数学建模集训小题目

1、2015年武汉理工大学数学建模集训小题目1.（1）编写下列一元函数的函数M文件 要求输入变量可以取向量。（2）编写脚本M文件，要求调用上述函数文件作出函数在区间上图形。2. 已知如下两类曲线标准正态分布的概率密度曲线；四叶玫瑰线；（1）在同一个图形窗口画出上述两类曲线，并进行标注。（2）在同一个图形窗口内用subplot命令，分成1×2的子窗口，分别做出上述两类曲线，并为每个图形加上标题。3. 作出下列曲面的三维图形（1）；（2）环面：4.生成一个10个数据的随机向量，绘制对应的直方图，并把画出的图形保存为jpg文件。5. 分别用MATLAB和Lingo编程求解线性规划6. 分别用M

2、ATLAB和Lingo编程求解下列最小值问题，7. 先用解析方法求出方程组的精确解，再用LINGO软件解这个方程组，并与精确解进行比较，如何才能用LINGO求出这个方程组的所有解？8. 用LINGO编程，并将最终运算结果保存为文本文件。 9. 分别用MATLAB和Lingo求解： 其中是三对角线矩阵，主对角线上元素全为-1，两条次对角线上元素全为2。10. 甲、乙两个煤矿分别生产煤500万吨，供应A，B，C三个电厂发电需要，各电厂用量分别为300，300，400（万吨）。已知煤矿之间、煤矿与电厂之间以及各电厂之间相互距离（单位：公里）如表1，表2，表3中所示。又煤可以直接运达，也可经转运抵达，

3、试确定从煤矿到各电厂间煤的最优调运方案。 表1 两煤矿之间的距离甲乙甲0120乙1000表2 从两煤矿到三个电厂之间的距离ABC甲15012080乙6016040表3 三个电厂之间的距离ABCA070100B500120C100150011.编写求所有的“水仙花数”的Matlab程序。所谓的“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方之和等于该数本身，如。12. 求函数在附近的零点。13. 解方程组14. 已知实验数据如下：（1）设数据关系为，试用最小二乘法估计参数，；（2）在同一图形窗口作出原始数据的散点图及函数的图形（，分别为参数，的估计值）。15.用Matlab命令randint(5,2

4、,0,10)生成的随机矩阵，其中矩阵第1列的数据作为的观测值，矩阵第2列的数据作为对应的观测值，来拟合二次曲线方程，并画出拟合的二次曲线。16.利用表4中的数据，求解下列问题（1）求关于的线性回归方程，计算的估计值。（2）分别利用Matlab的命令lsqcurvefit和nlinfit拟合非线性函数. 表4 已知数据资料序号yx1x2序号yx1x2115.0223.735.491415.9423.525.18212.6222.344.321514.3321.864.86314.8628.845.041615.1128.955.18413.9827.674.721713.8124.534.885

5、15.9120.835.351815.5827.655.02612.4722.274.271915.8527.295.55715.8027.575.252015.2829.075.26814.3228.014.622116.4032.475.18913.7624.794.422215.0229.655.081015.1828.965.302315.7322.114.901114.2025.774.872414.7522.434.651217.0723.175.801315.4028.575.2217.已知函数，给定的取值从0到1步长为0.1的数据点，用三次样条函数求该函数的导数，并且与理论结果

6、进行比较。18. 已知函数，给定的取值从0到1步长为0.1的数据点，用三次样条函数求该函数在区间上的积分，并且与理论结果进行比较。19.画出函数的梯度场。20.求函数在点处沿着从点到点的方向导数。21.已知求数值积分。22.被积曲面为球面在第一象限部分的外侧，计算曲面面积.23.设随机变量的分布密度为且，求常数的值。24.已知解析结果为，其中为摆线的一拱， .（1）试将上述积分直接化为定积分，再利用Matlab的数值积分函数quad.m计算，并比较计算结果与解析结果的误差；（2）用三次样条方法插值曲线，然后再近似计算上述曲线积分。25.最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A型和B型节能灯具

7、的订货合同，合同中没有对这两种灯具各自的数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min，可利用的包装时间为36000min。生产完成和包装完成一套A型节能灯具各需要2min；生产完成和包装完成一套B型节能灯具分别需要1min和3min。每套A型节能灯具成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B型节能成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。厂长首先要求必须要按合同完成订货任务，并且既不要有不足量，也不要有超过量。其次要求满意的销售额尽量达到或接近275000元。最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但超过量

8、尽量地小。同时注意到增加生产时间要比增加包装时间困难得多。试为该节能灯具厂指定生产计划。26. 已知北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)六城市间的航线距离见表7。以上述六个城市作为顶点，航线作为边构造赋权图，求图的最小生成树。表5 六城市间的距离LMNPaPeTL5635215160M5621577870N3521366868Pa2157365161Pe5178685113T607068611327.在9个顶点的有向图中，存在从顶点（）到顶点（）的弧的概率为0.8，各弧上的容量是上的随机整数，用计算机模拟生成该有向图，并求起点到终点的最大流量。28. 某

9、项目工程由11项作业组成（分别用代号表示），其计划完成时间及作业间相互关系如表8所示，求作业的关键路径。表6 作业流程数据作业计划完成时间（天）紧前作业作业计划完成时间（天）紧前作业521103511254154201529.利用Matlab的常微分方程数值解函数ode45求解微分方程，.30.隐式微分方程求解隐式微分方程就是不能转换成显式常微分方程组的微分方程，在Matlab中提供专门的函数ode15i来直接求解隐式微分方程。若隐式微分方程的形式如下，给定初始条件，则可以编写函数描述该隐式微分方程，然后调用如下命令sol=ode15i(fun,t0,tn,x0,xp0,options)就可以

10、求解该隐式微分方程。其中，fun为Matlab函数描述隐式微分方程，t0,tn为微分方程的求解区间；x0为的初始值，xp0为的初始值。但是隐式微分方程不同于一般的显式微分方程，求解之前，除了给定的初始值，还需要的初始值，的初始值不能任意赋值，必须满足微分方程的相容性条件，否则将可能出现矛盾的初始值。通常使用函数decic求出这些未完全定义的初值条件，函数decic的使用格式为x0mod,xp0mod=decic(fun,t0,x0,fixed_x0,xp0,fixed_xp0)其中x0是给定的的初始值，xp0是任意给定的的初始值，fixed_x0和fixed_xp0是与xp0同维数的列向量，其

11、分量为1表示需要保留的初值，为0表示需要求解的初始值。若fixed_x0和fixed_xp0等于空矩阵，表示允许所有的初值分量可以发生变化。分别用显式和隐式解法求下列微分方程的数值解31.求解隐式微分方程组的数值解，其中初值条件为，。32.微分代数方程的求解微分代数方程是指在微分方程中，某些变量间满足一些代数方程的约束，其一般形式为，其中，矩阵通常是奇异矩阵。在Matlab语言提供了ode15s来求解。求解如下微分代数方程组其中初始值为，。33.时滞微分方程的求解许多动力系统随时间的演化不仅依赖于系统当前的状态，而且依赖于系统过去某一时刻或若干个时刻的状态，这样的系统被称作时滞动力系统。时滞非

12、线性动力系统有着比用常微分方程所描述的动力系统更加丰富的动力学行为，例如，一阶的自治时滞非线性系统就可能出现混沌运动。时滞微分方程的一般形式为，其中，为时滞常数。在Matlab中提供了命令dde23来直接求解时滞微分方程。其调用格式为sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan,options)，其中，ddfun为描述时滞微分方程的函数，lags为时滞常数向量，history为描述时的状态变量值的函数，tspan为求解的时间区间，options为求解器的参数设置。该函数的返回值sol是结构体数据，其中sol.x成员变量为时间向量，sol.y成员变量为各个时刻的状态向量

13、构成的矩阵，其每一个行对应着一个状态变量的取值。求解如下时滞微分方程组已知，在时，试求该方程组在上的数值解。34.求解如下具有混沌状态的时滞微分方程，已知，在时，试求该方程在的相位图。35.常微分方程两点边值的求解求解区间上的边值问题，边界条件为和。36.首先介绍偏微分方程的类型，对于关于变量和的二阶偏微分方程可以写成如下形式，偏微分方程的分类见表9。表7 偏微分方程的分类表条件方程类型典型方程椭圆型拉普拉斯方程抛物型热传导方程双曲型波方程Matlab工具箱可以求解所有的椭圆型方程和抛物型方程，也可以求解空间变量是两维的双曲型方程，但无法直接求解空间变量是一维的双曲型方程。下面我们首先讨论双曲

14、型偏微分方程的解。双曲型方程典型的形式是， （1）当给定初始条件， （2）以后，容易验证，双曲型方程（1）的解为，. （3）也就是说，在平面上，沿着，是常数，这样的直线，的值保持不变，这种直线叫做特征线。在物理学上常见到的双曲型方程， （4）可以化为（1）式这种形式的联立方程组。事实上，令，则（4）式就化为一阶偏微分方程组 （1）无限长的弦的自由振动自由振动的弦满足的振动方程是，无限长的弦没有边界，所以只有初始条件，问题的解是达朗贝尔公式.（2）两端固定的弦振动问题两端固定的均匀弦的自由振动的定解问题是 （5）它的解是，其中的系数是，.取，设初速度，初位移为i）画出定解问题（5）的解析解的图形

15、。ii）求定解问题（5）的数值解，并画出数值解的图形。37. 求解抛物型方程定解问题的精确解和数值解。38.已知经管、汽车、信息、材化、计算机、土建、机械学院7个学院学生四门基础课（数学，物理，英语，计算机）的平均成绩见表10。试对学生成绩进行评价。表8 基础课平均成绩表经管汽车信息材化计算机土建机械数学62.0362.4878.5272.1274.1873.9566.83物理59.4763.7072.3873.2867.0768.3276.04英语68.1761.0475.1777.6867.7470.0976.87计算机72.4568.1774.6570.7770.4368.7373.18

16、39.PageRank算法是基于网页链接分析对关键字匹配搜索结果进行处理的。它借鉴传统引文分析思想：当网页甲有一个链接指向网页乙，就认为乙获得了甲对它贡献的分值，该值的多少取决于网页甲本身的重要程度，即网页甲的重要性越大，网页乙获得的贡献值就越高。由于网络中网页链接的相互指向，该分值的计算为一个迭代过程，最终网页根据所得分值进行检索排序。互联网是一张有向图，每一个网页是图的一个顶点，网页间的每一个超链接是图的一个边，邻接矩阵，如果从网页到网页有超链接，则，否则为0。记矩阵的列和及行和分别是，它们分别给出了页面的链入链接数目和页面的链出链接数目。假如我们在上网时浏览页面并选择下一个页面的过程，与

17、过去浏览过哪些页面无关，而仅依赖于当前所在的页面。那么这一选择过程可以认为是一个有限状态、离散时间的随机过程，其状态转移规律用Markov链描述。定义矩阵如下，其中是模型参数，通常取，是Markov链的转移概率矩阵，表示从页面转移到页面的概率。根据Markov链的基本性质，对于正则Markov链存在平稳分布，满足，表示在极限状态（转移次数趋于无限）下各网页被访问的概率分布，Google将它定义为各网页的PageRank值。假设已经得到，则它按分量满足方程.网页的PageRank值是，它链出的页面有个，于是页面将它的PageRank值分成份，分别“投票”给它链出的网页。为网页的PageRank值

18、，即网络上所有页面“投票”给网页的最终值。根据Markov链的基本性质还可以得到，平稳分布（即PageRank值）是转移概率矩阵的转置矩阵的最大特征值（）所对应的归一化特征向量。已知一个的网络如图1所示，求它的PageRank取值。图1 网络结构示意图40. 随着现代科学技术的发展，每年都有大量的学术论文发表。如何衡量学术论文的重要性，成为学术界和科技部门普遍关心的一个问题。有一种确定学术论文重要性的方法是考虑论文被引用的状况，包括被引用的次数以及引用论文的重要性程度。假如我们用有向图来表示论文引用关系，“A”引用“B”可用图2表示。图2 引用关系图现有A、B、C、D、E、F六篇学术论文，它们

19、的引用关系如图3所示。图3 六篇论文的引用关系设计依据上述引用关系排出六篇论文重要性顺序的模型与算法，并给出用该算法排得的结果。41.种群增长模型Leslie在20世纪40年代建立了一个具有年龄结构的人口离散模型。由于男、女性人口通常有一定的比例，为了简单起见只考虑女性人口数。现将女性人口按年龄划分成个年龄组，即组。每组年龄段可以是1岁，亦可是给定的几岁为一组，如每5年为一个年龄组。现将时间也离散为时段，。记时段第年龄组的种群数量为，第年龄组的繁殖率为；第年龄组的死亡率为，称为第年龄组的存活率。在此假设和不随时段变化，基于上述符号和假设，在已知时段的各值后，在时段，第一年龄组种群数量是时段各年

20、龄组繁殖数量之和，即，时段第年龄组的种群数量是时段第年龄组存活下来的数量，即，.记时段种群各年龄组的分布向量为，并记，则有，.当第时段各年龄组的人数已知时，即已知时，可以求得时段的按年龄组的分布向量为，由此可算出各时段的种群总量。假设，出生率向量，存活率向量，初始种群数量，研究该种群的发展变化情况，特别要给出该种群当的极限状态。42.高维（四维）数据可视化方法在实际问题中，可能会涉及高维数据可视化，比如三维网格图、曲面图的第四维输入数据等，要求基于四维数据进行可视化显示。解决高维数据可视化问题，一般是利用低维信息处理高维数据，比如用颜色属性表达高维信息，就经常使用。通过高维数据的显示，可以在可

21、视化意义上反映出数据意义。在Matlab中对四维数据的显示可以用切片图表现，用slice命令。slice函数的调用格式如下：（1）slice(V,sx,sy,sz)其中，V为体数据，为的矩阵，默认对应的三维坐标为，；sx,sy,sz为坐标轴方向的切片平面向量。显示三维坐标所确定的超立体V在轴、轴和轴方向上的若干点的切片图，各点的坐标由sx,sy,sz确定。（2）slice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz)其中X，Y，Z为对应于V的三维坐标；V为体数据，为的矩阵；sx,sy,sz为坐标轴方向的切片平面向量。显示三维坐标所确定的超立体V在轴、轴和轴方向上的若干点的切片图，各点的坐标由sx,sy,

22、sz确定。（3）slice(V,XI,YI,ZI)其中，V为体数据，为的矩阵；XI，YI，ZI为三维曲面坐标点。沿着由矩阵XI，YI和ZI定义的曲面画穿过超立体V的切片。（4）slice(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)其中，X，Y，Z为对应于V的三维坐标；V为体数据，为的矩阵；XI，YI，ZI为三维曲面坐标点。沿着由矩阵XI，YI和ZI定义的曲面画穿过超立体V的切片。 （5）slice(,method)其中，method为插值方法，有linear三线性插值（默认），cubic三立体插值和nearest近邻插值3种。 例 在区间，上可视化。x,y,z = meshgrid(-2:.2:2,-

23、2:.25:2,-2:.16:2);v = x.*exp(-x.2-y.2-z.2);xslice = -1.2,.8,2; yslice = 2; zslice = -2,0;slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice)colormap hsv可视化效果见图4。图4 四维数据的可视化效果图例 利用slice命令对球运动过程作切割。x,y,z = meshgrid(-2:.2:2,-2:.25:2,-2:.16:2);xsp,ysp,zsp = sphere;holdslice(x,y,z,v,-2,2,2,-2) % Draw some volume boundar

24、iefor i = -2:1:2 hsp = surface(xsp+i,ysp,zsp); rotate(hsp,1 0 0,90) xd = get(hsp,'XData'); yd = get(hsp,'YData'); zd = get(hsp,'ZData'); delete(hsp) hslicer = slice(x,y,z,v,xd,yd,zd); endview(-10,35)可视化效果见图5。图5 球运动的可视化图利用切片函数slice可以方便地显示四维数据的截图图像。如果需要将第四维数据作为颜色参数来显示曲面，就需要通过设置

25、颜色映射表来进行。例 利用颜色映射表作图。clc, clearA=1 2 2 25 1 3 3 21 1 4 4 20 2 5 5 19 2 6 7 31;x=A(:,1)' y=A(:,2)' z=A(:,3)' s=A(:,4)'xmm=minmax(x); %求x的最小值和最大值ymm=minmax(y);zmm=minmax(z);y1=linspace(ymm(1),ymm(2),30);z1=linspace(zmm(1),zmm(2),30);x1=ones(size(y1)*x(1);x0,y0=meshgrid(x1,y1);z0=zeros(

26、length(z1);for i=1:size(z0,1) z0(i,:)=z1;endr,c=size(z0);rgb=ones(r,c); %颜色矩阵赋初值for i=1:length(s) rgb(i-1)*6+1:i*6,:)=rgb(i-1)*6+1:i*6,:)*s(i); %设置颜色矩阵endsurf(x0,y0,z0,rgb)colorbar, shading flat, box on可视化效果见图6。图6 颜色映射表的可视化效果图43.在区间，上画出的几个截面的可视化。44编写一个脚本，判断输入字符串中每个单词的首字母是否为大写，若不是则将其修改为大写，其他字母为小写。45.

27、 编制一个脚本，查找给定字符串中指定字符出现的次数和位置。46 对函数，进行如下变换（1）关于的傅立叶变换（2）关于的拉普拉斯变换47. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115；项目，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125，但规定最大投资额不超过4万元；项目，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140，但规定最大投资额不超过3万元；项目，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6。该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？48.已知某工厂计划生产，三

28、种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表9。试研究下列问题。（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？（2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？（3）如果该工厂拟增加生产两种新产品和，其中产品需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元；产品需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？表9 生产计划的相关数据设备有效台时/每月A8210300B1058400

29、C21310420单位产品利润/元30002000290049.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B，目的是方便市民的生活，提高城市的生活质量。根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h（即每个劳动力用1h）,分别可以建成1个项目A和两个项目B。如果投入1个劳动力·h需要支付10元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务于人民。市政府依次提出下面的四条要求。（1）至少要建50个项目A；（2）至多建设60个项目B；（3）至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h；（4）总投入资金不超过预算120万元。

30、试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。50.某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水。按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。表10给出的是28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有4个时刻无法测到水位（表1中为-）。表10 水塔中水位原始数据时刻（t）/h水位/m时刻（t）/h水位/m时刻（t）/h水位/m时刻（t）/h水位/m试建立数学模型，来估

31、计居民的用水速度和日总用水量。51. 根据表11某猪场24头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量(x2)、腰肉量(x3)的多元回归分析。 表11 某养猪场数据资料序号瘦肉量y(kg)眼肌面积x1(cm2)腿肉量x2(kg)腰肉量x3(kg)序号瘦肉量y(kg)眼肌面积x1(cm2)腿肉量x2(kg)腰肉量x3(kg)115.0223.735.491.211415.9423.525.181.98212.6222.344.321.351514.3321.864.861.59314.8628.845.041.921615.1128.955.181.37413.9827.674.721.491713.8124.534.881.39515.9120.835.351.561815.5827.655.021.66612.4722.274.271.501915.8527.295.551.70715.8027.575.25