云南师范大学数学学院

1、云南师范大学数学学院教师周教学方案课程名称：高等几何任课教师：朱维宗教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第一周第一章：仿射几何学的基本概念第1.1节第1.1节教学方案1.教学内容：（1）绪言（2课时）（2）1.1平行射影与仿射对应（3）仿射不变性与仿射不变量（定理1-定理4）2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（1）高等几何学研究的主要内容、方法及射影几何的意义。（2）平行射影的概念、几何特征；仿射对应的概念、不变元素与性质。（3）仿射不变性与仿射不变量的概念及主要结论。教学逻辑关系分析：根据高等几何的结构以及高等几何的抽象性、形式化较高的特点，教学基本方式采用格式塔教学理论较好。所谓

2、格式塔教学理论是对每章、每节先介绍教材设计的整体特点、主要内容，以及各部分的逻辑联系；再将内容细化，详细讲解难重点及结构特点；最后进行总结。让学生对学习情况整体及各部分内容有了较好了解后，“顿悟”教学内容。教材第一章将欧氏几何利用仿射变换（对应）扩张到仿射几何，重点是仿射对应的概念、性质、不变性与不变量，其教学对同学学习射影几何至关重要，在教学过程中将向同学介绍“类比学习”，以期取得较好的效果。3.日期： 2005年 2 月 24日2 月 24日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年2月24日章节名称绪言教学关键点（1）高等几何研究的主要内容、基本方法及学习高等几何的意义（2）几何变换教

3、学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）爱尔兰根纲领与几何学欧氏几何的研究特点：变换 ：平移、旋转、反射不变量 ：距离、角度基本元素 ：点研究对象 ：点直线（线段、射线） 三角形（凸）四边形多边形圆圆锥曲线仿射几何的研究特点：变换 ：仿射（平行射影链）不变量 ：共线三点的简比、平行线段的比、图形面积的比基本元素 ：点、无穷远点研究对象 ：与同素性、综合性、简比有关的命题射影几何的研究特点：变换 ：射影（中心射影链）不变量 ：共线四点（共点四线）的交比基本元素 ：点、直线研究对象 ：与结合性、交比有关的命题教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第二周第一章：仿射几何学的

4、基本概念第1.2节第1.4节教学方案1.教学内容：（1）仿射不变性与仿射不变量（定理5） （2）平面到自身的透视仿射 （3）平面内的一般仿射2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（1）图形面积的比是仿射量。（2）平面内的透视仿射由对应轴与其外一对对应点完全决定。（3）平面仿射几何基本定理。教学逻辑关系分析：本周教学的关键是介绍射影几何处理几何问题的方法。在1.2节定理5的证明中，关键是介绍教材处理的技巧：“程序教学法”。即将教材分成具有逻辑联系的小块，对每块进行强化处理。1.3节教学的关键是：教材为何先证明平面到自身的透视仿射？这是逻辑上的需求，需先证明透视仿射的存在，再讨论透视仿射的确定

5、才有意义。1.4节教学的关键仍旧是“存在性”与“惟一性”的问题。同时，平面仿射几何基本定理的处理，仍旧采用程序教学法，以体现知识的产生是由局部累积到整体的过程。本周教学的要求应该是让学生逐步领悟射影几何中“综合法”处理问题的思路、方法和步骤。3.日期： 2005年 3 月 3日3 月 4日教师教学周日记课程名称高等几何日期2004年3月3日章节名称1.2：仿射不变性与不变量教学关键点定理与证明的思路分析教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）定理1.5.在仿射变换下，任何一对对应三角形面积之比是仿射不变量。证明分析：1设T是一透视仿射。先证一个引理：在透视仿射下，任

6、何一对对应点到对应轴距离之比是一个常数。即方法：设f、g是两个函数，若对任意的独立变量x、y，有故证2设T是仿射教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第三周第一章：仿射几何学的基本概念 第二章：欧氏平面的拓广第1.5节第2.1节教学方案1.教学内容： （1）平面仿射变换式 （2）仿射变换式的应用 （3）中心投影（透视）与理想元素2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： （1）平面仿射变换式的推导； （2）平面仿射变换式的应用； （3）中心投影的概念与理想元素的引出，以及引出理想元素后几何直观性及观念的改变。教学逻辑关系分析： 本周教学将结束第一章并引入第二章.在1.5节教学中重点解决两个问题

7、：几何变换在几何方法上由作图体现，而在代数方法上则需先建立坐标系，再由向量的概念导出代数表达式.仿射变换式的应用，并由此看出射影几何中“综合法”与“代数式”的结合是解决问题的钥匙。2.1节是一节观念课，为了保留映射的完备性，需约定两平行线交于“理想点”，两平行平面交于“理想线”。正是由于理想元素的导入，改变了欧氏几何的结构。若2.1节讲授得好，同学们能较好的领会“公理化”的思想及“公理化”对数学的意义。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（四）周第二章：欧式平面的拓广第2.2节第2.4节：齐次坐标；对偶原理；复元素教学方案1.教学内容： （1）

8、齐次坐标；（2）对偶原理；（3）复元素2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： （1）齐次坐标，点坐标与线坐标；（2）对偶原理（含对偶元素，对偶图形，射影命题及对偶命题）； （3）复元素及其性质。教学逻辑关系分析： 本周教学内容仍属于“射影观念”的建立。教学各内容的逻辑关系为：缺一部分其中，学生较难接受的概念是“线坐标”，“射影命题”，“虚圆点”。学生不适应的问题是：（1）作对偶图形；（2）叙述已知的射影命题的对偶命题。教学上的对应措施是：(1) 扣紧概念（尤其是点线的结合性）；(2) 较多的范例讲解，概括性的方法介绍。3.日期： 2005年 3 月 17日 18日教师教学周日记课程名称高等

9、几何日期2005年3月18日章节名称第二章：欧式平面的拓广 第2.2节第2.4节教学关键点（1） 齐次坐标，点坐标与线坐标，点几何学与线几何学；（2） 对偶原理：作已知图形的对偶图形；叙述已知射影命题的对偶命题。 （3）虚圆点。教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）（1）介绍教材P.26 EX2.17，引出虚圆点和（2）提出问题，两个椭圆相交最多有四个交点，两个圆相交，最多只有两个交点，为什么？缺图（3）圆是椭圆的特例，两个圆相交仍为四个交点，两实，两虚（虚圆点）（4）由此概括： “实”与“虚”在几何直观上的差别；（联系实曲线与虚曲线）由于射影平面（射影与观念）中

10、没有度量的概念，无穷远元素，事实上脱离了距离，伸手可及。数学概念是逐级抽象的。在高等数学中，学习者更应重视从已知数学问题中进一步抽象、概括出新的概念；数学概念（观念）的严谨性更多的是建立在逻辑的基础上，建立在公理体系上，而不依赖于直观性。引发“认知冲突”是建构概念（观念）的常见途径。教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（五）周第（三）章：一维射影几何学第（3.1）节第（3.2）节：平面内的一维基本图形：点列和线束， 点列的交比教学方案1.教学内容： （1）平面内的一维基本图形：点列和线束（2）点列的交比 概念； 性质； 计算。2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： （1）一维几何流形及

11、其表示；（2）点列的交比（概念、性质、计算）； （3）调和点列。教学逻辑关系分析： 经过第一章和第二章的准备，从本周起讲授射影几何，前两周的准备和铺垫主要有方法上的准备，观念上的准备、本周教学内容的逻辑关系是：缺图教学中的重点是点列的交比，它是射影几何中最重要的不变了，射影几何主要研究与结合性及交比有关的概念。为接受上的方便起见，先从“度量”上介绍“交比”，以后再脱离度量。3.日期： 2005年 3 月24日 25日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年3月25日章节名称第三章：一维射影几何学，3.2点列的交比教学关键点（1） 交比的概念（借助“度量”建立）；（2） 交比的计算（化归思想

12、的体现）；（3） 交比的性质；（4） 调和比。教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）交比的计算主要结论是教材P.29定理1和P.30定理2这两个定理的证明过程较好的体现了“化归”的思想。定理1.设取A和B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表达为： 则其证明的过程是（化归思想的具体化体现）： 将A、B两点的坐标非齐次化（目的是为了使用解析几何中的定比分割公式）； 利用一维几何流形中动点的表示方法写出C、D的坐标。 分别设点C、D分割线段AB的分割比为，利用解析几何中的定比分割公式计算出 利用交比计算=简比的比=分割比的相反数，得出结论。定理2.设点列上四点的齐次坐标为，

13、则其证明过程是：换底：通过坐标变换将A,B换为基底。 利用定理1得到结论。 这两个定理的证明过程较好的体现了“化归”的思想。 对证明思路的重点分析，有助于同学们领会数学证明的一个一般性方法：“转化”及“换元法”教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（六）周第（二）章：一维射影几何学第（3.3）节第（3.4）节：3.3线束的交比；3.4一维射影对应教学方案1.教学内容： （1）线束的交比；定义，计算，几何意义，调和线束（2）一维射影对应；定义，性质，一维射影几何基本定理2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： （1）线束交比的定义与计算；（2）调和线束及几何特征； （3）一维射影定义； （4

14、）一维射影对应的确定；（5）如何建立射影对应表达式。教学逻辑关系分析：（1）3.3节的教学，应向同学们介绍线束交比定义的两种方法：其一是教材上的方法，即用“化归思想”将线束的交比化归为点列的交比，类别点列的交比的计算得到线束交比的计算，最后介绍线束交比的几何意义，另一种方法以梅向明先生所编教材为代表，两相比较，教材上的方法更简明一些。（2）3.4节的教学，其关键是让同学理解一维基本图形成射影对应的概念及其等价的条件，由此推导一维射影几何基本定理，在介绍射影对应式的求法。（缺小字部分） 3.日期： 2005年 3 月 31日 4月1日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年4月1日章节名称3

15、.4一维射影对应教学关键点（1） 两个一维几何基本图形成射影对应的定义；（2） 的两个等价的充要条件；（3） 一维射影几何基本定理；（4） 一维射影对应的求法。教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）为了让同学们加深对一维射影几何基本定理的理解以及为3.6节作铺垫，设计如下4个例题形成一个“链”。例1. 试证：一维几何图形的任意三个互异元素的参数值总可给以数值1，0，。例2. 可以选择特殊参数（由例1，即1，0，）以简化一维射影对应的表达式。例3. （Hesse定理）一直线上有三个给定的点A,B,C，考虑这直线上这样一个射影对应：它将求射影对应表达式并证明，这个射影

16、对应两个自对应点互异。【注】Hesse定理中的射影表达式即教材中的习题3.15，此定理表述上更深刻一些。例4. 是一直线上射影变换的三对对应点，设P是这直线上的任一点，且和又是两对对应点，求证：也是一对对应点。以上例题均选自朱德祥先生在20世纪80年代所做的专题讲座，这给我以启示：备课是一件既艰苦又充满艺术性的工作。一个好教师既要有过硬的学术水平，又要对教学技艺深入钻研，以达到两者和谐统一。要做一个好教师，他必须是一个有心人，必须作认真，艰苦的累积，以及必要的反思。学院要求每位老师认真做好教学周记，是教师自我培训中重要的一环。教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（七）周第（二）章：一维射影

17、几何学第（3.5）节第（3.6）节：§3.5透视对应 §3.6对合对应教学方案1.教学内容： （1）透视对应的定义； （2）透视的几何特征与判定（3）射影对应的分解与射影对应的作图 （4）交比的作图（5）射影对应的分类（6）对合的定义2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： （1）透视的几何特征与判定 （2）射影对应的作图（3）射影对应的分类 （4）对合的定义教学逻辑关系分析：（1）§3.5是第三章中的一个重点环节。从一维射影几何研究的方法看，主要有“代数法”，其工具是“交比”和“一维射影对应式”。另一个方法为“综合法”，即将射影分解为有限回透视之积，再利用透视

18、的几何特征解决问题。§3.5节为“综合法”奠定基础，其应用将在第四章、第六章有重点体现。（2）射影对应的作图，一方面是“几何”变换的具体体现，另一方面体现“几何作图”的内涵存在性（3）对合也是一种特殊的射影对应，其实质是几何变换中的反演。对合的研究，使射影几何的内容丰富而富有数学情趣。（4）利用一维射影对应的自对应点是实点还是虚点，是两个相异实点还是两个重合的实点，将射影对应分为双曲型、抛物型、椭圆型，反映了数学上的一种分类方法，下接“解析几何”，上联数学其他分支，如偏微分方程，其涵义很深刻。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年4

19、月8日章节名称第三章§3.6对合对应教学关键点（1） 一维射影对应的分类；（2） 对合； 定义，性质，方程教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）在介绍对合概念之前，先介绍一维射影对应的分类。为此，需对一元二次方程及解作一个必要的拓广。在中学数学中，一元二次方程要加深一个重要的限制条件：。中学教材上的解释限于观念是不够深刻的。在射影几何中，由于是数，可得到如下结论：由于方程的两个根互为倒数，因此： 当时，方程有一个实根和一个无穷根 当时，方程有一个实根和一个无穷根 当时，方程有一个实根和一个无穷根 （此种方程在中学中称为矛盾方程，无根） 当时，方程有一个实

20、根和一个无穷根结论：当不全为0时，一元二次方程有且只有两个根。启示：数的拓展，导致数学研究更为深刻化，更能揭示事物间的内在联系；无穷根的出现，可将二次曲线的渐近线定义为与二次曲线相切于无穷远处的直线。它比“解析几何”、“数学分析”中的定义更为深刻，且可由此对二阶曲线进行分类。教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（八）周第（三）章：一维射影几何学 第四章 代沙格定理、四点形与四线形第（3.6）节第（4.1）节：§3.6对合对应；§4.1代沙格三角形定理教学方案1.教学内容：（1）有关对合的一些例题（2）第三章总结（3）Desargues三角形定理Desargues三角形定

21、理及对偶定理对偶定理的证明应用2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（1）对合定义：s为对合（恒同变换），的应用（2）射影对应间的关系（3）一维射影几何的研究方法（4）Desargues三角形定理的证明及应用教学逻辑关系分析：（1）本周教学将结束第三章，开始第四章。 结束第三章的教学，进行一次总结，关键是让学生明白两点：一维射影对应的关系是：（要补充）透视 射影 对合交比（射影量）一维射影对应式一位射影一维射影几何研究的方法：代数工具几何工具：将射影分解为有限个透视之积，再利用透视的几何特征。（2）第四章 从结构上讲，属于一维射影几何的应用，它包含三个内容： Desargues三角形定理透

22、视及其应用；完全四点形与完全四线形调和比脱离度量的定义；巴卜斯定理及应用 一维射影几何中综合法的体现3日期： 2005年4月14日15日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年4月15日章节名称第四章 Desargues三角形定理教学关键点（1）Desargues三角形定理及对偶定理，几何特征。（2）Desargues三角形对偶定理的证明（3）Desargues三角形定理及对偶定理应用 射影几何中的应用 ；初等几何中的应用教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）Desargues对偶定理的证法2.一般，证明逆命题的证法有三种（见初等几何研究§1.4，P

23、.10）1 直接证明逆命题，即将原命题的证明过程反其道而行之。2证明否命题（因为否命题与逆命题等价）3 利用原命题本身证逆命题。下面采用方法3证Desargues对偶定理：设在两个三角形和中，由于对应顶点的连线共点于R，则依Desargues定理，其对应边的交点，共线，即直线过点，亦即三点共线。本证法一是比较简单，二是能于初等几何有关内容联系，体现综合法的优点。如图：教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十）周第（四）章：代沙格定理、四点形与四线形第（4.2）节第（4.3）节：§4.2完全四点形与完全四线形 §4.3巴卜斯定理教学方案1.教学内容：(1)平面形与平面构形

24、(2) 完全四点形与完全四线形调和性质 调和比的作图 代沙格对合定理与对合的作图(3)巴卜斯定理及其证明和应用2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：(1) 完全四点形与完全四线形调和性质及调和比的作图代沙格对合定理与对合的作图(2)巴卜斯定理及其证明教学逻辑关系分析：本周教学将结束第四章,教学内容简单逻辑关系是：构形简单形完全形（1）平面形 完全四点形四线形 调和性质调和比的作图（2）完全四点形代沙格对合定理对合的作图(3) 巴卜斯定理证明应用（4）完全四点形与完全四线形调和性质的证明，代沙格对合定理的证明，巴卜斯定理证明典型地应用了§3.5中的方法将射影分解为透视。此外，第四调

25、和元素的作图，使“交比”脱离了“度量”。因此，第四章教学内容实质上是一维射影几何学的应用。3.日期： 2005年 4月 21日 4月22日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年4月21日章节名称第（四）章：§4.2完全四点形与完全四线形教学关键点（1）完全四点形与完全四线形（2）调和性质与第四调和元素的作图（3）代沙格对合定理及对合的作图教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）完全四线形的调和性质是很深刻的，完全四点形的调和性质由其引出，下面举个例，以加深同学们对完全四线形的调和性质的理解。例:设ABCD是梯形，E是两腰所在直线的交点，过两对角线的交

26、点G引底边的平行线与AD 相交与，求证：（AD，EF）=-1分析：（1）解决本例，要求同学有较好的观察能力，要能看出EDGC是一个完全四线形。（2）连接EG,分别与梯形两底交于点H和I，则EI是完全四线形的一条对角线，由完全四线形的调和性质，有（IH，EG）=-1（3）由BAGF,以作透视心，则（）IHEG = ADEF（补充符号）这样（AD，EF）=(IH,EG)=-1如图：教师教学周日记课程名称AIBEDFCHG教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十一）周第（五）章：射影坐标系和射影变换第（5.1）节第（5.3）节：§5.1一维射影坐标系 §5.2平面内的射影坐标

27、系 §5.3射影坐标的特例教学方案1.教学内容：（1）射影几何学的结构（2）一维射影坐标系（3）平面内的射影坐标系（4）射影坐标的特例2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（1）一维射影坐标系（2）平面内的射影坐标系教学逻辑关系分析：本周开始讲授第五章。教学内容是射影坐标系。射影几何研究的方法有综合法和代数法，射影坐标系是代数法的基础。一维射影坐标系本属一维射影几何的内容，将其放在第五章是为了给讲二维射影坐标系做一个铺垫。在第三章中，定义一维射影变换是这样进行的：A：这个定义是借用了函数的概念。而几何中更普遍的方法是，在 A,B中分别建立射影坐标系，推导射影变换公式给予新的解释，

28、得到射影变换式。§5.1正是这样处理的。以形成对二维射影变换式建立的迁移。由于射影平面上增加了一条无穷远线，使得二维射影坐标系成为一个三角形，其中点的射影坐标既有度量定义，也利用了交比、点的符号及象限与平面上的坐标系大不一样，但平面坐标系(欧氏平面)却又是射影坐标系的特例。从这个意义上讲，欧氏几何确定是射影几何的子几何。 3.日期： 2005年 4月 28日 29日，5月8日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年4月28日章节名称第五章 §5.1一维射影坐标系教学关键点（1）射影几何学的结构（2）一维射影坐标系教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课

29、堂表现等） 通过前四章的教学，同学们已经对射影几何有了一定的了解。为了便于同学更好的理解教材，在第五章开始时，介绍射影几何的结构。（图表ppt上有）教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十二）周第（五）章：射影坐标系和射影变换第（5.4 ）节第（5.5 ）节：§ 5.4坐标转换 §5.5射影变换教学方案1.教学内容：（1）二维射影坐标变换（2）射影变换点到点的；线到线的。 2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（1）二维射影坐标变换的推导，（在方法上与5.1形成类比）（2）线到线的射影变换的推导。教学逻辑关系分析：本周教学内容有如下的逻辑关系：推导射影坐标变换公式：

30、赋予上式新的几何解释，即点到点的射影变换。从点到点的逆变换公式诱导出线到线的射影变换：在二维射影变换的基础上展开二维射影几何的研究。3、日期：2005年5月12日5月13日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年5月12日章节名称第 五 章 §5.4坐标转换教学关键点（1）一点P 的笛氏坐标（x,y,t）与射影坐标间的坐标变换式。（2）一点P的两种射影坐标，间的坐标变换式。教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）§5.4的主要作用是为§5.5推导射影变换作准备。为了让同学对点到点的射影变换诱导线到线的射影变换有更好的了解，在

31、7;5.4中补充如下一个例题。例 已知射影坐标变换为： 略解：对前者，解线性方程组即得新坐标（8，5，-4）。对后者，将射影变换式代入直线方程得教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十三）周第（五）章：射影坐标系和射影变换第（5.6）节第（ 5.7）节：§5.6二维射影几何基本定理 §5.7射影变换的二重元素教学方案1.教学内容：（1） 二维射影几何基本定理；(2) 四点的交比在二维射影变换下不变；（3）二重元素；（4）二重元素的求法。2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：（）教材79引理的证明（）二维射影几何基本定理及证明（）教材82引理的证明（）二重元素及其求法

32、。教学逻辑关系分析：（）§5.6节教学内容间的关系是：（猜测）引理：（补充点）存在性唯一性系定理二维射影几何基本定理：（）§5.7节与高等代数第七章§（北大版）关系密切。教学时可先复习“方阵的特征值与特征向量”。在此基础上推导求二重元素的方法和步骤，最后举例。求固定元素是第五章中一个重要内容。3、日期：2005年5月19日5月20教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年5月19日章节名称第五章 §5.6二维射影几何基本定理 教学关键点）教材79引理的证明（）二维射影几何基本定理及证明（）教材82引理的证明教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学

33、得失及学生课堂表现等）教材79引理的证明是一个难点，归纳其思路和方法如下：1 射影变换为：T：为求出此射影变换，只需求出9个系数2 变形P80（1）式，得3 将上式回代（1）式（P80）并置，可得教材P80（2）式（2）式得证了T的存在性，至于唯一性由克莱姆法则得证。4验证 教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十四）周第（五）章：射影坐标系和射影变换第（5.8 ）节第（5.11）节： 5.8射影变换的特例 5.9 变换群 5.11 变换群的例证 5.11 变换群与几何学教学方案1.教学内容：（1）射影变换的特例 （2）变换群 （3）变换群与几何学2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：

34、（1）射影变换的特例：仿射变换、相似变换、正交变换、（2）变换群 （3）变换群与几何学F克莱因观点教学逻辑关系分析：（补充(1)）(1)(2)给出变换群的概念，验证上述射影变换分别构成群，记作K，A，S，M。其关系是。(3）在(2)的基础上，介绍变换群与几何学的关系:对于给定的空间S，G是S的一切一一变换的集合，研究图形关于G的不变性质、不变量、以及关于图形的分类，称为空间S上群G的附属的几何学。 在一个变换群，就有一个附属于该群的一种几何学。3、日期：2005年5月26日27日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年5月28日章节名称第 五 章5.10变换群的例证 5.11 变换群与几何

35、学教学关键点(1)射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M（2）变换群与几何学教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）1872年F.克莱因在Erlangen大学宣读了大家叫做Erlangen纲领的演说，在这篇论文中它总结了射影、仿射以及其他几何的发展结果，明确表述了构成这些几何的普遍原则：可以考虑空间一一变换的任何一个群，而且研究在这个群的一切变换下保留不变的图形性质。F.克莱因的观点其意义在于：1 使各种几何学化为统一的形式，同时又明确了各种几何学所研究的对象。2 它给出了建立抽象空间所对应的几何学的一种方法，对以后几何的发展起了指导性的的作用。 教材P91关于射影

36、几何、仿射几何、欧氏几何的比较表很好的指明了这三种几何之间的关系。教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十五）周第（六）章：二次曲线的射影理论第（ 6.1）节第（6.2）节：§6.1二阶曲线与二级曲线 §6.2 二次曲线的射影定义教学方案1.教学内容：（1）二阶曲线与二级曲线的概念 （2）二阶曲线与二级曲线的性质及它们的关系（3）二次曲线的射影定义2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点：(1)二阶曲线与二级曲线的概念 、性质及相关关系（2）二次曲线的射影定义教学逻辑关系分析：本周教学内容既是解析几何中关于二次曲线有关内容的延伸，又是高等代数中二次型的具体化。教学中要注

37、意这两部分内容的衔接，同时突出“射影法”。由于射影几何有“点几何”和“线几何”之分，所以二次曲线分为二阶曲线（点素二次曲线）与二级曲线（线素二次曲线）。教材中先用代数方法定义二阶曲线，再对偶地得到二级曲线，他们之间的关系既是对偶的，又是切点与切线的关系。教材P98定理对此作了很好的概括。§6.2中 ，教材用射影方法定义了二阶曲线与二级曲线 。并由射影（非透视）和透视定义了常态曲线和变态曲线。在本周教学中可以体现出代数方法和射影方法在研究二次型问题上的作用，让同学领略数学思想的深刻性和数学方法的精妙。3、日期：2005年6月2日6月3日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年6月2

38、日章节名称第 六 章 §6.1二阶曲线与二级曲线 教学关键点（1）二阶曲线与二级曲线的概念 （2）二阶曲线与二级曲线的性质（3）二阶曲线与二级曲线的关系教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）为了同学能更好的理解二阶曲线的射影定义，补充如下一个例题：例1 求由两个射影线束与（+=1)生成的二阶曲线方程. 解 由 解得 由 解得将其代入：+=1中，得 （*）等式两端同乘以得：此即所求的二次曲线的方程，它代表两条直线:一般情况下，化简（*）式只会乘，这样将漏掉一个解：（无穷远线）。本例为何会出现这种情况？其原因是一维射影对应+=1是透视。两个射影线束成透视时，

39、二阶曲线退化为两相交直线甚至是两重合直线。教师周教学方案课程名称高等几何教学周数第（十六）周第（六）章：二次曲线的射影理论第（6.3）节：§6.3巴斯卡定理与布利安双定理教学方案1.教学内容：（1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安双定理及逆定理（3）巴斯卡定理与布利安双定理的特殊情形（4）两定理的应用2.教学关键点与教学逻辑关系分析：关键点： 1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安双定理及逆定理（3）两定理的特殊情形（4）应用教学逻辑关系分析：本周教学内容主要是介绍射影几何中两个重要定理巴斯卡定理与布利安双定理。它们互为对偶定理且逆定理成立。教学的重点是：(1)两个定理的结构及证明方法利用

40、射影及透视的几何特征。（2）两个定理的特殊情形。（3）两个定理在证明点共线与线共点方面的应用。（4）当二次曲线退化时（退化为两条相交直线或两个互异的点），它们成为巴斯卡定理及其对偶定理。3、日期：2005年6月9日6月10日教师教学周日记课程名称高等几何日期2005年6月9日章节名称第六章 §6.3巴斯卡定理与布利安双定理（第一次课）教学关键点（1）巴斯卡定理及证明（2）布利安双定理及其证明（3）两定理的特殊情形教学日记（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）为了让同学更好的理解这两个定理，教学时需作如下的补充：（1）巴斯卡定理发表于1640年，布利安双定理发表于

41、1806年，相距前者166年之久。两定理互为对偶定理且逆定理成立。6个点在一条二阶曲线上有60种排法（可翻面的环状排列），因此，一条二阶曲线决定60根巴斯卡线；一条二级曲线决定60个布利安双点。关于这60根巴斯卡线及60个布利安双点的位置特征是射影几何中尚未完全解决的问题。（2）六点（线）形是完全形，不论顶点在二次曲线上如何排列，边12与45，23与56，34与61成为三双对边；12与45，23与56，34与61是三双对顶。（3）对内接（外切）于二次曲线上的五点(线)形，四点(线)形，三点(线)形，要证明其对边交点(对顶的连线共线（点），且可运用巴氏定理与布氏定理，方法是:将顶点(边)顺次编号，若哪点为切点（哪条边与切点连线）,则重复编一次。（4）圆可看作特殊的二次曲线，故可用巴氏定理与布氏定理及其逆定理研究圆的内接（外切）六点(边)形，五点(边)形，四点(边)形，三点