复变函数与实变函数微积分理论的比较与应用

1、复变函数与实变函数微积分理论的比较与应用众所周知复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，本学期我们数学专业的学生开始学习这门课程。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。 这里先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达

2、朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 下面我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。1 复变函数的微积分理论 复变函数的微分性质 我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。 复变函数极限的概念： 函数=f(z)定义在z0的去心邻域0z-z0内，如果

3、有一确定的数A存在，对于任给的0，相应的必有一个正数()使得当0z-z0（0)时，有f(z)-A。即称zz0是的极限，记为 另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的，此处不细表在实变函数时另有说明。 复变函数导数的概念： 设函数=f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限 存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。该极限成为f(z)在z0的导数，记做f(z0)=z=z。 = 复变函数的求导法则 1，（C）=0,C为复常数 2，（Zn）=nZn-1,n为正整数 3，f(z)g(z) = 4,f(z)g(z)=g(z)+f(z) 5,= 6, fg(z)=,其中=g(z) 7= ，其中

4、=f(z)与z=()是两个互为反函数的单值函数，且 0 由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的。在之后的实变函数与复变函数的微积分比较中还会进一步阐明。 复变函数可微的必要、充分、充要条件： 必要条件，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，则必有 偏导数ux、uy、vx、vy在点(x,y)存在； u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y），满足C.-R方程 充分条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv

5、(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充分条件是 ux、uy、vx、vy在点（x,y）处连续； u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足C.-R方程 充要条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充要条件是 二元函数u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处可微 u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足C.-R方程 此处引入解析函数的概念，方便后边讨论复变函数的积分。 解析函数的相关理论 定义：函数=f(z)在区域D内可微，则称f(z)为区域D内的解析函数。 解析函数的四个等价定理如

6、下： u(x,y) 、v(x,y)在D内可微；满足C.-R方程 ux、uy、vx、vy在点D内连续；满足C.-R方程 f(z)在D内连续；D内任意周线C，使得=0 v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数；满足C.-R方程 解析函数的n阶可导性 区域D的边界是周线C（或者复周线）,函数f(z)在D内解析，在=C+D上连续，则f(z)在区域D内具有各阶导数，并且有 (z) n=1,2复变函数的积分性质 这一部分我将分为四个部分来阐明，分别为不定积分、定积分、柯西定理、积分的计算。 复变函数的不定积分 区域D内f(z)的带有任意常数的原函数F（z）+C成为 f(z)在D内的不定积分，记为,F（z）

7、+C 这里f(z)为被积函数，z为积分变量。 不定积分的性质： = =K 复变函数的定积分 复变函数的定积分依然是以黎曼和的形式定义的。 函数=f(z)定义在区域D内，C为区域D内的起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点位A=z0,z1, zk-1,zkzn=B,每个弧段(k=1、2n)上任取一点k作和式Sn=·(zk-zk-1)=·zk 记=maxsk,(sk为)，当n无限增加，且 0时，如果不论C的分法及的取法，Sn有唯一极限，那么称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记为= 复变函数定积分的性质： =- ； =K（K为常数） = ;

8、 设曲线C的长度为L，函数f(z)在C上满足 f(z)M,那么ML =+,其中L由L1和L2组成。 复变函数的柯西定理（柯西积分定理） 定义：f(z)在Z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条周线，则=0 另外由柯西定理可知如果函数f(z)是单连通区域上的解析函数，则有以下性质： 若C是D内连接两点z0及z的一条简单曲线，那么沿曲线C的积分的值不依赖于曲线C，而只由z0及z决定。 固定z0,而z在D内任意取值，上述积分所确定的函数 F（z）=在D被解析，且(z)=f(z) 若（z）为f(z)在区域D内的原函数，那么（z）-（z0） 这里z0,z为D内的点。 复变函数积分的计算 定义法，利

9、用黎曼和式的极限来计算 ) 利用复变函数积分与坐标曲线的联系 =+i 利用柯西积分定理=0 但须满足以下三条件之一 C为单连通区域D内的周线或复周线，f(z)在D内解析 f(z)在=C+D上解析，C为单连通区域D的边界 f(z)在单连通区域D内解析，在=C+D上连续 利用柯西积分公式（积分曲线须满足上述三条件之一） =2 参数方程法， 如可求得被积曲线的参数方程，如C：Z=Z（t）t, =(t)dt 利用复变函数的导数公式(满足上述条件之一) = 实变函数的微积分性质及与复变函数微积分的比较 实变函数导数的定义及性质 设函数y=f(x)在x0的某个邻域U（x0）内有定义，当自变量x在x0处取得

10、增量时，相应地函数y取得增量=f(x0+)-f(x0)，如果极限 = 存在，则称函数y=f(z)在点x0处可导。记为 实变函数的微分 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U（x0）内有定义， x0+在U（x0）内，如果f(x0)在点x0处的增量可以表示为 其中A与无关，是的高阶无穷小量，则称函数y=f(x)在x0处是可微的，且称为函数y=f(x)在x0处的微分，记为dy。 实变函数微分与导数的关系 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是f(x)在点x0可导，且有dy=区别 ：由此可以看出复变函数与实变函数关于导数概念的叙述是相似的，即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数，它们的

11、联系也是密切的，区别则是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值，实变函数在实数域内取值，但两种微分的几何意义是相同的。 对于微分的性质，实变函数与复变函数有以下三大点的不同： 微分中值定理 微分种植定理是微分学的重要内容，表现形式一般为罗尔中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在复数域中是不成立的。 解析函数零点的孤立性 区域D内点点可微的复变函数成为区域D内的解析函数。在复变函数论中，解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质则截然相反。 解析函数的无穷可微性 在复变函数中，若f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内具有各阶导数，并且它们也在区域D内解析。复变函数的这一性质称为解

12、析函数的无穷可微性。 实变函数中区间上的可微函数，是不一定具有二阶导数的，更谈不上具有高阶导数，这样的例子是很多的。 实变函数的不定积分 设F（x）是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数F(x)+C (C为任意的常数)称为f(x)的不定积分，记作,即 =F（x）+ C 实变函数不定积分的相关性质 =f(x)或df(x)dx=f(x)dx; =F(x)+C； =+ 其中为任意常数。 不定积分的计算方法 1，第一类换元法；2，第二类换元法 实变函数的定积分 设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入n-1个分点，a=x0x1x2xn=b,把区间a,b分成n个小区间 x0,x1,x1,

13、x2 xn-1,xn,个小区间的长度依次为=x1-x0， =x2-x1, ,= xn- xn-1,在每个小区间上任取一点，做乘积f()(i=1,2, ,n)，再作和式S= ，记=max, , ，如果不论a,b怎样分法，也不论xi-1,xi上点 怎样取法，当0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记做 =I,其中f(x)叫做被积函数， 叫做被积表达式，x叫做积分变量，a、b分别是积分上下限。 区别： 复变函数积分性质与实变函数积分性质的区别 复变函数积分的定义类似数学分析里积分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取极限等步骤来建立的，但形式像一元

14、积分，而实质像曲线积分，也就是复变函数的积分在本质上与实变函数中第一类曲线积分相似。 复变函数积分的牛顿莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿莱布尼兹公式在形式和结果上几乎是完全一致，但实一元函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求要低得多。用牛顿莱布尼兹公式计算复变函数积分，首先要解决的是，积分上下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数f（z）是否在该单连通域内解析。 复变函数与实变函数积分最大的不同之处是复变函数积分主要研究简单闭曲线上的积分f（z）dz，方法不同于高等数学中的方法，但思想有相同之处。复合闭路定理或留数定理，表达了边界与内部的联系，在高等数学中的牛顿莱布尼兹公式、格

15、林公式、高斯公式同样表达了边界与内部的联系。 复变函数微积分理论在实际中的应用 复变函数论的方法在力学、物理学、以及工程技术中都有应用，就是把流体力学、弹性力学、电磁学、热学、电工以及通讯中的一些问题转化为复变函数中的一些问题，用解析函数来解决。而计算一些实积分可以采用留数定理。 利用复变函数的微分性质研究平面向量场的相关问题 以静电场为例。我们知道场内没有其他物体带电的平面静电场既是无源场也是无旋场。我们可以利用复变函数中的解析函数来构造场E的复势。 因为E为无源场，所以divE= + ，从而我们知道在B内-dx+dy是某二元函数u(x,y)的全微分，即d u(x,y)= -dx+dy,由于

16、等值线u(x,y)=c1上任意一点的电场强度E的方向与等值线在该点处的切线方向相同，等值线就是向量线，也是场E的电力线，。因此称u(x,y)为该场的力函数。又因为场E为无旋场，所以-=0。所以可以知道在B内-dx+dy也是某二元函数v(x,y)的全微分，即d v(x,y)= -dx+dy。所以v(x,y)是场E的势函数，等势值v(x,y)=c2就是等势线。 综上所述，如果E是单连通区域B内的无源无旋场，那么u(x,y)与v(x,y)满足C.-R方程，并且它们具有连续偏导数。所以函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B内的一个解析函数，成为静电场E的复势。利用静电场的复势可以统一研究静电场的里函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。 复变函数积分的相关理论在流体力学中的应用把二维向量当做流场，对于不可压缩流体的平面稳定流动，设流体在z=x+iy平面上某一区域D内流动，流体的流速是v=vx+ivy。在D内任取一条光滑曲线AB，可以知道流体通过曲线AB的流量是 Q=QAB=ds=）·（dx-dy）= - 其中vx、vy、vn分别表示流体速度v=vx+ivt,沿x，y轴和法线方向的分量。 当AB为一条简单闭曲线C时， Q=Q