复数及其代数运算

1、1第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.2 复数的几何表示复数的几何表示1.1 复数及其代数运算复数及其代数运算1.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.5 复变函数及其极限与连续性复变函数及其极限与连续性1.4 区域区域第一章 复数与复变函数 工程数学（复变函数与积分变换） 2在复数在复数领域的推广和发展领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数论复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数论复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了世纪末期，经过了卡尔丹卡尔丹、笛卡尔笛卡尔、欧拉欧拉以

2、及以及高斯高斯等许多人等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯贝尔、拉普拉斯等。等。代表人物是代表人物是柯西、黎曼柯西、黎曼和和维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯等。等。工程数学（复变函数与积分变换） 第一章 复数与复变函数 31.1 复数及其代数运算复数及其代数运算一、复数的概念一、复

3、数的概念二、复数的代数运算二、复数的代数运算第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 三、共轭复数三、共轭复数41.1 复数及其代数运算 第一章 复数与复变函数 (2) x 和和 y 分别称为复数分别称为复数 z 的的实部实部与与虚部虚部，并分别表示为：，并分别表示为： ,Rezx .Im zy 当当 y 0 时，时，因此，实数可以看作是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。(3) 当当 x 0 时，时，yiyiz 0称为称为纯虚数纯虚数；xixz 0就是就是实数实数。.1 i其中其中 i 称为称为虚数单位虚数单位，即，即一、复数的概念一、复数的概念定义定义 (1) 设设

4、 x 和和 y 是任意两个实数，是任意两个实数，yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的数称为的数称为复数复数。 将形如将形如P1 210 x 5第一章 复数与复变函数 设设 与与 是两个复数，是两个复数，111yixz 222yixz 如果如果,21xx ,21yy 则称则称 与与 相等相等。1z2z它们之间只有相等与不相等的关系。它们之间只有相等与不相等的关系。0 yixz当且仅当当且仅当.0 yx特别地，特别地，复数与实数不同，复数与实数不同，两个复数两个复数( (虚部不为零虚部不为零) )不能比较大小不能比较大小，注注1.1 复数及其代数运算 一、复数的概念一、复数的概念6第一章

5、 复数与复变函数 二、复数的代数运算二、复数的代数运算设设 与与 是两个复数，是两个复数，111yixz 222yixz (1) 复数的加减法复数的加减法; )(212121yyixxzz 加法加法. )(212121yyixxzz 减法减法(2) 复数的乘除法复数的乘除法; )()(1221212121yxyxiyyxxzz 乘法乘法,21zzz .21zzz 如果存在复数如果存在复数 z，使得，使得则则除法除法P2 1.1 复数及其代数运算 7第一章 复数与复变函数 (3) 运算法则运算法则交换律交换律;1221zzzz .1221zzzz 结合律结合律; )()(321321zzzzzz

6、 . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 1.1 复数及其代数运算 二、复数的代数运算二、复数的代数运算8第一章 复数与复变函数 三、三、共轭复数共轭复数1. 共轭共轭复数的定义复数的定义设设 是一个复数，是一个复数，定义定义yixz 称称 为为 z 的的共轭复数共轭复数，yixz 记作记作 。z共轭复数有许多用途。共轭复数有许多用途。注注比如比如21zzz )( )()( )(22222211yixyixyixyix 2221zzzz P2 1.1 复数及其代数运算 9第一章 复数与复变函数 三、三、共轭复数共轭复数2. 共轭共轭复数的性质复数的

7、性质其中，其中，“ ”可以是可以是;, ,2121zzzz (1);ImRe2222yxzzzz (3)性质性质P2 1.1 复数及其代数运算 ;zz (2)10第一章 复数与复变函数 解解 (1)iizz435521 )43( )43()43( )55(iiii 25535i .5157i .5157i 21zz(2)21zz 1.1 复数及其代数运算 11第一章 复数与复变函数 证明证明2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz . )(Re221zz P4 例例3 1.1 复数及其代数运算 12第一章 复数与复变函数 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 许多数学学科的开创者和奠

8、基人。许多数学学科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有享有“数学王子数学王子”的美誉。的美誉。 开创了哥廷根学派。开创了哥廷根学派。德国数学家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理学家、 天文学家工程数学（复变函数与积分变换） 13第一章 复数与复变函数 高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行整理，进行整理，历时历时67年，出版了共年，出版了共12卷的卷的高斯全集高斯全集。附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯Georg-August-Univers

9、ity of Goettingen工程数学（复变函数与积分变换） 10马克上的高斯头像马克上的高斯头像学术圣地学术圣地-哥廷根大学哥廷根大学哥廷根大学广场上矗立着一座用白色大理石砌成的纪念哥廷根大学广场上矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，底座砌成碑，底座砌成正十七边形正十七边形，纪念碑上是高斯的青铜像。，纪念碑上是高斯的青铜像。14第一章 复数与复变函数 高斯开创了哥廷根学派。在高斯以后，哥廷根大学的数高斯开创了哥廷根学派。在高斯以后，哥廷根大学的数学家学家黎曼黎曼、狄利克雷狄利克雷和和雅可比雅可比在代数、几何、数论和分析在代数、几何、数论和分析等领域做出了杰出贡献。等领域做出了杰出贡献。1

10、9世纪，著名数学大师世纪，著名数学大师希尔伯特希尔伯特和和克莱因克莱因更是吸引了大批数学家前往，从而使德国更是吸引了大批数学家前往，从而使德国哥廷根哥廷根数学学派数学学派进入了全盛时期。进入了全盛时期。 到到20世纪初，哥廷根已成为无可争辩的世界数学中心和世纪初，哥廷根已成为无可争辩的世界数学中心和麦加圣地。麦加圣地。 45位诺贝尔得主曾在哥廷根大学学习、任教或研究，其位诺贝尔得主曾在哥廷根大学学习、任教或研究，其中大部分为物理学奖和化学奖。中大部分为物理学奖和化学奖。 在在2010年年“泰晤士高等教育大学世界排名泰晤士高等教育大学世界排名”中，哥廷根中，哥廷根大学排名德国第大学排名德国第1，

11、全球第，全球第43位。位。附：附：哥廷根大学哥廷根大学工程数学（复变函数与积分变换） 15第一章 复数与复变函数 数学数学：高斯、狄利克雷、黎曼、希尔伯特、克莱因、闵：高斯、狄利克雷、黎曼、希尔伯特、克莱因、闵可夫斯基、外尔可夫斯基、外尔 等等 物理学物理学：维恩、劳厄、普朗克、密立根、海森堡、泡利、：维恩、劳厄、普朗克、密立根、海森堡、泡利、狄拉克、玻恩、费米、梅耶（女）、奥本海姆（第一批原狄拉克、玻恩、费米、梅耶（女）、奥本海姆（第一批原子弹制造者）、普朗特（现代空气动力学之父）、冯子弹制造者）、普朗特（现代空气动力学之父）、冯卡卡门（航空技术）等，包括门（航空技术）等，包括21位诺贝尔物理学奖得主位诺贝尔物理学奖得主 化学、生理与医学化学、生理与医学：能斯特、德拜等，：能斯特、德拜等，13位诺贝尔化学位诺贝尔化学奖得主，奖得主，7位诺贝尔生理学或医学奖得主位诺贝尔生理学或医学奖得主 人文社会人文社会：铁血宰相俾斯麦、奥地利首相梅特涅、德国：铁血宰相俾斯麦、奥地利首相梅特涅、德国总理魏茨泽克与施罗德、柏林大学创始人洪堡、摩根（摩总理魏茨泽