25.物体的动态平衡问题解题技巧

1、25. 物体的动态平衡问题解题技 巧物体的动态平衡问题解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱一、总论1、动态平衡问题的产生 三个平衡力中一个力已 知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化， 但物体 仍 然平衡，典型关键词 缓慢转动、缓慢移动 ? ?2、动态平衡问题的解法 解析法、图解法解析法 画好受力分析图后，正交分解或者斜交分 解列平衡方程， 将待求力写成三角函数形式， 然后由角 度 变化分析判断力的变化规律；图解法 画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾 相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作 图方法，作出相应的动态三角形， 从动态三角形边长变 化 规律看出力的变化规律。3、动态平衡问题的

2、分类 动态三角形、相似三角 形、 圆与三角形 2 类、其他特殊类型 二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向 确 定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 动态 三 角形例 1 】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间设墙面对球的压力大小为F N1,球对木板的压力 大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置 不计摩擦，在此过程中A . Fni始终减小，Fn2始终增大B . Fni始终减小，F N2始终减小CFni先增大后减小，FN2始终减小D. Fn1先增大后减小，Fn2先减小后增大1jrJ 1 专勺HL j 厶叫1y > fi正

3、交分解列方解法一：解析法一一画受力分析图， 程，解出Fni、Fn2随夹角变化的函数， 然后由函数讨论；Fn2 sin mg 0FN 2cosFN1【解析】 小球受力如图， 由平衡条件，联立，解得:FN 2吨sinFN1tan木板在顺时针放平过程角一直在增大，可知Fni、F n2都一直在减小。选B解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三 角 形，然后“抓住不变，讨论变化，不变的是小球重力 和Fni的方向，然后按F N2方向变化规律转动Fn2，即可看出结果。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如 右图所示闭合 三角形，其中重力mg保持不变，F ni的方 向始终

4、水 平向右，而FN2的方向逐渐变得竖直。那么由右图可知Fni、FN2都一直在减小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为1 (0< < )。现对木箱施加一 拉力F，使木箱做匀速直线运动。设 F的方向与水平地面的夹角为e?如下列图，在 B从o逐渐增大到90 °的过程中，木箱的速度保持不变，那么A . F先减小后增大 B . F 一直增大C. F 一直减小D. F先增大后减小解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程， 解出f随夹角e变化的函数，然后由函数讨论；【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有Fn F sin mg 0 F cos F f 0 f其中F

5、f FN联立，解得：F cos mgs.cos sinm由数学知识可知F i 2叽，其中tan 1 当 arctan 1时，F最小，那么 B从0逐 渐增大到90。的过程中，F先减小后增 大。选A。解法二：图解法一一可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后 按动态三角形法的思路分析解析】小球受力如图，将支持力Fn和滑FN可知，动摩擦力Ff合成为一个力F合，由Ff由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成女口 右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F合的方向始终与竖直方 向成B角。那么由右图可知，当B从0逐渐增大到90。的过程中，先减小后增大2、第二类型：一个力大小方向

6、均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的 二边平行 相似二角形【例2】半径为R的球形物体固定在水平 地面上，球 心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h , 轻绳的一端系一 小球，靠放在半球上的A点， 另一端绕过定 滑轮后用力拉住，使小球静止， 如下列图， 现缓慢地拉绳， 在使小球由A 到B的过程中， 半球对小球的支持力Fn和绳 对小球的拉力Ft的大小变化的情况是解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形， 然后观察这个力的三 角A、Fn变大，Ft变小、B、Fn变小，Ft变大C、Fn变小，FT先变小后变大 D、Fn不变，Ft变小 解法一：解析法略O形，发现

7、这个力的三角形与某个几何三 角 形相似，可知两个三角形对应边长比边 长， 三边比值相等，再看几何三角形边长 变化 规律，即可得到力的大小变化规律。【解析】小球受力如图，由平衡 将三个t Im右图所示闭力按顺序首尾相接，可形成如合三角形很容易发现，这三个力与形AOO相似。那么有 A00的三边始终平行，即力的三角形与几何三角一、其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，那么由上式可 知， Fn不变，Ft变小。3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小 确 定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定 圆与 三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用 A，B两只 弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 0

8、,这时两绳 套 AO， B0的夹角小于90。，现在保持弹簧秤A的示数不 变而改变其拉力方向使 a角变小，那么要使结点仍在 位 置0,就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及B角，那么下 列调整方法中可行的是A、增大B的拉力，增大B角大B B 的拉力，B角不变、C、增大B的拉力，减小 B角的D 拉力大小不变，增大 B角解法一：解、 析法略解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三 角形，然后“抓住不变，讨论变 化一一保持长度不变 Fa将Fa绕橡 皮条拉力F端点转动形成一个圆弧， Fb的一个端点不动，另一个端 点在圆 弧上滑动，即可看出结果F b由于两绳套AO、在力的三角形 中，Fa【解析】如右图，F

9、BO的夹角小于90 ° ,Fa、Fb的顶角为钝角，Fa、Fb的顶角逐渐减小为直角然后为锐角由图可知，这个过程中Fb 一直增大，但B角先减小，再增大。应选ABC4、第四类型：一个力大小方向均确定，另 两个力大小方向均不确定，但是另两个力 的 方向夹角保持不变 一一圆与三角形正弦 定理【例4】如下列图装置，两根细绳拴住一球，保持两 细 绳间的夹角9=120。不变，假设把整个装置顺时针缓慢转 过90 °,那么在转动过程中，CA绳的拉力F ti , CB绳的拉力F T2的大小变化情况是A、Fti先变小后变大B、Fti先变大后变小C、FT2 一直变小D、FT2最终变为零解法：解析法1

10、让整个装置顺时针转过个角度a画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列 方程，解出FT1、FT2随a变化的关系式，然后根据的变化ym求解【解析】整个装置顺时针转过一个角 后，小球受力如下列图，设 AC绳与竖直方向夹角为 a那么由平衡条件，有Fti cosFti sinFt2 cos(Ft 2 sin()mg 0 )0联立，解得mg sin( )mg sinT1.FT2Sinsina从90 °逐渐减小为0°,那么由上式可知：Fti先变大后 变小，FT2 一直变小。三角形，在这个三角形中，小球重力不变，解法二：解析法2画受力分析图，构建 初始力的Fti、Ft2的夹角(180 &#

11、176; F a E)保持不变， 设另外两个夹角弭b分别为a B写出这个三角形的正弦定F方程，即可根据a B的变化规律得到Fti、Ft2的 变化规律解析】如图，由正弦定理有mgFT1FT2整个装置顺时针缓慢转动90 °过程的中9角 和 mg 保持不变，a角从30。增大，B角从90 °减小， 易知FT1先变大后变小，FT2 一直变小。F轮悬挂一重物G .现将轻绳的一端固定解法三：图解法一一画受力分析图，构建 初始力的三角形，由于这个三角形中重力不 变 另两个力的夹角180 ° - 0保持不变，这类 似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作 初 始三角形的外接圆任意两边的

12、中垂线交点即 外接圆 圆心，然后让另两个力的交点在圆周 上按FT1、FT2的方向变化规律滑动，即可看出 结果解析】如右图，力的三角形的外接圆正好 是以初态 时的FT2为直径的圆周，易知FT1先变 大到最大为圆周 直径，然后变小，FT2 一直变小。 答案为：BCD5、其他类型【例5】如下列图用钢筋弯成的支架， 水平虚线MN的上端是半圆形，MN的下 端 笔直竖立.一不可伸长的轻绳通过动滑 支 架上的A点，另一端从C点处沿支架缓慢地向 最咼点B靠近C点与A点等高，那么绳中拉力A 先变大后不变B先不变后变大C.先不变后变小D 保持不变解法一：解析法一一分两个阶段画受力分由方程 析图，绳端在CN段、NB

13、段，在CN段，正交分解列 方程易算得左 右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何 关系易知这个夹角保持不变，那么易看出结果；在NB段， 左右两侧绳 与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增 大，易看出结果。解析略解法二：图解法一一画滑轮受力 分析图，构建力的三角形，如前所 F 1 述分析夹角变化规律，可知这是一个Ft 等腰三角形，其中竖直向下的拉 力大小恒定， 那么易由图看出力的变化规律解析】如右图，滑轮受力如下列图，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变， 然后增大，那么绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选C三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光

14、滑半球面上， 被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，那么在小球运动的过程中 该过程小球未脱离球面且 球面始终静止，挡板对小球的推力F、半球面对小持力Fn的变化情况是B . F增大，Fn增大 D . F减小，Fn增大A. F增大，Fn减小C. F减小，Fn减小 球的支【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力 按 顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，其中 重 力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而 Fn的方 向 逐渐变得水平。那么由上图可知F、F n都一直在增大。 故B正确2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图， AC是 质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮

15、 固 定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力 F缓慢 将重物P向上拉，在AC杆到达竖直前A. BC绳中的拉力 Ft越来越大B . BC绳中的拉力Ft越来越小C. AC杆中的支撑力Fn越来越大 杆中的支撑力Fn越来越小【解析】c点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按 顺 序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易 发 现，这三个力与ABC的三边始终平行，即力的三角形Ft变小。B正确巳BC其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，那么由上式可知，fn不变，与几何三角形abc相似。那么有。3、质量为M、倾角为B的斜面体在水平地面上，质量为 m的小木块可视为质点放 在斜面上，现用一平行于斜面的

16、、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面 内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，以下说法中正确的选项是A .小木块受到斜面的最大摩擦力为F 2 mgsin 2B .小木块受到斜面的最大摩擦力为 F -mgsin 0c .斜面休受到地面的最大摩擦力为F D 斜面休受到地面的最大摩擦力为F cos em>i【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如下列图， 由于小木块始终静止那么重力沿斜面向下的分量mgsin 9始终不变，其与F和Ff构成一个封闭的三角形，当F方向变化时可知当F与mgsin 9方向相反时Ff最大，其值 为F+ mgsin。9对于C, D选项一斜

17、面和小木块为整体进 行研究，当力F水平向左时摩擦力最大值为F。故C正确4、如下列图，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心对圆弧面的压力最小的是A球解析】小球受力分析如下列图，其中小球重力相同，FN1方向始终指向圆心，FN2方向始终垂直于FN1, 这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从 a位置 到d位置FN1与竖直方向夹角在变小，做出里的动态三 角 形，易得a球对圆弧面的压力最小。 A正确。5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材. 如 图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在 竖直支架上等高的两点.由于长期使用，导致两根支架 向 内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，

18、但两悬挂点仍等高座椅静止时用F表示所受合力的大小，Fi表示单 根 轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比A. F不变，F i变小B . F不变，Fi变大F变小，F i变小D F变大，Fi变大 FiFi【解析】座椅受力如下列图，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，那么这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到那么绳中张力 F1 逐渐减小，由于座椅仍静止所受合 力FsincoscossinB的固定粗糙斜面上，一个质F始终为零。选A6、如下列图，在倾角为e的固定粗糙斜面上，一个质量为m的伞勿体被水平力F推着以/11 宀 J WF静止于斜面上，物体与券耳面间的瓦J摩擦因数为人且严tan求力F的取值范【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力Ff和弹力Fn合成为一个力F合，那么F合的 方向允许在F N两侧最大偏角为a的范围内，其中tan将这三个力按顺序首尾相接，形成如下列图三角形，图中虚线即为F合的方向允许的变化范围 由图可知： mg tan( ) F mg tan()sincosmg F mg cossin7、如下列图，在倾