周期信号的频谱分析——傅里叶级数1

1、主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 0sincos2211TTdttmtnnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin2211由积分可知由

2、积分可知1.三角函数集 1112 , , TTtf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量100d)(110TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211TttnttntfTb称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：

3、在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。例3-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf112sin2sin0 22

4、)(111TtTtTAtf直流直流基波基波谐波谐波t tfA/2/221T21T 112T 其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnbaarctannnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 nc

5、 n幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。的线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流:11 n二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j1TtnttfT利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为说明 变换对。变换对。式是一对式是一对、惟一确定，惟一确定，则，则

6、如给出如给出)5()4()(1tfnF 的线性组合。的线性组合。区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j11TtnttfTnF三两种系数之间的关系110j11de )(1)(TtnttfTnF11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfT nnbaj21 110110111dsin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnF nnbaj21 nnFnF j11e)( 是复数是复数)(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性

7、nnnabarctan 幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波波形形相相对对于于纵纵坐坐标标是是反反)(tfOtTT 11 为虚函

8、数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现; ;表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为率随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。 2nF nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳