不定积分的几何意义ppt课件

1、第五章第五章 不定积分不定积分1;.引引 言言积分学分积分学分为不定积分与定积分两部分为不定积分与定积分两部分不定积分是作为函数导数的不定积分是作为函数导数的反问题提出的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相两者概念不相同同，但在计算上却有着紧密的内在联系但在计算上却有着紧密的内在联系2;. 本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分法，变量置换法，以及分部积分法法，变量置换法，以及分部积分法. .3;.本章主要内容：本章主要内容：第一节第一节 原函数与原函数

2、与不定积分第二节第二节 凑微分法凑微分法第三节第三节 变量置换法变量置换法第四节第四节 分部积分法分部积分法4;.5.1.1 5.1.1 不定积分的概念不定积分的概念5.1.2 5.1.2 不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和 运算法则运算法则5;.在小学和中学我们学过逆运算在小学和中学我们学过逆运算：如：加法的逆运算为减法如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数指数的逆运算为对数不定积分的概念不定积分的概念问题提出问题提出6;.微分法微分法: :积分法积分法: :互逆运算互逆运算( ),fx设已知设已知设已知设已知反问题呢？反问题呢？( )(?)F

3、 x( ? )( )f x ( )F x( ),fx( )f x7;.定义定义 若在某一区间上，若在某一区间上，F(x) F(x) f(x) f(x) ，则在这个区间上，函数则在这个区间上，函数F F（x x）叫做函数）叫做函数f(x)f(x)的一个原函数（的一个原函数（primitive functionprimitive function）8;. 一个函数的原函数并不是唯一的，一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个比如，而是有无穷多个比如， (sinx)(sinx) cosxcosx 所以所以 sinx sinx 是是 cosx cosx 的一个原函数的一个原函数，而而sinx si

4、nx C C （C C 可以取任意多的常数）可以取任意多的常数）是是 cosx cosx 的无穷多个原函数的无穷多个原函数9;. 一般的，若一般的，若F(x)F(x)f(x),F(x)f(x),F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，则等式的一个原函数，则等式 F(x)+ CF(x)+ C F(x)F(x) f(x)f(x)成立（其中成立（其中 C C 为任意常数），从而一簇为任意常数），从而一簇曲线方程曲线方程 F(x) F(x) C C 是是f(x)f(x)无穷多个原函数无穷多个原函数10;.问题提出问题提出 如果一个函数一个函数f(x)f(x)在一个区间有一个在一个区间有一个原函数原函

5、数F(x) F(x) ，那么，那么f(x)f(x)就有无穷多个就有无穷多个原函数存在，无穷多个原函数是否都有原函数存在，无穷多个原函数是否都有一致的表达式一致的表达式F(x)F(x) C C呢？呢？11;.定理定理 若若 F(x)F(x)是是 f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的所有原函数都可以表示成的所有原函数都可以表示成 F(x)F(x) C C （C C为任意常数）为任意常数）12;.x x 称为积分变量称为积分变量f(x)f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式其中其中 称为积分号，称为积分号，C C 称

6、为积分常数称为积分常数定义定义 若若 F(x)F(x)是是 f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的所有原函数的所有原函数 F(x)F(x) C C 称为称为f(x)f(x)的的不定积分（不定积分（indefinite integralindefinite integral）, ,记为记为 f f（x x）dx dx F F（x x） C C 13;. 由于函数由于函数f(x)f(x)的不定积分的不定积分F(x)F(x)C C 中含有中含有任意常数任意常数C C ，因此对于每一个给定的，因此对于每一个给定的C C ，都有，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一一

7、个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为条确定的曲线，称为f(x)f(x)的积分曲线的积分曲线 因为因为C C 可以取任意值，因此不定积分表示可以取任意值，因此不定积分表示f(x)f(x)的一簇积分曲线，即的一簇积分曲线，即 F(x) F(x) C C 二二、不定积分的几何意义不定积分的几何意义14;. 因为因为F(x)F(x)f(x) f(x) ，这说明，在积分曲线，这说明，在积分曲线簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x xx x点处有相同的斜率点处有相同的斜率f(xf(x) )，所以对应于这些点处，所以对应于这些点处，它们的切线互相平行

8、，任意两条曲线的纵坐标之它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数因此，积分曲线簇间相差一个常数因此，积分曲线簇y y F(x)F(x)C C中每一条曲线都可以由曲线中每一条曲线都可以由曲线y yF(x)F(x)沿沿y y 轴方向轴方向上、下移动而得到上、下移动而得到二二、不定积分的几何意义不定积分的几何意义15;.二二、不定积分的几何意义不定积分的几何意义yxoyo0 xx16;.5.1.2 不定积分的基本公式和运算法则一一、不定积分的基本公式不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算不定积分就是微分运算的逆运算因此因此，有一个导

9、有一个导数或微分公式数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式就对应地有一个不定积分公式17;.(1)dk xkxC(2)dx x111xCd(3)xxlnxC18;.(4)sin dx xcosxC(5)cos dx xsin xC(6)dxaxlnxaCa(7)dxexxeC19;.(12)sec tan dxx xsec xc(13)csc cot dxx xcscxc20;.关于不定积分关于不定积分，还有如下等式成立还有如下等式成立： f(x)dx f(x) 或或 df(x)dx f(x)dx F(x)dx F(x) C 或或 dF(x) F(x) C21;.二、不定积分的运算法则二、不

10、定积分的运算法则 不为零的常数因子，可移动到积分号前不为零的常数因子，可移动到积分号前 af(x)dx af(x)dx af(x)dxaf(x)dx（aa） 两个函数的代数和的积分等于函数积分的两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和代数和 f(x)f(x)g(x)g(x)dxdxf(x)dxf(x)dxg(x)dxg(x)dx22;.小结小结: :本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。则。23;.练习Cxx tan2tan xdx22sincosxdxx2222sincoscoscosxxxdxx21cosdxdxxt

11、anx x C 24;.课堂思考课堂思考不对，例如不对，例如乘法乘法成立吗成立吗除法呢除法呢( )( )( )( ) f x g x dxf x dxg x dxf(x)g(x)x25;.利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难有时很困难，因此因此，需要引进一些方法和技巧。以下几节介绍几个常用积分法需要引进一些方法和技巧。以下几节介绍几个常用积分法. .26;. 第二节 凑微分法有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式

12、，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来求出不定积分来.27;.例如想到基本积分公式若令若令u ux x，把，把x x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来式算出来44411(4 )(4 )44xxxe dxe dxe dxuue dueC441(4 )4xxe dxe dx4111444uuxe dueCeC28;.例u=2x2cos(2 )cos(2 ) (2 )x dxx dxcossinuduuCsin(2 )xC

13、29;.则有换元公式则有换元公式设设有原函数有原函数( ),ux可导( )f u( ),F u ( )( )dfxxx ( )d ( )fxx( )xu()dfuu( )ux ( )FxC( )F uC30;.例例 求求解解：原式：原式=21xdx121 (21)2xdx321 2(21)2 3xC321(21)3xC31;.例例 求求解解：原式：原式=22 (0)dxaax111()2dxaaxax1122dxdxaaxaax1ln |2axCaax32;.例例 求求解解：原式：原式=cscxdx1sindxx2sinsinxdxx2cos1 cosdxx2coscos1dxx11 cosl

14、n |21 cosxCx1 cosln|ln|csccot |sinxCxxCx 33;.类似可得类似可得 1seccosxdxdxx()2sin()2d xxln |csc()cot()|22xxCln |sectan|xxC34;. 第三节第三节 变量置换法变量置换法凑微分的方法，是把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，凑微分的方法，是把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x x(t)(t)，而积分，而积分 f(x)dxf(x)dxf f(t)(t)(t)dt(t)dt

15、可用基本积分公式求解可用基本积分公式求解35;.定理设f(x)连续，x(t)是单调可导的连续函数，且其导数(t)，x(t)的反函数t-1(x)存在且可导，并且 f(t)(t)dtF(t) C则 f(x)dx F-1(x) C36;.解解: 令则则 原式22d (0).axxa22sin ,(, ),xatt 22222sinaxaatcosatdcos dxattcosat22cosdatt2aCsin22sin costttarcsinxa2212x axC22a2xa22axasin224tt37;.解解: 令则则 原式原式22d(0).xaxa22tan ,(,),xat t 22222

16、tanxaatasecat2dsecdxattsecat sec dtt1ln sectanttCln22lnxxaCd t2secat1C22xaaax38;.解解:令则 原式22d(0)xaxa,xa当时2sec ,(0, )xat t22222secxaatatanatdx sec tan dattt d tsec tanatttanatsec dtt1ln sectanttC1ln Cx22ln xxaCa22xaa22ax a39;.令于是,xa 当时,xu,u a则22dxxa22duua221ln uuaC221lnxxaC 2122lnaCxxa xa时，22dxxa22ln

17、xxaC22ln xxaC1(2ln )CCa40;.被积函数含有时, 或可采用三角代换消去根式 22xa22xa41;. 第四节第四节 分部积分法分部积分法 如果如果u uu(x)u(x)与与v vv(x)v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式 d(uv)d(uv)vduvduudv udv 移项得移项得 udvudvd(uv)d(uv)vduvdu从而从而 udvudvuvuvvdu vdu 或或udvudvuvuvvudxvudx这个公式叫作分部积分公式，当积分这个公式叫作分部积分公式，当积分udv udv 不易计算，而积分不易计算，而积分v

18、du vdu 比较容比较容易计算时，就可以使用这个公式易计算时，就可以使用这个公式42;.解解: 令则则 原式原式在计算方法熟练后在计算方法熟练后，分部积分法的替换过程分部积分法的替换过程可以省略可以省略cosd .xx x,uxcosdvxdx,dudxsinvxsinxxsindxxsincosxxxC43;.例例 求不定积分求不定积分解：原式解：原式2dxx ex22xxx ee dx2xx de22xxx exe dx22()xxxx exee dx222xxxx exeeC44;.解：原式arctand .xx x2arctand()2xx221d2 1xxx21arctan2xx2

19、11(1) d21xx21arctan2xx1(arctan )2xxC21arctan2xx45;.解解: :原式 =思考：如何求思考：如何求xxxndlnln dx xlnlnxxxdx1lnxxxdxxlnxxxCln dnxx x46;.结结: : 分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式：问题，例如这些形式：P(x)eax dx P(x)lnmxdx P(x)cosmxdx P(x)sinmxdx sinmxeaxdx 其中其中 m 为正整数为正整数，a 为常数为常数，P（x）为

20、多项式为多项式正确选取正确选取u(x)，v(x)，会使不定积分会使不定积分 v(x)du(x)v(x)u(x)dx 变得更加简单易求。变得更加简单易求。47;.第五节第五节 经济应用举例经济应用举例这一节主要介绍不定积分在经济学中的应用，即已知边际函数，求这一节主要介绍不定积分在经济学中的应用，即已知边际函数，求总经济量函数总经济量函数。5.5.15.5.1已知总产量的变化率，求总产量函数已知总产量的变化率，求总产量函数 已知某产品总产量关于时间的变化率为已知某产品总产量关于时间的变化率为( ),dQf tdt即即 ( )( )Q tf t 则该产品的总产量为则该产品的总产量为： ( )Qf

21、t dt(0)t 48;. 例例 某产品总产量的变化率是时间的函数某产品总产量的变化率是时间的函数： ( )410f tt(0),t 求总产量函数求总产量函数。49;.解：因为总产量函数是总产量变化率的原函数，所以解：因为总产量函数是总产量变化率的原函数，所以2( )(410)210Qf ttdtttC因为当时间因为当时间 0t 时时， 总产量总产量 0,Q 所以所以 0C 于是总产量函数为于是总产量函数为 2210Qtt50;.5.5.2 5.5.2 已知边际函数，求总经计量函数已知边际函数，求总经计量函数（1）已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为 ( ),MCC Q则该产品的成本函数为则该产品的成本函数为( )C QMCdQ(0)Q 51;. （2）已知某产品的边际收益为已知某产品的边际收益为 ( ),MRR Q则销售该产品的总收益函数为则销售该产品的总收益函数为( )R QMRdQ(0)Q 52;.（3）已知某产品的边际需求为已知某产品的边际需求为 ( )MQfP则该产品的需求量与价格的关系函数为则该产品的需求量与价格的关系函数为( )Q PMQdP(0)P 同样的方法还可以求平均成本函