概率论与数理统计第3章ppt课件

1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其结合分布二维随机变量及其结合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布例如例如 E：抽样调查：抽样调查15-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X与体重与体重 Y,以研讨当前该年龄段青少年的身体发育情况。以研讨当前该年龄段青少年的身体发育情况。 前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实践问题中，经常需求同时研讨一个实验中的两个甚至更多个随机变量。 不过此时我们需求研讨的不仅仅是不过此时我们需求研讨的不仅仅是X及及Y各自的性各自的性质，质， 更

2、需求了解这两个随机变量的相互依赖和制约更需求了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进展研讨，我们将二者作为一个整体来进展研讨，记为记为(X, Y),称为二维随机变向量。称为二维随机变向量。 设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，那么称向量 X，Y 为上的一个二维随机变量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X, Y)(X, Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点x，yA二维随机变量的结合分布函数二维随机变量的结合分布函数假设假设X X，Y Y是随机变量，是随机变量，对于恣意的实数对于恣意的实数x,y.x,y.

3、( , ),F x yP Xx Yy称为二维随机变量的结合分布函数称为二维随机变量的结合分布函数(1)( , )F x yxy分别关于 和 单调不减(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)x1x2y1y2 P Px1x1 X X x2x2，y1y1 Y Y y2y2 = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)F(x1,y1)结合分布函数表示矩形域概率结合分布函数表示矩形域概率P Px1 x1 X X x2 x2，y1 y

4、1 Y Y y2 y2F(x2,y2)F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x2,y1)-F(x1,y2)-F(x1,y2)+F(x1,y1)+F(x1,y1)二维离散型随机变量二维离散型随机变量 假设二维假设二维 随机变量随机变量 X X，Y Y的一的一切能够取值只需限对或可列对，那么称切能够取值只需限对或可列对，那么称X X，Y Y为二维离散型随机变量。为二维离散型随机变量。如何反映如何反映X X，Y Y的取值规律呢？的取值规律呢？n研讨问题研讨问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22p2

5、 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性质性质 01ijp, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的能够性相等.以、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求(, )X Y的结合分布列的结合分布列. (, )X Y的能够取值为的能够取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (1/3) (2/2) (2/2)1/31/3， ， (2/3) (2/3) (1/2

6、)(1/2)1/31/3， ，= (2/3) = (2/3) (1/2)(1/2)1/31/3， 1/31/31/3 例例解解 见书P69，习题1(, )X Y的能够取值为的能够取值为例例解解(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，2，011(, )(0,0),(, )( 1,1)6315(, )( 1,1 3),(, )(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y X，Y的的结合分布律为结合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200( ,)( , )xyF x yf u v dudv 那么称那么称(X,Y)(X,Y)是二元延续型随机变量。是二

7、元延续型随机变量。f fx x，y y称为称为二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)的结合概率密度函数的结合概率密度函数. .二维延续型随机变量的结合概率密度二维延续型随机变量的结合概率密度 结合概率密度函数的性质结合概率密度函数的性质( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非负性非负性Dxy( , )f x y( , )0f x y n. .2( , )( , )F x yf x yx y n. .(,)1F 随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设二维随机变量设二维随机变量(, )X Y的概率密度为的概率密度为 (1) 确定常数确

8、定常数 k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(, )X Y (2) 求求的分布函数；的分布函数；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k (1)(23 ) 0 0 xykedxdy 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 ( , )( , )xyF x yf u v dudv (2)当当 时，时，0,0 xy或( , )0F x y 当当 时，时，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)(1),

9、(0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他 04, 01PXY(3) 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy224例例 知二维随机变量知二维随机变量X，Y的分布密度为的分布密度为 1(6), 02,24( , )8 0, xyxy

10、f x y其他求概率求概率 (1)1,3 ;(2)3P XYP XY解解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524续解续解 .x+y=3 思索思索 知二维随机变量知二维随机变量X，Y的分布密度为的分布密度为 1(6), 02,24( , )8 0, xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)81(6)8xdxx

11、y dydxxy dy7 4873 818二维均匀分布二维均匀分布1,( , )( , )0,x yDf x yA其它设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 DA(, )X YD上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，那么称，那么称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中 思索思索 知二维随机变量知二维随机变量X，Y服从区域服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求区域。求1分布函数；分布函数；2 12P Y解解 X,Y的密度函数为的密度函数为 y=2x+1 -1/2

12、 ( , ),F x yP Xx Yy1当当 时，时，12x ( , )0F x yP 分布函数为分布函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他y=2x+1 -1/2 2当当 时，时，102x0( , )0,yf x y时，( , )0F x y 所以，021yx 时，( , )4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 时，( , )4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1 -1/2 3当当 时，时，0 x 0( , )0,yf x y时，( , )0F x y 所以，01y 时，( , )4F x ydxdy梯形4212ySy梯形1

13、y 时，( , )4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dxdy梯形34二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0, 11 其中其中均为参数均为参

14、数 那么称那么称 (, )X Y服从参数为服从参数为 1212, 的二维正态分布的二维正态分布 221212(, )N 边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描画其取值规律。函数来描画其取值规律。( , ),F x yP Xx Yy 问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分

15、布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ， (, )X YXY依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 假设二维离散型随机变量假设二维离散型随机变量X,Y的结合分布律为的结合分布律为 即即 Y

16、Xy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第第i行之和行之和Yy1y2y

17、3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量X,Y的结合分布律为的结合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200X，Y的结合分布列的结合分布列 二维延续型随机变量的边缘分布二维延续型随机变量的边缘分布 ( )( ,)( , )XxFxF xf u v

18、 dv du n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )( ,)Xfxf x y dyn关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设设X, YX, Y的结合的结合密度为密度为01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由由 ( , )1dxf x y d

19、y得得 0,1x当当 时时 31122( )Xfxxydyx 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 0,1x当当 时时 1,3y当当 时时 1,3y当当 时时 10124( )Yyfyxydx 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设设X, Y) 的结合分布密度为的结合分布

20、密度为 221( , )0kxyf x y 其它其它1求求k值值(2) 求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度3求概率求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均匀分布均匀分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 当当 时时221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 当当 时时( )0Xfx 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 . -11( )( , )Yfyf x y dx 22111( )yYyfydx221

21、 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 当当 时时 1,1y 当当 时时( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 3 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy见课本见课本P59P59例例3 3 假设二维随机变量假设二维随机变量X，Y服从正态分布服从正态分布 221212,N 那么两个边缘分布分别服从正态分布那么两个边缘分布分别服从正态分布 211,XN 222,YN 与相关系数与

22、相关系数 无关无关 可见，结合分布可以确定边缘分布，可见，结合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定结合分布但边缘分布不能确定结合分布例例4 设设X，Y的结合分布密度函数为的结合分布密度函数为 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexe

23、ydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同的结合分布，可不同的结合分布，可有一样的边缘分布。有一样的边缘分布。可见，结合分布可以确定边缘分布，可见，结合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定结合分布但边缘分布不能确定结合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和延续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和延续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 ijijppp对恣意对恣意i,j 对恣意对恣意x,y 在实践问题或运用中，当在实践问题或运用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互不影响的取值互不影响时，我

24、们就以为时，我们就以为X X与与Y Y是相互独立的，进而把上述定义式当是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用公式运用. . 在在X与与Y是相互独立的前提下，是相互独立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy设设X，Y的概率分布律为的概率分布律为证明：证明：X、Y相互独立。相互独立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X X与与Y Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX

25、、Y Y相互独立相互独立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp 222.2ppp 232.3ppp 313.1ppp 323.2ppp 333.3ppp 例例2 2 设设X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) P (1) P0X1 0X1 ，0Y10Y1 (2) (X,Y) (2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， 3 3判别判别X X、Y Y能否独立。能否独立。解解 设设A=A=

26、x x，y y：0 x1 0 x1 ，0y10y1 ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时0 x 2320( )62xyxXxedye当当 时时0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0, xyXYexyxy其它所以所以 X X 与与

27、 Y Y 相互独立。相互独立。(, )xy例例3 知二维随机变量知二维随机变量X，Y服从区域服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判别域。判别X，Y能否独立。能否独立。 解解 X,Y的密度函数为的密度函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他当当 时，时，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Xfxf x y

28、dy当当 或或 时时12x 0 x ( )0Xfx 当当 时，时，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx当当 或或 时时0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )( )2 0, XYxyxyfxfy其它所以所以 ( , )f x y所以，所以，X与与Y不独立。不独立。 1,()()( , )0axb cydba dcf x y其他( , )|,x yaxbcyd11( )( , )

29、()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1( )0Xfxbaotherwiseaxb 1( )0ycxydfycdotherwise 于是于是( , )( )( )XYf x yfxfy( )0Xfx ( , )x ab ( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz设设 (, )X Y是二维随机变量是二维随机变量, , 其结合分布函数为其结合分布函数为 ( , ),F x y(, )Zg X Y是随机变量是随机变量 ,X Y的二元函数的二元函数 Zn 的分布函的分布函数数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？ 设设 (, )X Y是二维

30、离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其结合分布列为其结合分布列为 , (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y那么那么 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 设设 的结合分布列为的结合分布列为 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出分别求出1X+Y；2X-Y；3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的结合分布列可得如下表格的结合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4 -11/457概率1/121/123/122/121/122/12