向量难题附加解析

1、2016年02月12日高中数学组卷一选择题（共4小题）1（2015天津校级一模）在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则23取到最大值时，2x+y的值为（）A1B1CD2（2015哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（）AB1C2D33（2014安庆三模）如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且=+，则ABP与ABC的面积之比等于（）ABCD4（2013重庆）在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是（）A（0，

2、B（，C（，D（，二填空题（共6小题）5（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为6（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=7（2014余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是8（2014韶关模拟）已知AD是ABC的中线，若A=120°，则的最小值是9（2010武昌区模拟）ABC的面积为1，P为ABC内一点，且，则BCP的面积为10（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5

3、，=3，=2，则的值是2016年02月12日MISAYA的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2015天津校级一模）在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则23取到最大值时，2x+y的值为（）A1B1CD【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半，从而得到S1=S=S2+S3由此结合基本不等式求最值，得到当23

4、取最大值时点P在EF的中点再由向量的加法的四边形法则，算出，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出2x+y的值【解答】解：由题意，可得EF是ABC的中位线，P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3由此可得23=当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立+=由向量的加法的四边形法则可得，两式相加，得由已知得根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y=综上所述，可得当23取到最大值时，2x+y的值为故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比2、3的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法

5、则和平面向量基本定理等知识，属于中档题2（2015哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（）AB1C2D3【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到=，由可得O分DE所成的比，从而得出的值【解答】解：，变为如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知故在正三角形ABC中，=，且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，故O点到底边AC的距离等于D到底边AC

6、的距离的三分之一，故=，=由得=故选A【点评】本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题3（2014安庆三模）如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且=+，则ABP与ABC的面积之比等于（）ABCD【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由ABP与ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到ABP的面积与ABC面积之比【解答】解：连接CP并延长交AB于

7、D，P、C、D三点共线，=+，且+=1设 =k，结合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得=，k=3且=，=+，可得=，ABP的面积与ABC有相同的底边AB高的比等于|与|之比ABP的面积与ABC面积之比为，故选：C【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比4（2013重庆）在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是（）A（0，B（，C（，D（，【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】压轴题；平面向量及应用【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量

8、模的计算公式，即可得到结论【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故选D【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题二填空题（共6小题）5（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5【考点】向量的模菁优网版权所有

9、【专题】平面向量及应用【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0ba）则=（2，b），=（1，ab），=（5，3a4b）=5故答案为5【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力6（2012湖南）

10、如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=18【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=|cosPAO可求【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AOAPBD，AP=3，在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|×cosOAP=2|=6，由向量的数量积的定义可知，=|cosPAO=3×6=18故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：AC×c

11、osOAP=2×AOcosOAP=2AP7（2014余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是0，16【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C（2，4），D（2，4），P（2cos，2sin），得到、坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得=1616sin，再结合0，不难得到的取值范围【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，（y0），C（2，4），D（2，4）因此设P（2

12、cos，2sin），0，=（22cos，42sin），=（22cos，42sin），由此可得=（22cos）（22cos）+（42sin）（42sin）=4cos24+1616sin+4sin2=1616sin化简得=1616sin0，sin0，1当=0或时，取最大值为16；当=时，取最小值为0由此可得的取值范围是0，16故答案为：0，16【点评】本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题8（2014韶关模拟）已知AD是ABC的中线，若A=120°，则的最小值是1【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【

13、专题】压轴题；平面向量及应用【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值【解答】解：=|cosA，A=120°，（7分）|=4（8分）=（ +），|2=（|2+|2+2 ）=（|2+|24）（2|4）=1（10分）min=1（12分）故答案为：1【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题9（2010武昌区模拟）ABC的面积为1，P为ABC内一点，且，则BCP的面积为【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】在ABC中，作出向量，由向量的几何意义，三角形的面积公式，且ABC的面积为1，可以求出BCP的面积【解答】解：如图，在ABC中，作出，平移，其中，ABC的面积为：S=sinA=1，而ADE，CEP，平行四边形BDEP的面积和为：=|sinA+=，所以BCP的面积为：1=本题也可以通过左移点P：个单位，下移个单位，到点A知BCP边BC上的高h2是ABC边BC上的高h1的，即BCP的面积是ABC的故答案为：【点评】本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积10（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=