chap2随机变量及其分布

1、1 2021-11-10 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2 2021-11-10 为更好地揭示随机现象的规律性并利为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律用数学工具描述其规律, , 有必要引入有必要引入随机随机变量变量来描述随机试验的不同结果来描述随机试验的不同结果. .例例 灯泡寿命可用一个连续变量灯泡寿命可用一个连续变量 T 来描述来描述.例例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述也可以用一个离散变量来描述正品次品,0, 1)(X3 2021-11-10 2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数设设

2、 是试验是试验E的的样本空间样本空间, 若若则称则称 X ( ) 为为 上的上的 随机变量随机变量r.v.一般用大写一般用大写字母字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母或小写希腊字母 , , 表示表示.)(X实数定义定义随机变量随机变量 ( random variable )按一定法则按一定法则简记简记 r.v. X .2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数4 2021-11-10 随机变量随机变量 是是R上的映射上的映射, 此映射具有如下特点此映射具有如下特点 定义域定义域 事件域事件域 随机性随机性 r.v. X 的可能取值不止一个的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能

3、的取值，但不试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值 2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数5 2021-11-10 引入引入r.v.后后, , 可用可用r.v.的等式或不等式表的等式或不等式表达达随机事件随机事件, 例如例如)100(X 表示表示 “某天某天9:00 10:00 接到电话次数超过接到电话次数超过100” 这一事件这一事件 r.v.的函数一般也是的函数一般也是r.v.2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数6 2021-11-10 在同一个样本空间可以同时定义多个在同一个样

4、本空间可以同时定义多个 r.v., 例如例如 = 儿童的发育情况儿童的发育情况 X( ) 身高身高,Y( ) 体重体重,Z( ) 头围头围.各各 r.v.之间可能有一定的关系之间可能有一定的关系, 也可能没也可能没有关系有关系 即相互独立即相互独立2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数7 2021-11-10 离散型离散型非离散型非离散型r.v. 分类分类 其中一种重要的类型为其中一种重要的类型为 连续性连续性 r.v.引入引入 r.v.重要意义重要意义 任何随机现象可被任何随机现象可被 r.v.描述描述 借助借助微积分微积分方法进行讨论方法进行讨论2.1 随机变量及其分布函数随机变

5、量及其分布函数8 2021-11-10 为为 X 的的分布函数分布函数. 设设 X 为为 r.v., x 是任意实数是任意实数,称函数称函数xxXPxF),()(随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP用分布函数计算用分布函数计算 X 落在落在( a ,b 里的概率里的概率：2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数9 2021-11-10 分布函数的性质分布函数的性质q F ( x ) 单调不减，即单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右连

6、续，即右连续，即)()(lim)0(xFtFxFxt2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数10 2021-11-10 )()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP用分布函数表示概率用分布函数表示概率2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数11 2021-11-10 2.2离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义定义 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个个或可列个, 则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量。描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布概率分布或或分布律分布律

7、, 2 , 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或或离散随机变量及分布律离散随机变量及分布律即即2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布12 2021-11-10 分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性非负性q 11kkp归一性归一性X 或或kxxx21kppp212.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布13 2021-11-10 F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, 在在 X 的可能取的可能取值值 xk 处发生间断处发生间断, 间断点为第一类跳跃间间断点为第一类跳跃间断点断点,在间断点处有跃度在间断点处有跃

8、度 pk .离散随机变量及分布函数离散随机变量及分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中其中 . kkxx12.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布14 2021-11-10 3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解,) 4(4pXP 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经设汽车在开往甲地途中需经 过过 4 盏信号灯盏信号灯, 每盏信号灯独立地每盏信号灯独立地 以概率以概率 p 允许汽车通过允许汽车通过. 出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数首次停下时已通过的信号灯盏数

9、, 求求 X 的概的概率分布与率分布与 p = 0.4 时的分布函数时的分布函数.令令 X 表示表示2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布15 2021-11-10 01234xx,84. 024. 06 . 021 x, 6 . 010 x, 00 x,936. 0096. 084. 032 x,9744. 00384. 0936. 043 x14x)(xFkpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384 0.0256代入4 . 0p )(xXP2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布16 2021-11-10 01234xF( x

10、)oo1ooo2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布17 2021-11-10 用分布律或分布函数来计算事件的概率用分布律或分布函数来计算事件的概率例例2 2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算. )31 ( XP解解) 31 (XP) 3() 2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032或) 31 ( XP6 . 09744. 0) 01 () 3(FF此式应理解为极限)(lim1xFx18 2021-11-10 例例3 3 一门大炮对目标进行轰击一门大炮对目标进行轰击,假定此目标假定此目标必须被击中必须被击中r 次才能被

11、摧毁次才能被摧毁. 若每次击中目若每次击中目标的概率为标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独且各次轰击相互独立立,一次次地轰击直到摧毁目标为止一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需求所需轰击次数轰击次数 X 的概率分布的概率分布.解解P(X = k) = P(前前 k 1次击中次击中 r 1次，次， 第第 k 次击中目标次击中目标)pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (11, 1, rrk帕斯卡帕斯卡分分 布布2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布19 2021-11-10 注1)1 (11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质

12、xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x当333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkk20 2021-11-10 rrkrkrkxxC)1 (111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC21 2021-11-10 (1) 0 1 分布分布1, 0,)1 ()(1kppkXPkk是否超标等等是否超标等等. 常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果凡试验只有两个结果, 常用常用0 1分布描述分布描述, 如产品是否合格、人如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗口性别

13、统计、系统是否正常、电力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 为常数为常数2.3 连续型随机变量连续型随机变量59 2021-11-10 1xF( x)0 xf ( x)02.3 连续型随机变量连续型随机变量60 2021-11-10 对于任意的对于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合应用场合 用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的近

14、似分布的近似2.3 连续型随机变量连续型随机变量61 2021-11-10 若 X (),则故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命题62 2021-11-10 解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt) 0)()(tNPtTPtteet! 0)(0例例3 3 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) (t), 求(1)

15、相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布;(2)设备已正常运行小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.63 2021-11-10 0,10, 0)(tettFt0,0,0)(tettft即)(ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指数分布的“无记忆性”64 2021-11-10 (3) 正态分布正态分布若若X 的的 d.f. 为为xexfx222)(21)(则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的正态分布的正态分布记作记作 X N ( , 2 ),为常数，为常数，0 亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布2.3 连续型随机变量连续型随机变量65 2021-1

16、1-10 N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.332.3 连续型随机变量连续型随机变量66 2021-11-10 f (x) 的性质：的性质：q 图形关于直线图形关于直线 x = 对称对称, 即即在在 x = 时时, f (x) 取得最大值取得最大值21 在在 x = 时时, 曲线曲线 y = f (x) 在对应在对应的点处有拐点的点处有拐点曲线曲线 y = f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线曲线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 2.3 连续型随机变量连续型随机变量67 2

17、021-11-10 21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.32.3 连续型随机变量连续型随机变量68 2021-11-10 q f ( x) 的两个参数：的两个参数： 位置参数位置参数即固定即固定 , 对于不同的对于不同的 , 对应的对应的 f (x)的形的形状不变化，只是状不变化，只是位置位置不同不同 形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同的形状不同.若若 1 2 则则212121比比x= 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线 x= 附近值的概率更大附近值的概率更大. x = 1

18、所对应的所对应的拐点拐点前者取前者取 2.3 连续型随机变量连续型随机变量69 2021-11-10 Showfn1,fn3 大大 小小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5几何意义几何意义 大小与大小与曲线陡峭程度曲线陡峭程度成反比成反比数据意义数据意义 大小与大小与数据分散程度数据分散程度成正比成正比2.3 连续型随机变量连续型随机变量70 2021-11-10 正态变量的条件正态变量的条件 若若 r.v. X 受受众多众多相互相互独立独立的随机因素影响的随机因素影响 每一因素的影响都是每一因素的影响都是微小微小的的 且这些正、负影响可以且这些正、负影响可以叠加叠加则称则称

19、 X 为正态为正态 r.v.2.3 连续型随机变量连续型随机变量71 2021-11-10 可用正态变量描述的实例极多：可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学生的考试成绩；2.3 连续型随机变量连续型随机变量72 2021-11-10 一种重要的正态分布一种重要的正态分布xexx2221)(是偶函数，是偶函数，分布函数记为分布函数记为xtexxtd21)(2

20、2其值有专门的表供查其值有专门的表供查. 标准正态分布标准正态分布N (0,1)密度函数密度函数2.3 连续型随机变量连续型随机变量73 2021-11-10 5 . 0) 0 (-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXP2.3 连续型随机变量连续型随机变量74 2021-11-10 -xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.475 2021-11-10 对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换作变量代换tsxxF )(abaFbFbX

21、aP)()()(aaFaXP1)(1)(2.3 连续型随机变量连续型随机变量76 2021-11-10 例例4 4 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0附表77 2021-11-10 例例5 5 已知已知), 2(2NX且且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224) 42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP2.3 连续型随机变量连续型随机变量78 2021-11-10

22、解二解二 图解法图解法0.22 . 0)0(XP由图由图-22460.050.10.150.20.32.3 连续型随机变量连续型随机变量79 2021-11-10 例例 3 原理原理设设 X N ( , 2), 求求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987.029974.0一次试验中一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小由由3 原理知原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当当2.3 连续型随机变量连续型随机变量80 2021-11-10 标准正态分布的上标准正态分布

23、的上 分位数分位数 z 设设 X N (0,1) , 0 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.83 2021-11-10 2.4 r.v. 函数的分布函数的分布方法方法 将与将与Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件求求 随机因变量随机因变量Y= g ( X )的密度函数的密度函数 或分布律或分布律)(yfY问题问题 已知已知 r.v. X 的的d.f.)(xfX或分布律或分布律.2.4 r.v. 函数的分布函数的分布84 2021-11-10 设设 r.v. X 的分布律为的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知由已知函数函数 g( x)可求出可求出 r.v

24、. Y 的的所有可能取值，则所有可能取值，则 Y 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布2.4 r.v. 函数的分布函数的分布85 2021-11-10 例例1 1 已知已知 X 的概率分布为的概率分布为X pk-1 0 1 221418181求求 Y 1= 2X 1 与与 Y 2= X 2 的分布律的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 3214181812.4 r.v. 函数的分布函数的分布86 2021-11-10 Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 42183812.4 r.v. 函数的

25、分布函数的分布87 2021-11-10 已知已知 X 的的d.f. f (x) 或分布函数或分布函数求求 Y = g( X ) 的的d.f. 方法：方法：（1） 从分布函数出发从分布函数出发（2）用公式直接求）用公式直接求d.f. 连续型连续型 r.v.函数的分布函数的分布2.4 r.v. 函数的分布函数的分布88 2021-11-10 例例2 2 已知已知 X 的的 d.f.为为,),(baXYxfX为常数，且为常数，且 a 0, 求求 fY ( y )解解)()(yYPyFY)(ybaXP1( )()YF yP Xy ba)(1byaFX当当a 0 时，时，)(11)(byafayfXYba,2.4 r.v. 函数的分布函数的分布89 2021-1