2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案新人教A版选修2-1

1、221椭圆及其标准方程(一)【学习目标：1. 了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.ET问题导学知识点一椭圆的定义思考i给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖 贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.假设在移动过程中 绳长发生变化，

2、即到两定点的距离不是定值，那么轨迹就不是椭圆.假设绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理(1)我们把平面内与两个定点Fi, F的距离的和等于常数(大于| FiR|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点焦点间的距离叫做椭圆的焦距 L(2) 椭圆的定义用集合语言表达为：P= Ml MFI +1 MF| = 2a, 2a>|FiFd.(3) 2 a与| FiF2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>| F1F2|动点的轨迹是椭圆2a = | F F动点的轨迹是线段 F1F22a<| F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程思考1 在椭圆

3、的标准方程中 a>b>c 定成立吗？答案 不一定，只需a>b, a>c即可，b, c的大小关系不确定.思考2假设两定点 A B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点 P的轨迹方程？答案 以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，贝U A(3 , 0),耳3, 0).设 P(x, y)，依题意得 | PA +1 PB = 10,所以.x 3 2 + y2+ . x+ 3 2 + y2= 10,2 2即点P的轨迹方程为羞+狰=1.2516梳理 1椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦占八'、八、焦距焦点在x轴上2 2x ya?

4、+ b2= 1( a>b>0)F( -c, 0) , F2(c, 0)2c焦点在y轴上227+ p= 1(a>b>0)F1(0，- c) , F2(0, c)2c2椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置M乡J标准方程2 2x y-2+ 门=1( a>b>0) a by a'2 2x2+门=1(a>b>0) b焦点坐标F* - c, 0) , F2(c, 0)R(0，一 C) , F2(0,C)a, b, c的关系7 222b = a - c 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆

5、标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁2 2大在谁上 如方程为5 + X = i的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标 Fio，- 1,例1点R 3, 0是圆C: X2+ y2- 6x-55= 0内一定点，动圆M与圆相内切且过 P点,判断圆心M的轨迹解方程因为动圆M与圆相内切且过P点，所以|MC + |MP = r = 8，根据椭圆的定义，动点 M到两定点P的距离之和为定值8>6=|CP，所以动点M的轨迹是椭圆X2+ y2-6x- 55 = 0 化标准形式为：(x-3)2 + y2 = 64,圆心为(3 , 0)，半径 r = 8.引申探究假设将本例中圆C的方程改为：x2+

6、 y2- 6x= 0且点R - 3, 0为其外一定点，动圆M与圆C相外切且过P点，求动圆圆心 M的轨迹方程. . 2 2 解 设 M(x, y)，据题，圆 C： (x 3)+ y = 9,圆心Q3 , 0)，半径r = 3.由 |MC =|MP + r，故 | MC | Mfp = r = 3,即x 3 2+ y 0 2 x+ 3 2 + y 0 2= 3,2 2x y整理得 9 27= 1(x<0).4 4反思与感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内这一条件不能无视定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量常数2 a必须大于两定点间的距离，否那么轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆

7、的限制条件跟踪训练1以下命题是真命题的是 .将所有真命题的序号都填上 定点Fi 1 , 0 , F21 , 0，那么满足| PFi| + |PF| = .2的点P的轨迹为椭圆； 定点Fi 2, 0 , FX2 , 0，那么满足|PF| + |PF| = 4的点P的轨迹为线段； 到定点Fi 3, 0 , F23 , 0的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案解析 2<2 ,故点P的轨迹不存在；因为 2a= | FiF2| = 4,所以点P的轨迹是线段F1F2； 到定点Fi 3 , 0 , F23 , 0的距离相等的点的轨迹是线段FiF2的垂直平分线y轴.类型二求椭圆的标准方程命题角度i用待定系数法

8、求椭圆的标准方程i ii例2求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点p3 , -, Q0, R的椭圆的标准方程2 2解 方法一 当椭圆焦点在 x轴上时，可设椭圆的标准方程为与+ 2= ia>b>0.a b2 2 丄23 3a2 + b2 =i,依题意有i220 + b2 = i,解得由a>b>0知不合题意，故舍去.当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为2 2y x孑+ b= 1( a>b>0).112 2330 += 1，ab依题意有卜 0= 1,2 1a = 4, 解得b2 1b = 5.2 2所以所求椭圆的标准方程为方法二设椭圆的方程为y x+ T=

9、 1.1 1452 2mx+ ny = 1( n>0, n>0, m n).1 19n+ 9n=1，那么14n=1，n= 5,解得n= 4.所以所求椭圆的方程为故椭圆的标准方程为2y_i42 25x + 4y = 1,2x + = 1十15引申探究有相同焦点，且过点(3， 15)的椭圆方程.2 2xy解据题可设其方程为+= 1( X > 9),25+ X 9 + X又椭圆过点(3 ,.15)，将此点代入椭圆方程,2 2x y故所求的椭圆方程为+ = 1.3620得 X = 11( X =- 21 舍去),反思与感悟(1)假设椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两

10、种情况讨论,也可设椭圆方程为2 2mx+ ny = 1( m n, n>0,n>0).2 2x y 与椭圆孑+ = 1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2 2xy20+1+?n= 1(a>b>0, b>- x)，2 2与椭圆字+ p = 1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为22yx2a2+ X + bV! = 1(a>b>0, b>- X).跟踪训练2求适合以下条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点坐标分别为Fi( 4, 0) , F2(4 , 0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；椭圆过点(3 , 2) ,

11、 (5 , 1);(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2 , 0)和点(0 , 1).(1)设其标准方程为2 2争+ b2= 1(a>b>0).据题 2a = 10, c = 4,故 b2= a2 c2= 9,2 2 所求椭圆的标准方程为-+y=1.259 设椭圆的一般方程为 Ax2+1(A>0, B>0, A B),9A+ 4B= 1, 那么25A+ B= 1,解得3A= 91,16B= 91.2 2故所求椭圆的标准方程为x-+乞 91913 162 2x v 设椭圆的标准方程为 孑+ b= 1( a>b>0).解得a2= 4,b2= 1,所求椭圆的标准方

12、程为=1.命题角度2用定义法求椭圆的标准方程例3 一动圆 Ml与圆C： (x + 3)2+ v2= 1外切，与圆C2: (x 3)2+ y2= 81内切，试求动 圆圆心M的轨迹方程.解 据题 C( 3, 0) ,1= 1, C2(3 , 0) ,2= 9,设 Mx, y)，半径为 R 那么 | MC| = 1 + R, | MC| = 9 R,故| MC + | MQ = 10,据椭圆定义知，点 M的轨迹是一个以 C, G为焦点的椭圆，且 a= 5, c= 3,2 2222x y故b = a c = 16.故所求动圆圆心 M的轨迹方程为 £+±= 1.516反思与感悟用定义

13、法求椭圆标准方程的思路：先分析条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，假设符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a, b的值.跟踪训练3P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 43-和竽，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解 设椭圆的两个焦点分别为F1, F2,不妨取| PF| =甕3,|PF21 =竽,由椭圆的定义，知2a= | PF| + |PF2| = 2申.即 a= J5.PF2垂直于长轴.由 | PF|>| PF2| 知, 在 Rt PF2F1 中，4c2=| PF|2-| PF2|2=罟, .b2= a2- c2= 130.3又所求的椭

14、圆的焦点可以在 x轴上，也可以在 y轴上,2 2 2 2 故所求的椭圆方程为x + 3y = i或務+y = i.5 1U1U 5类型三椭圆中焦点三角形问题2 2例4 (1)P是椭圆 七+ x4 = 1上的一点，Fi, F2是椭圆的两个焦点，且/FiPF2= 30°,求厶F1PF2的面积.2 2x y 椭圆-+ 2 = 1的焦点为F1, F2,点P在椭圆上.假设I PF| = 4,求/ F1P冋的大小. 解(1)由椭圆的标准方程，知a= . 5, b= 2,c = a b = 1, .| F1F2I = 2.又由椭圆的定义，知| PF| + | PF| = 2a= 2 .5.在厶 F

15、1PF2 中，由余弦定理得 |冃冋2= |PF|2+ |PR|2 2|PF|PRIcos / RPR,2即 4= (| PF| + | PF|) 2| PF| PF| 2| PF|PB|cos 30 ° ,即 4= 20 (2 + W)| PF| I PFF ,I PF| PF| = 16(2 .3).11厂 1厂 Saf1pf2 = 2lPF| .|PB|sin / RPR=16(2 -曲 X- = 8 43.2 2 由9 + 2 = 1 知 a= 3, b= c = . 7,I PF2| = 2a-1 PF| = 2, cos /FiPF2 =|PF|2 + | PF2I2- |

16、 FiF2| 2 2| PF| PF|=/ FiPF= 120°反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时,这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形， 这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义| MF| + | MF = 2a及三角形中的有关定理和公式如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等2yC：孑+合=1a>b>o的焦点三角形 PFF2中,来求解.跟踪训练41在椭圆/ F1PF2= a，点 P的坐标为Xo,yo，求证：2 aPFF2 的面积Pff = c

17、| yo| = b tan2*证明1SPF|F2 = 2| RF2"PF1F2yo| = c|yo|.在厶PFF2中，根据椭圆定义，得| PF| + | PB| = 2a.222PR|COSa = 4c .两边平方，得 |PF| + |PF| + 2| PF| PF| 根据余弦定理，得| PF| 2+ | PR|2- 2| PF| ，得(1 + cos a )| PF| PF| = 2b2，2b2所以 |PF| PF| =cos.1 + cos a根据三角形的面积公式，得Spf1f22| PF| PF|sin2b21 + cos a sin a2 sin ab 1Osaaa2sin

18、cos sin -2222 a2cos 2=tan -，a2cosy一2 a所以 Sapf1f2 = b tan 22 2椭圆的方程为4+3=1，椭圆上有一点 P满足/PFF2= 90°如图.求厶PFF2的面解由得a= 2, b= ：3 所以 c= 'a b =4 3 = 1.从而 | F1F2I = 2c= 2.在厶PFF2中，由勾股定理可得| PR| 2= | PF| 2+ | FF|2, 即| P冋 2=| PF|2+ 4.又由椭圆定义知|PF| + |PFF = 2X 2= 4, 所以 |PF = 4| PF|.22从而有(4 | PF|) =| PF| + 4.3解

19、得 |PF| =所以 PFF2的面积 S= 2|PF|FiF2| = -x |x 2= 3,即厶PFF2的面积是|当堂训练1. A( 5, 0) , B(5 , 0).动点C满足|AQ + | BQ = 10,那么点C的轨迹是(A.椭圆B.直线C.线段D.点答案 C解析因为 |AQ + |BC = 10=| AB ,所以点C的轨迹是线段 AB应选C.2. 假设方程3x2 + ky2= 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U k的可能取值为A.1 B.3 C.0 D. 2答案 A2 2解析 当k = 1时，原方程可化为yp + = 1,它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题3意、.2 2x y3. 椭

20、圆C: 25+ 16 = 1内有一点M2 , 3 , F1, F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，y | PM + | PF|的最大值为 ，最小值为 答案 10+101010解析 由椭圆的定义，得| PF| = 2a | PF| ,即| PF| = 10 | PF ,所以 |PF| + I PM = 10+ | PM- |PF2|.由三角形中"两边之差小于第三边可知, 当P, M, F2三点共线时，|PM - |PF2|取得最大值|MF2|，最小值一| MF|.2 2x y由椭圆的标准方程+花=1可得点F2(3 , 0).2516又| MF| = : 2 3 2 + 3-0

21、 2=10,所以|PF| + |PM取得最大值10+赣，最小值10-你.2 24. 椭圆8x + 3y = 24的焦点坐标为 .答案(0，-,(0 ,：5)2 2解析 据题知8 + X3 = 1,它的焦点位于y轴上，且c= ：5,故两焦点分别为(0，-.,(0 ,，.5. 求经过两点(2 , ：'2) , ( 1, 2 )的椭圆的标准方程2 2解 方法一 假设焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 孑+ b2= 1( a>b>0).由条件得42孑+ b= 1144b2=1,a2= 8, 解得b2= 4.所以所求椭圆的标准方程为22y_4=1.2 2y x假设焦点在y轴上，设椭圆的

22、标准方程为?+1(a>b>0).同理得a2= 4, b2 = 8,此时a2<b2，与焦点在y轴上矛盾.2 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为x + y = 1.84解得1方法二设椭圆的一般方程为Ax+ By2= 1(A>0, B>0, A B).一4A+ 2B= 1 ,将两点(2 ,-,(-1, ¥)的坐标分别代入，得 1472A+ B= 1,4所以所求椭圆的标准方程为2 2x y_+ = 18十4.-规律与方法1. 椭圆的定义式：|PF| + |PF| = 2a(2 a>|F1F2|).在解题过程中将| PF| + | PF2|看成一个整体，可简

23、化运算2. 椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，假设出现“两定点“距离之和这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决3. 凡涉及椭圆上的点的问题， 首先要考虑它应满足椭圆的定义 | MF| + | MF| = 2aM为椭圆上的点，Fi, F2为椭圆的焦点，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标Mxo, y。适合椭圆的方程，然后再进行代数运算 40分钟课时作业一、选择题2 21. 椭圆存+ y = 1上一点P到一个焦点的距离为 2,贝U P到另一个焦点的距离为95A.1 B.4 C.3 D.25-2答案 B解析由椭圆的定义知P到两焦点的距离之和等于2a =

24、6，故所求距离为6- 2= 4,应选B.2. 椭圆5x2 + ky2= 5的一个焦点坐标是0 , 2，那么k的值为A. 1 B.1 C.5 D.5答案B解析原方程可化简为2 y2,2 5x + 5 = 1，由 c = k 1 = 4,得 k= 1k2 23.椭圆分2 = 1的一个焦点为2 , 0，那么椭圆的方程是C.x2+答案 D2 2 解析 由题意知a2- 2=4 , a2= 6 ,所求椭圆的方程为冷+字=1.2 24. “代水是“方程土 + 3-m= 1表示椭圆的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充要条件答案 Bm-1>0,2 2解析 当方程一J + 绘

25、 =1表示椭圆时，必有3-m>0,所以1<m<3且2;m- 13-mm 1工 3 - m5设a G (0n )2 方程 x2,y45. 设a t (0 ,2 )十1sinaCOS a()nnA.(0，TB.(-4，nnC.(0，7)D.-4,答案C解析由题意知，cos a >sin a >0,°.tannnT a (0 , y), 0<a <4.应选C.当m= 2时，方程变为x2+ y2= 1,它表示一个圆a <1,表示焦点在y轴上的椭圆，贝U a的取值范围为6. 过椭圆9x2 + y2 = 1的一个焦点F的直线与椭圆交于 A, B两点

26、，贝U A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形 ABF的周长是A.3 B.4 C.8 D.223答案 B2X 22解析 方程可化为+ y = 1,二焦点在y轴上，且a = 1,. a= 1.9 ABF的周长为 | AF| +1 AFF + | BR| + | BF| = 2a+ 2a = 4a= 4.应选 B.二、填空题2 27. 设F1, F2分别是椭圆 盒+£= 1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为6 ,4)，那么| PM + | PF|的最大值为 .答案 15解析 由椭圆定义知IPM + |PF| =|PM + 2X 5- |PF| ,而| PM - | P冋 &

27、lt;| MF| = 5,所以 I PM + | PF| < 2X 5+ 5 = 15.2 2x y8. F1, F2为椭圆25+ g = 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于 A、B两点，假设| F2A| + | F?B=12，那么 | AB =答案 8解析 由椭圆的定义得|AF| + |AF2| = 2a= 10,|BF| + | BFF = 2a = 10,AF + | AF| + | BF| + |BF = 20.又v| F2A + F2B = 12,a| AB = AF + BF = 8.2 2x y9. 椭圆-= 1上的点M到该椭圆一个焦点 F的距离为2, N是MF的中点，O为坐标259原点，那么线段ON勺长是.答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为 E那么IMF + IME = 10,IME = 8,又 ON%A MEF勺中位线，1 ION = 2l me = 4.2 210. 假设椭圆 二 +敗=1的焦点分别为 F1,巨椭圆上一点 P满足/ RPF= 60°，那么 RPR的10064面积是.答案于 解析 由得| PF| + | PF；| = 2a = 20,|布| = 2c= 12.由余弦定理，知(2c)2=|PF|2+ |PR|2 2| PF|