Chapter04-函数的连续性

1、北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析1 1 连续性概念 2 连续函数的性质 3 闭区间上连续函数的性质北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析21 连续函数的概念连续函数的概念 当自变量时间当自变量时间 t 变化无限小变化无限小时，这些规律变量的变化也无限小时，这些规律变量的变化也无限小. . 如气温随如气温随时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量. .客观世界中许多量的变化都是循序渐进的客观世界中许多量的变化都是循序渐进的. 这种连续变化的特点是：这种连续变化的特点是： 如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征

2、？如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？ 对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念. .北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析3解： 1、 2) 1()(limlim11xxfxxy12021x1)( xxf2、 2) 1(11)(limlimlim1211xxxxgxxx11)(2xxxg(1,2)从图象上看， 在 处“连续”， 在 处“间断”。1x1x)(xg)(xf2、 ， 1、 ) 1()( xxf11)(2xxxg引例 求下列函数在处的函数值和极限，并作出图象。1x2) 1 (f不存在) 1 (g图象： 图象： yx0

3、1122(1,2)北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析4 从上面的例子我们看到：有些函数图像上的点连绵不断，从上面的例子我们看到：有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数曲线一种构成了函数曲线一种 “ “连续连续”( (不间断不间断) )的外观的外观 . .y 0 x x0 要准确地把握曲线这些要准确地把握曲线这些“连续连续”与与“间断间断”的情况，需要精确的数学的情况，需要精确的数学描述描述. . 若要若要曲线连绵不断，就要曲线在曲线连绵不断，就要曲线在其每一定义点其每一定义点 x0 都都能连接起来能连接起来. 可用极限概念描述可用极限概念描述 如 何 描 述 ？如 何 描 述

4、 ？y=f (x) . . 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析500lim( )()xxf xf x 则称则称 f 在点在点 x x0 0 连续连续. . 设函数设函数 f 在某在某U (x0 )内有定义内有定义, , 1 1. .定义定义1 1(P69)(P69) 若若 例如例如, , 函数函数 在点在点 x = = 2 2 连续，连续， ( )21f xx 因为因为 22lim( )lim(21)5(2).xxf xxf 又如又如, , 函数函数连续连续, , 1sin,0( )0,0 xxf xxx 因为在点因为在点 x x = = 0 0， 001lim( )lim

5、sin0(0).xxf xxfx 注注1 1 函数函数 f 在点在点 x 0 连续，连续，则则 x 0 必属于必属于 f 的定义域的定义域 . . 一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析6y 0 x 自变量自变量 x 在该邻在该邻域内，域内，变形：变形：称差称差 x - - x0 为为自变量自变量 x 在点在点 x0 的的增量增量或或改变量改变量，先介绍一个用来描述变量变化的概念先介绍一个用来描述变量变化的概念 增量增量. . 设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，.0 xxx 称函数值之差称

6、函数值之差 f ( x0 x ) f (x0)为为函数函数 f (x)在在点点x0 对应于自变量对应于自变量的的增量增量 x 的的增量增量或或改变量改变量. . y + y yx0 x记为记为 y，. )()(00 xfxxfy 注注2 2 增量是可正可负的，增量是可正可负的， 记为记为x， 即即 即即 .0 xxx ;00 xxx )()(00 xfxxfy .)()(00yyxfxf f (x) = f (x0) + y . . 可用增量描述变量可用增量描述变量. . 我们规定自变量的增量我们规定自变量的增量 . . 0 x x y y = f (x ) 且且 0+ x 2. 连续的等价定

7、义连续的等价定义北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析7 实际上，不必把增量看成是一个新的数学概实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，它只是表示变量的一个新的记法念，它只是表示变量的一个新的记法. 用它来描述用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要方法变量的变化是分析函数的一个十分重要方法. 特别特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性具有特殊的重要性和优越性. 如何分析增量如何分析增量 x， y，正是微积分的灵魂，正是微积分的灵魂. . 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析8函数函数

8、 在点连续的在点连续的充分必要条件充分必要条件是是 ( )yf x 0lim0 .xy 注注3 3 函数在一点连续实质就是函数在一点连续实质就是: :因此因此, ,结合函数极限的定义可有函数在一点连续的结合函数极限的定义可有函数在一点连续的 - - 定义定义 . . 当自变量变化不大时当自变量变化不大时, , 函数值变化也不大函数值变化也不大. .等价定义等价定义1北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析9 注注4 4 由上述定义由上述定义, , 我们可得出函数我们可得出函数 f 在点在点 x0 有极限与有极限与 f 在点在点 x0 连续之间的关系：连续之间的关系：函数函数 在点连

9、续的在点连续的充分必要条件充分必要条件是是 ( )yf x (i) (i) f 在点在点 x0 有极限是有极限是 f 在点在点 x0 连续的必要条件连续的必要条件. .(ii) “(ii) “ f 在点在点 x0 连续连续”要求要求: : f 在点在点 x0 有极限且其极限值有极限且其极限值应应等于等于 f 在点在点 x0 的函数值的函数值. . f 在点在点 x0 连续连续000limlim( )()().xxxxf xf xfx 等价定义等价定义 2当时，北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析10例例1 1. 0 , 0, 0, 0,1sin)( 处连续处连续在在试证试证 x

10、xxxxxf证证 xxx1sinlim00.0)(处处连连续续在在 xxf )(lim0 xfx),0(f 证毕证毕北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析11例例2 证明函数证明函数 f(x)=xD(x) 在点在点 x=0 连续，但在其余连续，但在其余 点均不连续，其中点均不连续，其中 D(x) 为狄利克雷函数。为狄利克雷函数。 证证 f (0)=0 ， |D(x)|1 ).0()(lim0fxfx 即即, 0lim0 xx无穷小）无穷小）有界函数乘无穷小仍为有界函数乘无穷小仍为( , 0)(lim0 xxDx即函数即函数f (x)=xD(x) 在点在点x=0连续连续.不不存存在

11、在。可可以以证证明明)(lim , 000 xfxxx 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析12不不存存在在。证证明明)(lim)(lim , 0000 xxDxfxxxxx , 0, 0|00 x取取|,|,);(01210 xxxxxU 且且为无理点为无理点为有理点，为有理点，内取内取在在 | )()(|21xfxf则则|0|11xx .|00 x由由Cauchy收敛准则，得收敛准则，得不存在。不存在。)(lim 0 xfxx用归结原则证明该极限不存在。用归结原则证明该极限不存在。证法二证法二证法三证法三证法一证法一存存在在，若若)(lim , 000 xxDxxx ,li

12、mlim 00存存在在则则xxD(x)D(x)xxxx 矛盾！矛盾！北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析1300lim( )()xxf xf x 定义定义2 设函数设函数 f 在某在某U+(x0) ( (或或 U- -(x0) ) )内有定义内有定义, , 若若 则称则称 f 在点在点 x0 右右( (左左) )连续连续. .00(lim( )(),xxf xf x f 在点在点 x0 既是右连续既是右连续, 又是左连续又是左连续. 定理定理4.1 函数函数 f 在点在点 x0 连续的充要条件是：连续的充要条件是：即即 ),() 0(00 xfxf 且且 ).() 0(00 x

13、fxf 3. 左右连续左右连续北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析14例3 讨论函数 2, 22,)(2xxxxxf在 处的连续性，并作出函数的图象。2x解： 根据定义的三个步骤进行验证：（1） 的定义域是 ，故 在 及其附近有定义， ; )(xf),()(xf2x4)2(f（2） )(lim2xfx22limxx4)(lim2xfx)2(lim2xx4所以 4)(lim2xfx（3） )2()(lim2fxfx 因此 在 处连续。 )(xf2xx041 2 3-1-2123y北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析15在 处连续。例4 适当选取 的值，使函数a0,

14、0,)1 ()(1xaxxxxfx0 x解： （1） 的定义域是 ，在 及其附近有定义 。)(xf),(0 xaf)0(（2）)(lim0 xfxxxx10)1 (lime)(lim0 xfx)(lim0axxa即 ，此时欲使 在 处连续，须有)(xf0 x)()(limlim00 xfxfxxea exfx)(lim0（3）)0()(lim0fxfx所以 时， 在 处连续。ea )(xf0 x北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析16:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在

15、存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf二、函数的间断点二、函数的间断点北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析171.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11,

16、 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 间断点的分类：间断点的分类：北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析18解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .1为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数 的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.将例将例5中的函数延拓为连续函数：中的函数延拓为连续函数：, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112

17、北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析192.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左、处左、在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例6 6.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析20,)( xxf又如lim xnx. nlim xnx. 1n所以所以 x=n 是跳跃间断点。是跳跃

18、间断点。 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析21跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点：特点：.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x3.第二类间断点第二类间断点 不是第一类的间断点。不是第一类的间断点。 特点：特点：.0一一个个不不存存在在处处的的左左、右右极极限限至至少少有有函函数数在在点点x北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析22例例7 7.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xx

19、xf解解 1sinlim0及及xx .0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点振振荡荡间间称称这这种种间间断断点点为为的的. 1sinlim0都不存在都不存在xx xy1sin北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析23o1x2x3xyx xfy 判断下列各间断点类型判断下列各间断点类型:例例8 8北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析24注意注意 不要以为函数的间断点只能是不要以为函数的间断点只能是个别的几个点个别的几个点. , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDyDirichlet 函数函数在定义域在定义域R内每一点处都间断，

20、且都是第二类间断点内每一点处都间断，且都是第二类间断点.)(xxDy 仅在仅在x=0一点连续，其余点都是第二类间断点一点连续，其余点都是第二类间断点. , 1, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析25三、区间上的连续函数三、区间上的连续函数 若若 f(x)在区间在区间 I的内部每一点处都连续，并且当的内部每一点处都连续，并且当I含左（右）端点时含左（右）端点时 f(x)在该端点处右（左）连续，则在该端点处右（左）连续，则称

21、称 f(x) 是区间是区间 I上的上的连续函数连续函数，或者说函数，或者说函数 f(x)在区在区间间I上连续上连续，并且称，并且称 I 为为 f(x) 的的连续区间连续区间。 I上上连续函数的图形在连续函数的图形在I上上是一条连续而不间断的是一条连续而不间断的曲线曲线.几何特征几何特征函数函数y=c，y=x，y=sin x和和y=cos x都是都是R上的连续函数。上的连续函数。 连续。连续。，在在1112 xy北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析26 若函数若函数f在区间在区间a，b上仅有有限个第一类间断点，上仅有有限个第一类间断点，则称则称f在在a，b上上分段连续分段连续 。

22、上分段连续。上分段连续。在任意有限区间在任意有限区间, baxy 例例9 证明：黎曼函数证明：黎曼函数在在(0,1)内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续内无理数及当，为正整数且互素）当) 1 , 0(1 , 0 0,( ,1)(xqpqpxqxR证证. 0)(lim ,1 , 000 xRxxx对对事实上，我们可以证明：事实上，我们可以证明：北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析27在在0，1上：上：分母为分母为1的有理点只有的有理点只有2个：个：;11 ,10分母为分母为2的有理点只有的有理点只有1个：个：;21分母为分母为3的有

23、理点只有的有理点只有2个：个：;32 ,31分母为分母为4的有理点只有的有理点只有2个：个：;43 ,41分母为分母为5的有理点只有的有理点只有4个：个：;54 ,53 ,52 ,51总之，分母不超过总之，分母不超过 k 的有理点的个数是有限的。的有理点的个数是有限的。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析28, 0,1 , 00 x因为分母不超过因为分母不超过k的有理点的个数是有限的，设其为的有理点的个数是有限的，设其为,21nrrr, 0|min0,10 xrixrnii 令令时，时，当当 |00 xx;0)( xRx为为无无理理数数，则则若若，于是，于是大于大于为有理数，则

24、其分母必为有理数，则其分母必若若kx,111)(kkxR ,|0)(| xR总之，有总之，有. 0)(lim0 xRxx因此，因此，R(x)在无理点处都连续，有理点处都不连续。在无理点处都连续，有理点处都不连续。,1,| )(| kxR只需取只需取欲使欲使北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析29:)(xD有界，有界，周周期期为为任任意意正正有有理理数数，任任意意点点都都不不存存在在极极限限，任意点都不连续。任意点都不连续。:)(xxD无界，无界，非非周周期期函函数数，. 00点点存存在在极极限限，极极限限为为只只在在 x.0点点连连续续只只在在 x:)(xR有界，有界，非非周周

25、期期函函数数，. 01 , 0极极限限为为内内每每一一点点都都存存在在极极限限，在在续续。内内每每一一个个有有理理点点都都不不连连，在在，内内每每一一个个无无理理点点都都连连续续在在)10(1 , 0北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析30四、小结四、小结3、间断点及其分类；、间断点及其分类；2、函数在一点的左右连续性；、函数在一点的左右连续性；1、函数在一点连续的三个等价定义；、函数在一点连续的三个等价定义；4、区间上的连续函数；、区间上的连续函数；5、几个特殊函数（、几个特殊函数（D(x), xD(x), R(x),x, sign(x)的的 连续性。连续性。北方工业大学数学

26、系北方工业大学数学系数学分析数学分析31作业第四章 习题一北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析32一、连续函数的局部性质一、连续函数的局部性质).()(lim)(000 xfxfxxfxx 连续连续在在定理定理4.2（局部有界性）（局部有界性） 若函数若函数在点在点x0连续，则连续，则在在某某U(x0)内有界。内有界。定理定理4.3（局部保号性）（局部保号性） 函数函数在点在点x0连续，且连续，且(x0)0(或或0),则对任何正数则对任何正数r(x0)(或或rr(或或(x)-r).根据函数极限的性质根据函数极限的性质 ，下面的结论是显然的。，下面的结论是显然的。北方工业大学数学

27、系北方工业大学数学系数学分析数学分析33定理定理4.4(四则运算四则运算) 若函数若函数和和g在点在点xo连续连续,则则g，g，g，/g(这里这里g(x0)0)也都在点也都在点x0连续。连续。1. 多项式函数多项式函数 P(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an 在其在其定义域的每一点都是连续的。定义域的每一点都是连续的。2. 有理函数有理函数 R(x)=P(x)/Q(x)(P,Q为多项式为多项式) 在其定在其定义域的每一点都是连续的。义域的每一点都是连续的。 3. 六个三角函数六个三角函数在定义域的每一点都连续。在定义域的每一点都连续。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数

28、学分析34定理定理4.5（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）若函数若函数 在在点点x0连续，连续，g在点在点u0连续，连续，u0=(x0), 则复合则复合函数函数 g 在点在点x0连续。连续。).()(lim()(lim000 xfgxfgxfgxxxx 即即定理定理4.5可推广为可推广为 若函数若函数 在点在点 x0 有极限有极限 a，g 在点在点 u0=a 连续，连续，则复合函数则复合函数 g 在点在点 x0 有极限有极限,).()(lim()(lim00agxfgxfgxxxx 即即北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析35思考题：思考题：若问：是否一定为答曰：不一定。

29、不一定。如：但不存在！ 因为当我们加上条件结论就是肯定的！北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析36证证,)()(00连续连续在点在点xfuug .)()(, 0, 000成立成立恒有恒有时时使当使当 uguguu),()(lim00 xfxfxx 又又, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)()(00成成立立恒恒有有 uuxfxf将上两步合起来将上两步合起来:, 0, 00时时使当使当 xx)()(0 xfgxfg .成立成立 )(lim0 xfgxx).(0 xfg 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析37例例1 1)1(limsin(10 xxx 例例2

30、 2 )(,1)(,sgn)(2xfgxxgxxf则则2)(sgn1x 0, 10, 2xx )(xgf1)1sgn(2 x处处连续处处连续（由此看到，不连续的函数复合之后可能连续）（由此看到，不连续的函数复合之后可能连续）. 2)1( g. 2)1( g故故x =0是可去间断点。是可去间断点。.sine xxx10)1sin(lim)(lim()(lim00 xfgxfgxx )(lim()(lim00 xfgxfgxx 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析38二、二、 闭区间上连续函数的基本性质闭区间上连续函数的基本性质例如例如，sin x在在0,上有最大值上有最大值1，最

31、小值，最小值0。 (x)=x在在(0,1)上即无最大值也无最小值。上即无最大值也无最小值。 定义定义1 设设为定义在数集为定义在数集D上的函数。若存在上的函数。若存在x0D，使得对一切，使得对一切xD有有 (x0) (x) (x0)(x),则称则称在在D上有最大（上有最大（最小最小）值，并称）值，并称(x0)为为在在D上的最大（上的最大（最小最小）值。）值。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析39定理定理4.6(4.6(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值续的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy

32、).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则即若即若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析40 xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 推论推论( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上

33、有界上有界在在函数函数baxf北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析41MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧cyxfy 定理定理4.7（介值性定理）（介值性定理） 设函数设函数在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且(a)(b)。几何解释几何解释:若若c为介于为介于(a)与与(b)之间的任何实数（之间的任何实数（(a)cc(b)），），则至少存在一点则至少存在一点x0(a,b)，使得，使得(x0)=c。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析42 推论推论1（根的存在定理）（根

34、的存在定理） 若函数若函数在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(a)与与(b)异号（即异号（即(a)(b)0），），ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 则至少存在一点则至少存在一点x0(a,b)，使得，使得(x0)=0,即方程即方程(x)=0在在(a,b)内至少有一根。内至少有一根。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析43 推论推论2 若若在区间在区间I上连续且不是常量上连续且不是常量函数，则值域函数，则值域(I)也是一个

35、区间；也是一个区间；特别，若特别，若I为闭区间为闭区间a,b，在在a,b上的最上的最大值为大值为M，最小值为，最小值为m，则，则(a,b)=m,M；又若又若为为a,b上的增（上的增（减减）连续函数且不）连续函数且不为常数，则为常数，则(a,b)=(a),(b) (b),(a).北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析44例例1 1.)1 , 0(01 3内内恰恰好好有有一一个个实实根根在在试试证证方方程程 xx证证, 1)(3 xxxf令令,1 , 0)( Cxf 则则, 01)0( f又又, 01)1( f内必有零点。在 ) 1 , 0( )( xf有有又又由由 , , )1 ,

36、 0( , 2121xxxx 1)-( - )1()()(23213121xxxxxfxf 1)( )(22212121 xxxxxx0 ）上上单单调调增增，在在（1 0 )( xf）上至多有一个零点）上至多有一个零点，在（在（1 0 )( xf. ) ( )1 , 0( 01 3根根实实内恰有一内恰有一在在方程方程 xx）上上恰恰有有一一个个零零点点，在在（1 0 )( xf北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析45例例2 2.)(),(:.)(,)(,)(, fbabbfaafCxfba使使得得证证明明且且设设证证,)()(xxfxF 令令.)(,baCxF 则则aafaF

37、)()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使得使得),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即yf(b) b y=f(x) a y=xf(a)O a b x 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析46定理定理4.84.8 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上

38、单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.三、三、 反函数的连续性反函数的连续性北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析47严格单调且连续，严格单调且连续，为正整数）在为正整数）在0( nxyn严格单调且连续，严格单调且连续，为正整数）在为正整数）在故故0(1 nxyn严格单调且连续，严格单调且连续，为正整数）在为正整数）在0(1 nxyn的复合）的复合）与与视为视为xuuyn1(1 在在其其定定义义域域内内连连续续。由由此此，有有理理幂幂函函数数axy 的复合）的复合）与与视为视为pqaxuuyxyqpa 1,(北方工业大

39、学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析48定理定理4.84.8 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .证明证明f(b)xyof(a)ba201 xxx1y2y0y不妨设不妨设f(x)在在a,b严格增严格增,.)(),()(1严格增严格增在在则则bfafxf ),(),(0bfafy ),( ),(000baxxfy 设设, 0 ,),(201210 xxxxxxU 且且中中任任取取两两点点在在 ),( ),(2211xfyxfy 设设由由f(x) 严格增严格增,有有,201yyy ,min0210yyyy 取取),(0 yUy 则则),(

40、)(211xxyf 有有.| )()(|0011 xxyfyf故故北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析49四、四、 一致连续性一致连续性 f(x) 在某个区间在某个区间 I（或开，或闭）连续，指得是（或开，或闭）连续，指得是f(x) 在在 I 中每一点都连续，即中每一点都连续，即.)()(, 0, 0,000 xfxfxxIx恒有恒有一般是不同的。一般是不同的。不同时，不同时，当，当一般来说，对同一个一般来说，对同一个 0 x上上连连续续？在在使使得得，用用的的，能能否否找找到到一一个个一一致致可可给给定定Ixfxf)()( 这就是函数在区间上的一致连续性问题。这就是函数在区间

41、上的一致连续性问题。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析50定义（一致连续）定义（一致连续） 设设f(x)为定义在区间为定义在区间I上上 的函数，若的函数，若.)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就有就有只要只要 则称则称f在在I上一致连续。上一致连续。.| )()(|, xfxfIxx，就可以使，就可以使只要当它们的距离小于只要当它们的距离小于中处于什么位置，中处于什么位置，两点在两点在直观地说，就是无论直观地说，就是无论 f在在I上一致连续上一致连续 f在在I上连续。上连续。反之不然。反之不然。一致连续是整体概念。一致连续是整体概念。北方工业大学数学系北方工业大学数

42、学系数学分析数学分析51连续：连续：).,000 xxx（均有关，记着均有关，记着和和与与，因此，一般来说，因此，一般来说，来决定来决定和和给定给定一致连续：一致连续：都可用。都可用。对任意的对任意的（，这种，这种（记作记作而变，而变，只随只随，也即，也即就能决定就能决定给定给定0),x 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析52不一致连续：不一致连续：.)()(, 0, 000 xfxfxxIxx但但虽然虽然定理（定理（Cantor定理，一致连续性定理）定理，一致连续性定理）若若f在在a,b连续，则连续，则f在在a,b一致连续。一致连续。一致连续：一致连续：.)()(, 0)(

43、, 0 xfxfxxIxx就有就有只要只要北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析53例例1 1）上一致连续。）上一致连续。，在（在（与与证明证明 xxcossin:证证|2cos2sin2|sinsin|212121xxxxxx |22|2121xxxx .|sinsin|,), ,(, 0, 0212121 xxxxxx就有就有只要只要）上一致连续。）上一致连续。，在（在（即即 xsin）上一致连续。）上一致连续。，在（在（同理同理 xcos北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析54例例2 2）连续但非一致连续。）连续但非一致连续。，（而在而在一致连续一致连续）在

44、（在（证明证明10,1,1sin: 1)c(0 cx证证|2/1/12|21xx 211221|11|xxxxxx 212|cxx ,|,|1sin1sin|21221 cxxxx 只要只要欲使欲使.|1sin1sin|,),1 ,(, 0, 02121212 xxxxcxxc就有就有只要只要|2/1/1cos2/1/1sin2|1sin1sin|212121xxxxxx 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析55一致连续。一致连续。）在（在（即即1)c(0 1 ,1sin cx）连续。）连续。，在（在（显然显然101sin)2(x,|)1 , 0(, xxxxk且且足够大，就可

45、使足够大，就可使只要只要，（不不可可能能任任意意小小）但但1|10|1sin1sin| xx）连连续续但但非非一一致致连连续续。，在在（故故1 01sinx,221,21, 0 kxkx现在取现在取北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析56P80. 例例10证：证：.| )()(|,|, 00111 xfxfxxIxx就有就有只要只要，一致连续，一致连续，在在1)(Ixf一一致致连连续续，在在2)(Ixf.| )()(|,|, 00222 xfxfxxIxx就有就有只要只要，为左连续，为左连续，在点在点的右端点，的右端点，作为作为点点cfIcx1 为右连续，为右连续，在点在点的左

46、端点，的左端点，作为作为cfI2所以所以f在在c点连续。点连续。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析57.2)()(0, 033 cfxfcx时，有时，有，当，当),min(321 令令, xxIxx分别讨论一下两种情形：分别讨论一下两种情形：，或同时属于或同时属于同时属于同时属于21,) i (IIxx .| )()(| xfxf则则北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析58则则，设，设与与分属于分属于,)ii(2121IxIxIIxx .2)()( cfxf从而从而.2)()( cfxf同理得同理得故故xccx xx 3 | )()()()(| )()(|xf

47、cfcfxfxfxf 证毕。证毕。| )()(| )()(|xfcfcfxf .22 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析59作业第四章 习题二北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析60三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在基本初等函数：常值函数，幂函数，三角函数，基本初等函数：常值函数，幂函数，三角函数，反三角函数，指数函数、对数函数。反三角函数，指数函数、对数函数。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析61.)1, 0(在实数域连续在实数域连续指数函数指数函数 aaayx证明证明:)4.51( ,1lim, 100例例则则设设Paaaxx ,0连续连续在在即即 xax,)(limlim00000 xxxxxxxxxaaaa 则则.,1在任意点连续在任意点连续时时即即xaa 于是于是则则令令时时当当, 1,1,10 baba,xxba ,的复合的复合与与可看作可看作xubu 从而连续从而连续.北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析62 xy xaalog ,uay .log xua