因此这些算法有智能化的特点，能自适应地调整搜索方向，高效率地寻找到全局最优解。将蚁群优化算法与投资组合优化理论结合，将为解决投资组合优化1 华 中科 技 大学硕士学位论 文 问题提供一种非常有效的手段和工具。当前国内外将蚁群算法应用于解决投资组合优化问题的研究还比较少，成果相当有限。首先，目前的研究成果仅局限于求解十只以内证券的组合优化问题，无法达到实际应用的水平。其次，目前的研究仅考虑收益这一种因素来进行组合优化，而忽视了风险和流动性等重要因素的影响，还有待改进。再者，当前研究成果局限于静态分析，缺乏动态分析

15、方面的应用。因此非常有必要进一步研究如何将蚁群算法这类启发式算法更好的与投资组合优化问题相结合，设计出优秀的启发式算法求解大规模投资组合问题。鉴于此，本文将给出基于蚁群算法的投资组合优化的实现途径。 1.2 国内外研究现状 投资组合理论发展至今，已经有许多重要的成果。现代投资组合理论包括许多理论分支，其中比较重要的有：投资组合理论、行为金融理论、套利定价模型、资本资产定价模型以及有效市场理论等。这些研究成果极大地改变了人们对投资管理方面的传统认知，使得现代的投资管理不断朝着更加系统化和更加科学化的方向发展。经济学家马克威茨在他1952年发表的论文证券组合选择中对风险和收益进行了量化，建立了均值

16、-方差模型，进而确定了最佳资产组合的基本模型，正是这项研究成果将现代金融研究带入了一个新的阶段。 1963年，威廉·夏普提出了单因素模型，该模型的主要贡献在于成功的对协方差矩阵加以简化估计，极大地推动了投资组合理论的实际应用。随后的夏普等经济学家又提出了著名的资本资产定价模型(CAPM)。该模型提供了评价收益-风险的操作方法，同时也为构建投资组合的分析和投资组合绩效的评价提供了理论基础和操作方法。 1976年，针对前期的CAPM 模型的不足，经济学家罗斯又提出了套利定价模型，简称APT 模型。该模型的出现极大的推动了多因素投资组合分析方法的广泛应用。 1968年，Mossin随之提出

17、了多阶段投资组合问题。他利用动态规划的方法，将单阶段模型推广到了多阶段模型，使得投资组合理论更加完善。 随着投资组合管理方面的实践以及相关理论研究的深入，近些年来在传统的投2 华 中科 技 大学硕士学位论 文 资组合理论的基础上，又出现了许多新的投资组合理论分支。它们都基本上延续了马科维茨的理论框架，对马科维茨的均值-方差模型进行了不同程度的改进。 经济学家们一直在研究如何利用数量化的方法来不断的完善投资组合理论以及该理论的实际操作方法，这些研究使得当今投资组合理论在理论和应用上都取得了极大发展。目前国内己经在投资组合理论的研究和实际应用方面进行了很多有意义的尝试。国内学者在投资组合的选择模型

18、以及有效边界的确定等方面的研究取得了一定的研究成果。但是由于国内投资组合理论的相关研究和应用起步比较晚，因此与西方国家的研究多年的成熟的理论体系相比较而言，还存在着较大的差距。 从20世纪中期开始，人们就一直在尝试如何利用来自模拟自然界中生物系统的灵感来构造和设计仿生优化算法，并利用这些仿生算法解决实际问题。这些仿生算法都是通过模拟自然界中的生物系统，尝试研究和模拟生物体这种出于自身本能的寻优行为来进行优化，这是一类全新的优化算法。目前已经出现了许多新型仿生优化算法，其中应用比较广，研究成果比较多的仿生优化算法有蚁群算法、免疫算法、禁忌搜索算法、微粒群算法、遗传算法、鱼群算法等，这些仿生优化算

19、法已经为人们解决实际生活中的各种优化问题提供了许多行之有效的方法和工具，同时由于这类算法出现的时间不长，还有许多相关问题有待研究，因此也是当今优化领域的研究热点。 郑飏飏(2007)提出了基于遗传算法的投资组合模型，该模型运用模糊优化的方法建立了证券组合投资模型，并采用遗传算法给出了模型的求解过程。 李渝萍(2007)提出了基于演化计算的证券投资组合模型，该模型以马科维茨模型的投资组合模型为基础进行优化求解，求解的结果表明，与传统的演化算法相比，该算法能够得到更好的结果。 王文智，张霞(2005)应用蚁群算法对资产组合模型进行了简单求解，结果证明是可行的。但是其模型过于简单，远达不到实际应用的

20、水平。 目前，随着对仿生优化算法研究与应用的发展，有一部分仿生优化算法已经在证券组合投资问题中有了初步应用。这些应用给投资者提供了更好的投资决策工具和方法。但是目前这些应用都只是尝试性质，基本未达到实际应用的阶段。因此，3 华 中科 技 大学硕士学位论 文 进一步研究证券投资组合问题，以及研究如何应用蚁群算法来解决证券投资组合问题具有重要的学术和实际意义。 1.3 研究内容和创新点 本文基于马科维茨提出的投资组合理论模型，提出一种蚁群算法，实现对大规模投资组合问题的优化。同时利用多目标优化连续域蚁群算法，考虑收益和风险两个指标来建立模型求解。然后基于上述模型，考虑现代证券投资组合理论在我国的实

21、用性，建立动态投资模型，实现对国内证券市场的大规模投资组合问题的优化。 1.3.1 研究内容 1)利用蚁群算法建模，实现对大规模投资组合问题优化的研究 投资组合优化可以归结为带有约束条件的，多目标连续域优化问题。而基本蚁群算法只适用于求解离散空间的优化问题。为了更好地求解投资组合优化问题，必须采用改进的蚁群算法。因此，本文针对投资组合优化问题的特点，采用多目标连续域优化蚁群算法。为简化分析，在建模初期采取一些简化的设定，暂不考虑交易成本和最小交易单位等现实因素。在随后的模型扩展中，再逐步考虑这些因素，丰富模型。 利用目前已有的多目标优化的连续域蚁群算法，以风险水平一定时收益的最大化或者以收益水

22、平一定时风险的最小化为目标，将蚁群算法与马科维茨的证券投资组合模型相结合，从而建立初步的模型。利用多目标优化蚁群算法，通过比较各只蚂蚁所表示解的Pareto支配关系，并以基于全局最优经验指导的寻优方式，可以求解大规模的证券组合优化问题。最终可以提出具有相当实用性和精确度的大规模投资组合问题优化方法。 2)基于现实环境的多目标模型的研究 目前蚁群算法在投资组合中的已有的研究成果仅以收益最大化为目标，而忽视了和风险因素和交易量的影响(流动性问题)，这样得到的结果还有很大的改进空间。本文对此问题的研究权衡收益、风险问题，将现有的单一目标模型扩展为多目标模4 华 中科 技 大学硕士学位论 文 型，使其

23、更贴近实际的证券市场，寻找最优解的能力更强。 当前蚁群算法在投资组合优化问题中的研究没有结合我国证券市场的实际情况。在模型扩展中，本文考虑到现代证券投资组合理论在我国的实用性，提出具有投资限制的投资组合选择模型，使其更具实用价值。 (3)对模型结果进行实证检验 本文采集国内证券市场数据，利用已建立的模型，实现对国内证券市场的大规模投资组合问题的优化，将得到的最优解与市场投资组合相比较，验证所建立的模型的有效性和高效性。 1.3.2 创新点 论文的创新点有以下几方面： 首先，本文尝试采用改进的多目标连续域蚁群算法建立模型，将基于蚁群算法的投资组合优化模型中的证券数量大大提高，基本达到实际应用的程

24、度。 其次，当前的基于蚁群算法的投资组合优化的研究成果仅是静态分析，本文通过将其与多阶段投资组合优化模型结合，建立动态模型。 1.4 论文主要框架 本文分为五个章节，各章主要内容如下： 第一章简要介绍了论文的研究背景和投资组合优化理论的国内外研究现状。简要介绍了本文的研究内容和研究方法。 第二章分别介绍了蚁群算法的基本原理和数学模型，以及投资组合理论的基本原理和数学模型。 第三章详细阐述了基于蚁群算法的投资组合优化方法。建立了基于蚁群算法的投资组合优化数学模型。给出详尽具体的算法实现方法和步骤。 第四章对模型所得结果进行实证检验分析。将运行结果与市场组合及其他投资组合比较，验证算法的有效性。同

25、时还用单指数评价方法和传统评价方法对投资组合的择时能力进行检验。 5 华 中科 技 大学硕士学位论 文 第五章对本文研究结果进行总结，同时总结了不足之处以及下一步研究方向。 6 华 中科 技 大学硕士学位论 文 2 研究的理论基础 2.1 蚁群算法基本原理 近年来出现了许多仿生算法，例如蚁群算法、免疫算法、遗传算法等。这些算法都是通过模拟自然界中的各种自然生态系统来求解现实生活中的各种复杂的优化问题，并且目前的研究成果都取得了很好的效果。本文即是选取其中的蚁群算法来求解投资组合优化问题，以期得到较好的求解投资组合优化问题的方法。 蚁群算法最初是一种用于寻找优化路径的搜索算法，最早由意大利学者M

26、arco Dorigo在1991年提出，它的基本思想是来源于模拟蚂蚁群集体觅食的过程。众所周知，单个的蚂蚁其行为和能力是非常简单的，但由这些简单的个体所组成的蚁群却往往能够出色地完成许多极其复杂的任务。例如，无论所处环境多么复杂，蚁群总是能够找到一条搬运食物最短的路径。经过观察研究，人们发现在寻找食物时，蚂蚁会在它经过的路径上释放一种称之为信息素的物质。正是通过这种物质，蚂蚁个体之间无时无刻不在进行着信息的传递。其原理是这样的：蚂蚁在运动过程中能够在它所经过的路径上留下信息素，同时也能感知其它的蚂蚁留下的信息素，并根据各条路径上的信息素的分布情况来决定自己的运动方向。因此，通过这种方式在蚂蚁群

27、的集体行为中就产生了一种信息的正反馈。其具体的运作机制是这样的：假设有两条路从蚂蚁巢穴通向食物所在地点，为简化分析，假设开始的时候走这两条路的蚂蚁数量同样多。当蚂蚁沿着一条路到达终点以后会马上返回来，这样，短的路径上蚂蚁来回一次的时间就短，这也意味着重复的频率就快，因而在单位时间里走过的蚂蚁数目就多，洒下的信息素自然也会多。而蚂蚁运动时会选择信息素多的方向，因此经过这里的蚂蚁会增加，从而吸引更多的蚂蚁聚集过来，洒下更多的信息素；而长的路径上情况正好相反。因此，随着时间的推移，越来越多地蚂蚁聚集到较短的路径上来，直到所有的蚂蚁都集中在较短的那条路径上来，这样蚂蚁群就找到了较短的路径。同时蚂蚁会有

28、一定的概率不往信息素较高的地方走，而选择其他7 华 中科 技 大学硕士学位论 文 信息素较低的路径，这种行为可以理解为一种探索新路线的行为。这种探索如果能够缩短路径的长度，那么根据刚才所说的原理，随着时间推移，同样会有更多的蚂蚁被吸引到这条更好的路径上来。因此，这中探索就可以避免蚂蚁群收敛于局部最短路径而错过了全局最短路径，亦即蚂蚁觅食的过程会逐渐收敛于全局最优解。 蚂蚁之间就是通过这种信息的交流来达到搜索食物时确定最优路线的目的。 在搜索前期没有蚂蚁找到食物的时候，蚁群也能相对有效的展开搜索工作。其奥妙就在于蚂蚁特殊的移动规则，尤其是在出其所有路线上都没有信息素的时候蚂蚁的移动规则。首先，蚂

29、蚁的搜索要能尽量保持一定的方向性，这样能使得蚂蚁尽量向前方移动(开始，这个前方是随机固定的一个方向)，而不是毫无目的的搜索；其次，蚂蚁的移动又需要带有一定的随机性。这样蚂蚁的搜索在有一个大的方向的同时还受到一个随机的干扰，这就使得蚂蚁运动起来具有了一定的目的性，同时又不缺乏新的探索，尤其是能使蚁群根据障碍物的分布情况有效率的进行移动方向的调整。这就解释了为什么不管所处的环境如何复杂，蚁群总能找到隐蔽得很好的食物。 2.2 蚁群算法数学模型 下面以旅行商问题为例子来介绍基本蚁群算法的数学模型。旅行商问题又称为货郎担问题、旅行推销员问题，简称为TSP问题，它是一个比较基本的路线优化问题。该问题是在

30、寻求旅行者由一起点出发，通过所有给定点之后，再回到原点的最短路径。 1，符号设置 假设蚁群有M只蚂蚁，其集合记为X=x,x?x；N个城市，集合记为12mC=c,c?c；N个城市之间的距离为集合D=D|c,cC，其中D为城市C和12nijijiji城市C之间的距离。由城市C至城市C的路径上信息素的量记为。初始时刻，jijij所有路线上的信息素为初始值1，即所有路线上信息素初始时刻相同。 2，移动规则。 为简化分析，假设每一轮循环中，每只蚂蚁只由一个城市移动至下一个城市，8 华 中科 技 大学硕士学位论 文 即只移动一步。若蚂蚁X当前在城市C位置，则该蚂蚁根据从当前城市C出发的kii各条可选择路线

31、上的信息素分布情况来决定其移动方向。P(k)表示蚂蚁X由城市ijkC移动至城市C的概率，P(k)由以下公式决定： ijij?ijij ，当jCK?p(k)=ikik (2-1) ?ijk?CK?0, ，当j?CK?式中：和是常数参数；集合CK定义为：CK=C|C为蚂蚁k尚未经过的城ii市；被定义为启发函数，它是城市i与城市j之间距离的倒数。 ij某条路径的转移概率数值越大，则表示蚂蚁在这一方向上移动得到最优解的几率越大，但是蚂蚁并不是直接向转移概率最大的城市移动。这样的设置在前期各条路径上信息素分布情况较平均时会使蚁群的寻优缺乏效率，但却是很有必要的。因为这种设置可以扩大前期蚁群的搜索范围，避

32、免蚁群陷入局部最优解而忽略了全局最优解。同时，在算法运行后期，各条路径上信息素的分布情况差异较大时，不同路径的转移概率两极分化比较明显，有效路径的转移概率相对其它路径的数值比较大。此时这种设置对搜索效率的影响比较小，而且能保证解的多样性。 3.信息素更新规则。 每循环一次，或者每只蚂蚁都前进一步之后，都需要对相应线路上的信息素进行更新。现实中蚁群经过一条路径后留下的信息素会随着时间挥发，随着时间的推移，前一时刻留下的信息素对当前蚂蚁寻优过程的影响会越来越小。信息素更新规则如下： (new)=(1?)(old)+ (2-2) ijijijm =(k) (2-3) ijijk=1式中：(new)城

33、市i到城市j的路径上新的信息素值；(k)表示蚂ijij蚁k在这一次循环中经过了路线ij留下的信息素的数量；本次循环中，所ij有经过路径ij的蚂蚁留下的信息素总量，即本次循环中路径ij上的信息素的总增量；9 华 中科 技 大学硕士学位论 文 挥发因子，表示已经存在的信息素减少的速度，它在基本蚁群算法中是一个常数值。挥发因子的数值大小可以根据不同模型进行调整，其大小直接关系到信息素挥发速度。如果该值过大，会导致前期所有蚂蚁留下的信息素挥发过快，使信息素对蚁群的指导作用时间变短，导致收敛速度和效果降低；该值如果太小的话，会导致所有路径上信息素的值趋向平均化，使信息素失去指导意义，这种情况同样会导致收

34、敛速度和效果降低。 算法开始时，将M只蚂蚁随机投放到N个城市中，因为此时还无法知道哪条路径是最优的，所以开始时将所有路径都赋予相同的信息素初始值。每只蚂蚁在一次循环中移动一步，即移动到下一个城市。初始时刻移动带有随机性，随着循环的进行，所有蚂蚁都遍历了需要经过的城市后，各条线路的优劣便开始显现出来了。此时不同路径上的信息素已经开始出现差异。而通过我们对信息素更新规则和蚂蚁转移概率的设置，就可以逐步引导蚁群向最短路径集中。因为蚂蚁的移动规则既带有目的性(即它是向着最短路径发展)，同时它又带有一定的随机性，这样就可以避免算法陷入局部最优解而无法收敛到全局最优解。所以随着循环的进行，最终所有蚂蚁的都

35、会集中在最短路径上，此时整个蚁群就找到了最优路径。 2.3 投资组合优化基本理论 投资者投资证券，目的是获得收益。但证券市场受到许多宏观和微观因素的影响，情况复杂，瞬息万变。因此投资者无法确定某种投资决策未来的收益或者损失。这种未来情况的不确定性即是风险。投资者如果仅将资金投资到一种证券上显然风险很大。为了尽量降低风险，人们将资金分配给若干不同的证券，形成一个合理的资产组合，在风险水平一定的条件下追求收益的最大化，或者在收益水平一定的条件下追求风险的最小化。证券投资组合理论，就是研究人们应该如何合理有效的选择最佳的投资组合。 投资组合理论以“均值-方差模型”对风险和收益进行量化，这一理论奠定了

36、当今证券投资组合理论的基础。该模型中，均值为投资组合的期望收益率，方差为该组合的收益率的标准差。利用期望收益率来度量投资组合的收益，方差来度量投资组10 华 中科 技 大学硕士学位论 文 合的风险水平。 其数学模型简要概括如下：若单只证券期望收益率为r，其在组合中所占比例为ik。则组合的期望收益率为：r=E(k?r)，即组合收益率为单只证券期望收益率的ipii加权平均，权重为相应的投资比例。投资者追求收益一定时风险的最小化，或者风险一定时收益的最大化，则模型如下： n1min kkijij2i,j=1ns.t. kr=r iii=1 n k=1 ii=1式中：为投资组合中证券i和证券j的相关系

37、数。整个组合的风险水平就可以ijn1通过目标函数中 kk项来控制。 ijij2i,j=1以方差为横坐标，收益率为纵坐标，将最优投资组合的收益风险在平面图中描绘出来，即形成投资组合有效前沿。 有效边界包含了全部最优投资组合，即任选一个资产组合，风险相同时，其收益不可能高于此边界上的组合；收益相同时，其风险不可能低于此边界上的组合。投资者的无差异曲线与有效前沿的切点即为最优投资组合。 11 华 中科 技 大学硕士学位论 文 图2.1 最优投资组合 投资者的投资行为都是长期连续的，但是市场环境总是不断变化的。所以投资者选择了一个投资组合后，并不能保证此组合的长期有效，而是需要根据市场状况对投资组合结

38、构进行相应的调整，以减少风险提高收益，这就是动态投资组合。 Markowitz提出投资组合理论后不久，就出现了动态规划理论，它为进行投资组合的动态优化提供了基础。利用动态规划理论可以将组合优化模型由单阶段模型推广到多阶段模型。但是由于动态的均值-方差模型计算复杂，导致求解较为困难。随着计算机技术的应用和金融理论的发展，如今已出现了许多方法求解动态投资组合问题，例如资产分配的随机网络模型，本世纪初还出现了多阶段的均值-方差投资组合模型等。 12 华 中科 技 大学硕士学位论 文 3 基于蚁群算法的投资组合优化模型 基本蚁群算法适用于求解离散空间的优化问题，为了求解投资组合优化问题，必须采用改进的

39、蚁群算法。本文针对投资组合优化这一带有约束条件的多目标连续域优化问题的特点，采用改进的连续域蚁群算法求解。 3.1 模型建立和原理 为简化分析，在建模初期采取一些简化的设定，暂不考虑交易成本和最小交易单位等现实因素。这些假设并不会影响模型的正确性，在随后的模型扩展中，可以逐步考虑这些因素，以丰富模型。 3.1.1 目标函数与信息素分布结合 投资者追求风险一定时收益的最大化，或者收益一定时风险的最小化。模型以此目标为出发点，结合蚁群算法的特点，设置信息素更行规则，逐步引导蚁群寻找最优投资组合。 假设蚂蚁在?坐标系中移动，此坐标系中的每一点即表示一个证券或一个组合的收益和方差组合。蚁群在所有经过的

40、位置上释放不等量的信息素，所有蚂蚁根据各个位置上信息素的量选择下一步的移动方向。 由于投资组合优化问题不存在绝对的最优解，所以我们通过比较解之间的帕累托关系来判断解的优劣。蚁群寻找到一个新投资组合后，首先需要判断其是否为有效投资组合。比较新投资组合与现有投资组合的收益和方差，会出现三种情况：一是相比较而言，新组合的收益较高方差较小。此时表明新组合为有效组合，这代表了蚁群在这个方向有更高几率寻找到有效组合。所以需要在这一点赋予一个较高的信息素值，以吸引其他蚂蚁在这个1方向探索，加快算法寻优的收敛速度。第二种情况是与现有组合相比，新组合要么风险收益都较高，要么风险收益都较小。根据有效前沿的形状可以

41、知道，此时蚁群在这个方向能找到有效组合的几率没有前一种情况高，所以这种情况下给该组合在13 华 中科 技 大学硕士学位论 文 坐标系中相应点赋予稍低的信息素值。三是与现有组合相比，新组合风险较高收2益较低，此时蚁群在这个点所代表的方向上寻找到有效组合概率最低，因此赋予一个最低的信息素值。通过对目标组合赋予较高的信息素，我们可以引导蚁群向目3标组合移动，最终搜索出有效的投资组合。通过这种目标函数的设置，我们便将投资组合优化问题与蚁群算法初步结合起来了。 3.1.2 采用改进的连续域寻优方式 为防止蚂蚁在移动过程丢失已经找到的有效组合，保证解的多样性，本文采用一种基于最优经验指导的寻优方式。所谓的

42、最优经验指导，就是将整个蚁群当耙丫值乃械挠行蹲首楹媳嬖谝桓黾现校新煲隙寄芄淮诱飧黾现辛私獾降鼻坝行獾姆植记榭觯谜庑钔庑畔傅悸煲涎坝拧谡庵盅坝欧绞街校煲铣耸艿叫畔氐闹傅加跋焱猓故艿秸鲆先旱淖钣啪榈挠跋欤饬街址绞焦餐傅家先貉罢易钣沤狻褂谜庵址绞郊饶鼙獾亩嘌裕溆牖疽先核惴械男畔匮坝欧绞揭黄鹪擞茫帜芴岣咚惴樟菜俣龋且恢直冉嫌行姆椒?在信息素寻优方式中，设置蚁群的转移概率如下： jijP ,i,j=1,2,?,N. (3-1) ijmjijj=1式中：P蚂蚁由组合i向组合j移动的概率。启发因子，其定义为ijij=1/d，d为组合i与组合j之间的距离。其计算方式如下： ijijij2d=(X?X) (3-

43、2) ijij式中X代表投资组合i，记录了组合中所有证券的权重，X=x,x?x。 ii12m在全局最优经验指导寻优中。需要建立一个有效投资组合集合，将所有已发现的有效投资组合保存在此集合中。 当采用最优经验指导寻优时，蚁群选择有效集合中比较稀疏的方向移动。因为有效投资组合较少的地方即为蚁群探索较少的部分，在这个方向继续寻找到其他有效组合的概率相对较大。 14 华 中科 技 大学硕士学位论 文 为此，首先计算集合中各有效组合间的距离，计算方式如式(3-2)。假设当前集合中有P个有效组合，计算每个组合到其他组合的距离，然后按照下式计算稀疏函数： d?ij1?,d<?ijshareS(

44、d)=share (3-3) ?ij?0 ,dijshare?【14】式中为“小生境半径”，它规定一个范围，计算稀疏函数时只考虑此share参数规定范围内的其他投资组合，而不考虑范围外的组合。求得此参数后，按照下式计算“小生境数” niche(i)： pniche(i)=S(d) ,i=1,2,?,p,ji. (3-4) ijj=1niche(i)衡量的是组合i与其他投资组合之间的差异化程度。当投资组合与其他组合差异越大时，则小生境半径范围内的其他投资组合数量就越少，小生境数越小，反之则越大。小生境数最小的有效投资组合就是蚁群的移动方向。 根据前面的移动规则，蚂蚁找到移动目标方向时，并不是直接

45、的移动到该目标点，而是向该方向移动一段距离。改进的连续域蚁群算法中规定蚂蚁只能在半径为r的范围内活动。 如果蚂蚁与目标点之间的距离大于其活动范围r，则蚂蚁只能朝着目标点的方向移动长度为r 的一段距离。同时还设置一个扰动因子使蚂蚁的移动有一定随机扰动。进行这样的设置目的是为了保证解的多样性。干扰越大，则模型在上一次循环中寻找到的移动方向对蚁群的后续指导影响越小，同时蚁群搜索的范围越大。在寻优过程的前期，需要适当设置较大的干扰值，这样有利于加大搜索范围，加快全局寻优。在后期，则适合较小的干扰值，这样有利于提高搜索质量，在各个局部范围内寻到最优解，加速算法收敛。 设有N个证券，一个投资组合可以表示为

46、x,x?x，其中xi为各个证券的比12mold例，各比例值和为1。若某只蚂蚁所在位置为组合x,x?x。其移动目标为蚂蚁12mnewj，蚂蚁j所在位置的组合为x,x?x。随即扰动系数为，则蚂蚁j移动到下列12m组合的位置： 15 华 中科 技 大学硕士学位论 文 oldnewNEW=(1?)?k?x(i,:)+(1?k)?x(j,:)+ (3-5) 由上式可知，新组合中所有证券所占比例之和仍然为1 3.1.3 有效集合和信息素更新规则 蚂蚁发现新组合后，首先需要根据第1小节中的方法判断其是否为有效解，然后给该组合在-坐标系中对应位置赋予相应信息素值。如果新组合为有效解，则需要将其添加到有效集合中

47、。同时还需将有效集中所有收益低于新组合而风险高于新组合的组合删除。保证有效集合对蚁群指导的正确性和有效性。 3.2 算法实现 3.2.1 样本选择与数据来源 本文采用2007年1月至2008年1月的沪深300指数样本股。该指数样本选自沪深两个证券市场，选择其中规模大、流动性好的股票，覆盖了沪深市场大部分的市值，全面反映了中国证券市场的运行状况，具有很好的代表性。沪深300指数的基日选择的是2004年12月31日，基日点位为1000点。从开始至今得到了许多机构和学者的认可。 3.2.2 初始赋值 步骤1：在所有待选证券中，取开始时刻起60天的数据，计算相应的收益和方差。取这些证券形成的有效前沿上

48、的证券，这些证券用来做下一步的计算。有时取有效前沿时，只有4到5只证券，则可在剩下的证券中再取其有效前沿，直到取出的证券数目足够。一般取10到25支即可，假设共取出了N只证券。 步骤2：设有M只蚂蚁，每只蚂蚁都对应一个含N元素，所有元素和为1的向量，这个向量即表示一个N只证券的投资组合。表现在算法中则是一个M*N的矩阵，算法中记为x(M，N)。首先随机给这个矩阵赋值，只要每行的元素相加为1即可。每一个投资组合又相应的有其收益和方差。比较M个投资组合的收益方差得到其16 华 中科 技 大学硕士学位论 文 Pareto有效前沿，保存起来。在程序中是存在一个名为有效集合的2行n列的数组中，两行分别存

49、储相应组合的收益和方差。 根据相应投资组合是否被取为Pareto有效前沿，赋予不同的信息素，若为有效前沿，则赋予较高的初始值，否则赋予一个较低的值。 3.2.3 寻优过程 这里设置了两种寻优方式，一是根据信息素的高低来决定下一只蚂蚁的移动方向，这是基本蚁群算法中的寻优方式，名为信息素寻优；还有一种就是根据有效集合中保存的最优投资组合之间的距离来决定下一只蚂蚁的移动方向。因为理论上有效前沿是一条曲线，而有效集合中的投资组合形成的有效前沿是点，有的区间点比较密集，有的区间稀疏。若有一段区间点比较密集，则不需要再在这个位置浪费时间，若有一段区间点非常稀疏，表明这里还没有充分探索，所以第二种方法实际上

50、是为了避免蚁群算法陷入局部最优解。第二种名为全局经验指导寻优。 步骤3：依次确定M只蚂蚁的移动方向(初始阶段可以用第一种方式确定移动方向，在后期可以更多的使用第二种方法)。 若选择第一种方式寻优，则步骤如下： 对于蚂蚁i，若选择蚂蚁j所在的点x(j，：)为移动方向，则使蚂蚁i的坐标由x(i，：)变换为：k·x(i，：)+(1-k)·x(j，：)，k为0到1之间的小数。因为x(i，：)和x(j，：)都是各元素相加为1的向量，所以k·x(i，：)+(1-k)· x(j，：)也是元素和为1的向量，也是一个符合条件的投资组合。 在实际运算中，为了更全面的寻找最优

51、点，可以设置新的点为：0.9· k·x(i，：)+(1-k)· x(j，：)+0.1，这样就带了更大的随机性，可以搜索更大的区间。确保找到最优点。 若选择第二种方式寻优，则步骤如下： 设有效集合名为Bpreal。对于蚂蚁i，若选择有效集合中的点Bpreal(k，：)为移动方向，则使蚂蚁i的坐标由x(i，：)变换为：k·x(i，：)+(1-k)· Bpreal(k，：)，k为0到1之间的小数。因为x(i，：)和Bpreal(k，：)都是各元素相加为1的向量，所以17 华 中科 技 大学硕士学位论 文 k·x(i，：)+(1-k)

52、3; Bpreal(k，：)也是元素和为1的向量，也是一个符合条件的投资组合。其他同第一种方法。 步骤4：计算上一步中找到的新投资组合的收益和方差，与有效集合中已有的投资组合比较，若新点是pareto占优的，将新点加入有效集合中，同时去掉有效集合中相对新点来说较差的点，即与新点相比收益小方差大的点。若上一步为信息素寻优方式，则需同时调增蚂蚁j的信息素，因为蚂蚁i向蚂蚁j移动的过程中找到了一个新的有效点。若为全局指导寻优，则不需更新信息素。调整方式为： sign(new)=sign(old)?0.9+c (3-6) 其中c为常数，0.9为挥发因子，可以根据实际情况调整。 若与有效集合中已有的投资

53、组合比较，新点不是pareto占优的，即有效集合中存在至少一个组合，其收益比新点大，方差比新点小。则表明新点是无效的，则蚂蚁i的坐标退回到x(i，:)，同时不对蚂蚁j的信息素调增，因为向这个方向移动没有找到有效点。调整方式为：sign(new)=sign(old) ·0.9 步骤5：调整参数。每只蚂蚁每移动一次，都要对一些参数进行调整，比如上面的信息素调整。还有有效集合中各组合的距离。若有新点加入有效集合，则需计算相互之间的距离，以便下一次全局指导寻优是使用的数据正确。 步骤6：循环上面步骤3至步骤5.若累计50次没有找到新的有效组合，则重置蚂蚁的分布，即重复步骤1步骤5.循环到一定

54、次数，或有效集合中有效点积累到一定数目，即可停止循环。 正如前文所说，证券市场的走势是时刻变化的。一个投资组合可能在某一段时间是最优的，但一段时间之后不一定还是最优。因此，投资组合需要不断调整。当市场情况变化时，用最新数据输入模型中，重复上述步骤即可得到更新后的有效解。 18 华 中科 技 大学硕士学位论 文 4 实证检验及结果分析 4.1 运行结果与其他组合的比较 4.1.1 与市场组合的比较 检验一个投资组合是否有效有一种常用方法，就是将其与市场组合进行比较。如果投资组合回报超过市场组合，即可判断为有效，这种方法相对来说简单有效，较有说服力。一般市场组合的选取采用上证综合指数或采用深证综合

55、指数作为基础。由于本文数据来源与沪深300指数样本股，所以选择沪深300指数代表市场组合。 取2007年1月至2月的数据，用蚁群算法求解投资组合有效解。选择与市场组合风险水平最为接近的3组有效投资组合与市场组合相比较。所有组合中，各个证券比例总和为1，证券代码、简称以及组合中各证券构成比例分别为： 表4.1 在1-2月份与市场组合风险水平接近的组合 编号 证券1 证券2 证券3 证券4证券5证券6证券7 证券8代码000617 600786 000828 600102002110000068000059 600150 简称 石油济东方锅东莞控莱钢股三钢闽赛格三辽通化沪东重柴 炉 股 份 光 星

56、 工 机 组合1 0.229 0.1711 0.0911 0.01920.13370.19740.0994 0.0591组合2 0.0337 0.0225 0.4383 0.1117 0.01470.01630.2204 0.1425组合3 0.013 0.1069 0.0554 0.67040.0113 0.02130.0576 0.0641 所有组合以1为基数，根据所选证券在相应时间段内的实际收益率计算出各组合的收益水平，得出走势图，对比如下： 19 华 中科 技 大学硕士学位论 文 图4.1 市场组合与有效组合走势比较 取2007年3月至4月的数据，用蚁群算法求解投资组合有效解。选择与此

57、时期市场组合风险水平最为接近的两组有效投资组合与其相比较。选出组合由15只证券构成，其代码及投资组合结构如下： 表4.2 在3-4月份与市场组合风险水平接近的有效组合 证券编号 证券代码 证券简称 投资组合1 投资组合2 证券601398 1 工商银行0.07230.0180 证券600029 2 南方航空0.1239 0.0096 证券600694 3 大商股份0.12790.0067 证券000157 7 0.0551 4 中联重科0.054 证券000527 5 美的电器0.04290.1742 证券600068 6 葛洲坝0.0507 0.1101 证券600110 7 中科英华0.0

58、4170.0147 证券600031 8 三一重工0.0210 0.0411 证券600550 9 天威保变0.02430.0153 证券601988 .0149 10 中国银行0.0719 0 证券600019 11 宝钢股份0.10300.0097 证券600000 12 浦发银行0.0659 0.0181 证券600036 13 招商银行0.07470.0348 证券000651 14 格力电器0.0702 0.4613 证券600675 15 中华企业0.05490.0165 20 华 中科 技 大学硕士学位论 文 对比如下图： 图4.2 市场组合与有效组合走势比较 上图表明，绝大部分时间段中蚁群算法求出的有效解要优于市场组合的表现。充分说明