等腰梯形的判定

1、 11 等腰梯形的判定 强立新 学习目标 1能说出和证明等腰梯形的判定定理 2能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算 3会画出符合条件的等腰梯形 重点 梯形的判定及应用 难点 解决梯形问题的基本方法 一、复 习 学习了梯形，并且研究了特殊的梯形等腰梯形的概念及其性质， （1）什么样的梯形是等腰梯形？ （2）等腰梯形有什么性质？ 想一想：你能说出等腰梯形性质的逆命题吗？要点一、梯形判定 1：“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗能否加以证明 初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理。梯形判定1：在同一底上的两个

2、角相等的梯形是等腰梯形如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=C. 求证：梯形ABCD是等腰梯形.证法一：如下图延长BA、CD相交于点E B=C，（三角形中等角对等边） BE=CE 四边形ABCD是梯形， ADBC EAD=B，EDA=C EAD=EDA（三角形中等角对等边） AE=DE BE-AE=CE-DE 即AB=CD， 梯形ABCD是等腰梯形证法二：如下图将CD平移到AE位置，此时四边形AECD是平行四边形 则AECD且AE=CD， AEB=C 又B=C， B=AEB AB=AE（三角形等角对等边） AB=CD， 因此梯形ABCD是等腰梯形证法三：如下图 作梯形ABCD的高AE、DF分别

3、交BC于E、F 梯形上、下底平行，即ADBC， AE=DF（夹在平行线间的垂线段相等） 又AEB=DFC=90°，B=C， ABEDCF AB=DC梯形ABCD是等腰梯形例1：（2013钦州）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形考点：等腰梯形的判定专题：证明题分析：由ABDE，DEC=C，易证得B=C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论解答：证明：ABDE，DEC=B，DEC=C，B=C，梯形ABCD是等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思

4、想的应用【变式练习1】如图，在梯形ABCD中，ADBC，A、C互补，梯形ABCD是等腰梯形吗？分析：要说明梯形ABCD是等腰梯形，则需找到同一底上的两个内角相等，由平行线的性质、同角的补角相等这两个性质可得到：B=C或A=D.从而可以得证. 【变式练习2】： 如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是BC的中点，EFAB于F，EGCD于G，且EF=EG。 求证：梯形ABCD是等腰梯形议一仪；“两条对角线相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？你能证明吗？梯形判定2：两条对角线相等的梯形是等腰梯形已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD求证：梯形ABCD是等腰梯形分析：证明本题的关键是如何利用对角

5、线相等的条件来构造等腰三角形在ABC和DCB中，已有两边对应相等，要能证1=2，就可通过证ABC DCB得到AB=DC证明：过点D作DEAC，交BC的延长线于点E，又 ADBC， 四边形ACED为平行四边形， DE=AC AC=BD ， DE=BD 1=E 2=E ， 1=2 又 AC=DB，BC=CB， ABCDCB AB=CD 梯形ABCD是等腰梯形说明：如果AC、BD交于点O，那么由1=2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路问：能否有其他证法，试着作出常见辅助线，如图，作AEBC，DFB

6、C，可证 RtBDFRtCAE，得1=2 我们由此得到等腰梯形的三种判定方法（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形定义证明等腰梯形例3：（2013普陀区二模）如图：已知，四边形ABCD是平行四边形，AEBD，交CD的延长线于点E，EFBC交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形考点：等腰梯形的判定；平行四边形的性质专题：证明题分析：首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB=DE，再根据平行四边形的性质可得CD=DE，再根据直角三角形的性质可证明DF=CD=DE，进而得到AB=DE，再说明线段AB与线段DF不平行即

7、可得到四边形ABFD是等腰梯形解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC；ABCD，AB=CD，ABDE；又AEBD，四边形ABDE是平行四边形AB=DECD=DEEFBC，DF=CD=DEAB=DFCD、DF交于点D，线段AB与线段DF不平行四边形ABFD是等腰梯形点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及等腰梯形的判定，关键是掌握两腰相等的梯形叫做等腰梯形【变式练习1】如图，直角梯形ABCD中，ADBC，DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，过点P作PEBC交AB于点E求证：四边形EBCP是等腰梯形 【答案】分析：首先过A作AMBC，垂足为M，可证

8、得四边形AMCD是矩形，继而可得AM是线段BC的垂直平分线，则可证得AEP=ABC=ACB=APE，即可得四边形EBCP是等腰梯形解答：证明：过A作AMBC，垂足为M，ADBC，DCB=90°，四边形AMCD是矩形，BC=2AD，AD=MC=BM，AM是线段BC的垂直平分线，AB=AC，又EPBC，AEP=ABC=ACB=APE，AE=AP，EB=PC，直线BE、PC相交于点A，EB不平行于PC，四边形EBCP是等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形例4：（2014独山县模拟）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD是对角线过点D作DEAC，交BC的延长线于点E若AC=DB，求证：梯形

9、ABCD是等腰梯形考点：等腰梯形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题：证明题分析：由平行四边形得出AC=DE，推出DE=DB，根据平行线的性质得到ACB=DBC，推出ABCDCB，得到AB=DC即可证明：ADBC，DEAC，四边形ACED是平行四边形即四边形ACED的形状是平行四边形，AC=DE，AC=DB，DE=DB，E=DBC，DEAC，E=ACB，ACB=DBC，又AC=DB，BC=CB，ABCDCB，AB=DC，梯形ABCD是等腰梯形点评：本题主要考查对等腰梯形的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判

10、定，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是证此题的关键，题目比较典型，难度适中【变式练习1】已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADBC，对角线AC=BD求证：四边形ABCD是等腰梯形 考点：等腰梯形的判定专题：证明题分析：过点D作DEAC，交BC延长线于点E，易证四边形ACED是平行四边形，由平行四边形的性质可得DE=AC=BD，进而求出DBE=DEB=ACB，根据全等三角形的判定方法即可证明ABCDCB，由此可得到AB=DC，问题得证解答：证明：过点D作DEAC，交BC延长线于点E，ADCE，DEAC，四边形ACED是平行四边形，DE=AC=BD，DBE=

11、DEB=ACB，在ABC和DCB中，ACDBACBDCBBCCB，ABCDCB（SAS），AB=DC，四边形ABCD是等腰梯形点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，题目的综合性较强，难度中等【变式练习2】（2011郴州）在梯形ABCD中，ADBC，且AD=DC，对角线BD平分ABC求证：梯形ABCD是一个等腰梯形考点：等腰梯形的判定；平行线的性质专题：证明题；压轴题分析：根据平行线的性质推出ADB=DBC，根据角平分线的性质推出ADB=ABD，得出AD=AB，求出AB=CD，即可推出答案解答：证明：ADBC，ADB=DBC，BD平分ABC，ABD=C

12、BD，ADB=ABD，AB=AD，AD=DC，AB=CD，四边形ABCD是梯形，梯形ABCD是等腰梯形点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰梯形的判定等知识点的理解和掌握，求出AB=CD是解此题的关键【变式练习3】（2013南充模拟）如图，四边形ABCD是矩形，将BCD沿BD折叠为BED，连接AE求证：四边形ABDE是等腰梯形；考点：等腰梯形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）专题：探究型分析：（1）先由矩形及折叠的性质得出ODB=OBD，则OB=OD，易得OA=OE，则在等腰OAE与等腰OBD中，有一对对顶角相等，可得OAE=ODB，证得AEBD，

13、又由AB=DE，则可得四边形ABDE是等腰梯形；（2）先根据RtBCD中BDC=60°，BC=6求出CD及BD的长，再由图形反折变换的性质得出CBD=DBK，故可得出ABK的度数，根据锐角三角函数的定义可求出AK的长度，由（1）可知四边形ABDE是等腰梯形，所以AK=EK，BK=DK，AKBBKD，根据相似三角形的对应边成比例即可求出AE的长解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ODB=DBC，OBD=DBC，ODB=OBD，OB=OD，AD=BC=BE，OA=OE，OAE=OEA，AOE=BOD，OAE=ODB，AEBD，AB=CD=DE，四边形ABDE是等腰梯形；【变

14、式练习4】：已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别为OA、OD中点求证：四边形BCFE为等腰梯形【答案】分析：由正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别为OA、OD中点，易证得EFBC，EFBC，即可得四边形BCFE为梯形，易证得BOECOF，则可得BE=CF，即可得四边形BCFE为等腰梯形解答：证明：四边形ABCD是正方形，ADBC，AD=BC，OA=OB=OC=OD，E、F分别为OA、OD中点，OE=OA，OF=OD，EFAD，EF=AD，OE=OF，EFBC，EF=BC，四边形BCFE是梯形，在BOE和COF中，BOECOF（SAS），BE=CF

15、，四边形BCFE为等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 研究了等腰梯形的判定方法后回答如图，四边形ABCD是由三个全等的正三角形围成的，它是等腰梯形吗？为什么？解：它是等腰梯形，理由是：由B+BAD=B+BAE+EAD=3×60°=180°，B+C=60°×2=120°得对边AD、BC平行，而对边AB、CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.又由于B、C都等于60°.则梯形ABCD是等腰梯形.由此可知：1.要判定一个四边形是等

16、腰梯形，一般是先判定这个四边形是梯形，然后再用定义，即“两腰相等的梯形”或“同一底上的两个内角相等”来判定它是等腰梯形.2.判定一个四边形是梯形时，要判定一组对边平行，而另一组对边不平行或判定一组对边平行但不相等.练一练 1四边形ABCD中，若ABCD2213，那么这个四边形是( )A梯形B等腰梯形C直角梯形D任意四边形2一等腰梯形上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为( )A8cm B9cmC. 7cm D8.5cm3下列命题中，真命题有 ( )有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点

17、连线，把梯形分成面积相等的两部分(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个要点三 课时小结 一、 等腰梯形的判定方法： （1）两腰相等（定义） （2）同底上的两个角相等（判定定理）（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形 （判定定理）等腰梯形的判定方法一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另两边不平行比较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明 二、梯形中常见的辅助线做法（如下图） 三、等腰梯形的判定 同步练习 1如图1，请写出等腰梯形ABCD（ADBC，AB=CD）特有而一般梯形不具备的3个特殊

18、性质：（1）_；（2）_；（3）_ (1) (2) (3)2如图2，在梯形ABCD中，ADBC若再加上一个条件：_，则可得到梯形ABCD是等腰梯形 3等腰梯形的一角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为（ ） A10 B20 C10 D204已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BDDC，且BD平分ABC，C=60°，求证：梯形ABCD是等腰梯形拓展与延伸 5若等腰梯形的三条边长分别为3、4、11，则这个等腰三角形的周长为（ ） A21 B29 C21或29 D21或22或296已知：如图，在梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，点E在边AB延长线上，且BE=DC求证：AC=CE 智力操 已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AEDC，BDAC，AE=12，BD=15，AC=20，求梯形ABCD的面积参考答案:1（1）A=D；（2）B=C；（3）AC=BD2AB=CD或ABC=DCB或