2021版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修1

1、4二次函数性质的再研究学习目标1.理解y = ax2与y= a(x+ h)2+ k( a2解析依题意可设f (x) = a(x-2) 1(a*0),又其图像过点(0,1),4a 1 = 1 ,二 a= .1 2 f(x) = 2( x - 2) - 1.1 2 f (x)=尹2x + 1.1 2答案 f (x)=於-2x+ 1知识点二二次函数的图像变换1. 首先将二次函数的解析式整理成顶点式y = a(x + h)2 + k(a* 0)，再由二次函数y =x2的图像经过以下的变换得到：(1) 将函数y= x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y= ax20)及y = ax2

2、 + bx+ c的图像之间的关系(重点)；2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴 (重点)；3.能利用配方法 或图像法掌握二次函数的重要性质(重、难点)；4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值(重、难点).预习教材P41 - 47完成以下问题：知识点一二次函数的定义2形如y = ax + bx+ c(a*0)的函数叫作二次函数，其中 a、b、c分别称为二次项系数、 一次项系数、常数项解析式 y= ax2 + bx+ c(a* 0)称为二次函数的一般式，二次函数的解 析式还有其他两种形式；顶点式：y = a(x+ h)2+ k(a*0)；零点式：y = a(x-xi)( x

3、-X2)( a*0).说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与 x轴有交点的二次函数才有零点式.【预习评价】1. 函数y= x2 + 2x-2的图像的顶点坐标是 .解析 y = x + 2x 2= (x + 1)2 3,故所求顶点坐标为(一 1, 3).答案(1,- 3)2 .二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为 x = 2，最小值为一1，那么它的解析式是的图像.(2) 将函数y = ax2的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移| h|个单位得到y = a(x + h)2的图 像.2 一 2(3) 将函数y = a(x +

4、h)的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|个单位得到 y= a(x + h) + k的图像.2. 一般地，二次函数 y = a(x+ h)2+ k(a 0), a_决定了二次函数图像的开口大小和方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移，k决定了二次函数图像的上下平移，而且“ k正上移，k负下移.【预习评价】2 2. 一 .1. y = x和y = 2(x+ 1) + 3的图像之间有什么关系？提示 y = x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y= 2x2的图像；再把y = 2x2的图像向左平移1个单位，再上移 3个单位，得y = 2(x + 1)2

5、+ 3的图像.2函数y= 3x2x + 2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得 图像对应的函数解析式是 .解析 函数y= 3x2 x + 2的图像向左平移1个单位长度，得函数y = 3(x+ 1)2-(x+ 1) + 2的图像，再向下平移 2个单位长度，得函数 y = 3(x + 1)2 (x+ 1) + 2 2的图像，即所 得图像对应的函数解析式是 y = 3x2 + 5x + 2.答案 y = 3x2 + 5x+ 2知识点三二次函数的图像和性质a>0a<0图像:/-I1/A .ifH定义域x R值域4ac b -km4a ，4ac b2，4a单调性在m,吕

6、上递减，2ab在，+m上递增2a在m, 2a上递增，b在h，+m上递减2a图像特点2bb 4ac b对称轴：x= 2a；顶点：2a，4a【预习评价】1. 函数y= 2x+ 1在1,2上的最大值是()A. 3B. 4D. 1C. 5解析 因为y= 2X+ 1为增函数，所以y = 2X+ 1在1,2上递增，所以ymax= 2X 2+ 1= 5.答案 C2. 函数 f (x) = x2 4x + 3, x 1,4的最小值为 .解析 因为f(x)在1,2上是减函数，在2,4上是增函数，所以f(x)的最小值为f(2) =1.答案 1谭堂互动:题型创如竝棵题型一求二次函数的解析式【例1】二次函数f (x)

7、满足f (2) = 1, f( 1) = 1，且f(x)的最大值为8,求二次函数的解析式.解 法一 利用二次函数的一般式.设f (x) = ax2 + bx + c(a0)，由题意得4a+ 2b+ c= 1,a b+ c = 1,4ac b24a=8,a= 4,解得b = 4,c = 7.故所求二次函数的解析式为f (x) = 4x2 + 4x + 7.法二利用二次函数的两根式.由f (x) + 1= 0的两根为X1= 2, X2= 1,故可设 f (x) + 1= a(x 2)( x + 1)( a*0), 即 f (x) = ax2 ax2a 1(a*0).24a 2a+1 a又函数有最大

8、值8,所以一=&4a解得a= 4.故所求二次函数的解析式为f ( x) = 4x2 + 4x + 7.法三利用二次函数的顶点式.2设 f (x) = a(x+ m + n(a*0).12 f(2) = f( 1),抛物线的对称轴为1即m=歹又 f(x)的最大值为1 f (x) = a x - f(2) = 1 , a 2-f 2f(2) = 2 4X 2+ c = c 4, f(1) = 1 4X 1 c= c 3, f(4)> f(1)> f(2).答案 A规律方法对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于x = a对称，有以下几+ 8 = - 1,解得 a=- 4.

9、1 22f(x) =- 4 x § + 8= 4x + 4x+ 7.故所求二次函数的解析式为f (x) =- 4x2 + 4x + 7.规律方法求二次函数的解析式，应根据条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最正确方案，利用待定系数法求解.2 .(1) 一般式：y = ax + bx+ c( a, b, c为常数，且 a*0).当抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解.2(2) 顶点式：y = a(x+ h) + k(a, h, k 为常数，且 a*0).当抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式.(3) 两根式：y =

10、 a(x- xi)( x X2)( a, xi, X2是常数，且 a*0).当抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式.【训练1】二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x=- 1,并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式.解 设 f (x) = a(x+ 1) + k(a*0),由题意得 f (1) = 13, f (2) = 28,4 a k k 13那么有 k , 解得a= 3, k = 1,9a+ k= 28,所以 f(x) = 3( x 1)2+ 1,即 f (x) = 3x2+ 6x+ 4.题型二二次函数的对称性【例2 如果函数f (x)

11、 = x2+ bx + c关于x = 2对称，那么()A. f (2)< f (1)< f(4)B. f(1)< f(2)< f (4)C. f (2)< f (4)< f(1)D. f(4)< f(2)< f (1)解析 法一 Tf (x) = x2+ bx c关于x= 2对称，又抛物线开口方向向上， 由该二次函 数的特征可 知，自变 量离对称轴越 远，函数 值越大，又4 2>|1 2|>2 2，故有 f(4)> f(1)>f(2).法二 / f (x) = x + bx c 关于 x = 2 对称，2- b= 4,又

12、f(4) = 4 一4X 4+ c= c,种等价说法: f (a+ x) = f (a x) ? f(x)关于 x = a 对称； f (x) = f (2 a x)? f (x)关于 x = a 对称；(3) f (x) = f (nx)(其中n= 2a) ? f (x)关于 x= a对称.【训练2】二次函数f(x) = x2+ ax对任意x R,总有f(1 x) = f (1 + x)，那么实数a解析 对任意x R,总有f (1 x) = f (1 + x),1 x + 1 + x 函数f (x)的对称轴是x=2= 1 ,“ a 那么2= 1 , a= 2.答案 2题型三二次函数的单调性【

13、例3】函数y= x2+ bx+ c在区间(一g, 1)上单调递减，那么 b的取值范围是()A. b< 2B. b> 2C. b> 2D. b< 22bb解析/ f (x) = x + bx+ c的对称轴为x= 2，由题意得一2?1，二bw 2.答案 A规律方法 二次函数的单调性取决于两点：图像的开口方向；对称轴的位置.在解题时可借助图像进行分析.【训练3】函数f (x) = x2 + (a+ 1)x + 1在1,1上为单调函数，那么实数 a的取值范围是.a+ 1a + 1解析 由题意得 一2 W 1，或一2 ?1,得a?l或aw 3.答案(一g, 3 U 1 , +)典

14、例迁移题型四闭区间上二次函数的最值【例4】函数f (x) = x2 4x 4.假设函数定义域为3,4，求函数的最值.解f (x) = (x 2)2 8开口向上，对称轴为x = 2，所以当x 3,4时，f(x)为增函数, 最小值为f (3) = 7,最大值为f (4) = 4.【迁移1】(变换条件)典例中将定义域“ 3,4 改为“ 3,4 ，其他条件不变， 求f (x)的最值.解f(x) = (x 2)2 8在3,2上是减函数，在2,4上是增函数，所以最小值为f (2)=8.又因为f ( 3) = 17, f (4) = 4.所以最大值为17.【迁移2】(改变问法)典例中函数不变， 将问题变为：

15、假设函数f(x) = x2 4x 4在(一8, 1上单调，求f(X)的最值.解 因为f (x)为开口向上的抛物线，对称轴为x = 2,所以f (x)在(一8, 1上单调递减.所以 f (x) min= f (1) = 12 4X 1 4= 7 , f(x)无最大值.综上，f (x)的最小值为一7.【迁移3】(变换条件、改变问法)将本例变为：函数f(x)=2小x + 2x+ ax，假设对任意的x 1 ,+8), f(x)>0恒成立，试求实数 a的取值范围.解 法一 f (x)>0对x 1 ,+8)恒成立，等价于x2 + 2x+ a>0对x 1 ,+8)恒成立.设 y = x2

16、+ 2x + a, x 1 ,+8)，贝y y = (x + 1)2 + a 1 在1 ,+8)上是增函数，从而ymin = 3+ a.于是当且仅当 ymin= 3+ a>0,即a> 3时，f (x)>0对x 1 ,+8)恒成立，故实数a的取值范围是(一3,+8 ).2 2法二 f (x)>0对x 1 ,+8)恒成立，等价于 x + 2x+ a>0对x恒成立，即a> x 2x对x?1恒成立.令口= x 2x = (x+ 1) 2 + 1,其在1 ,+8 )上是减函数，所以当 x= 1时，口 max=3.因此 a> 3.故实数a的取值范围是(3,+8).

17、规律方法求二次函数f (x) = ax2 + bx+ c(a>0)在区间m n上的最值的类型bb(1) 假设对称轴x = 丁在区间m n内，那么最小值为f 丁，最大值为f(m , f(n)中2a2ab较大者(或区间端点 m n中与x=亦距离较远的一个对应的函数值为最大值)b(2) 假设2a<m那么f (x)在m n上是增函数,最大值为f (n),最小值为f(m .b(3) 假设2a>n ,那么f (x)在m n上是减函数，最大值为f(m,最小值为f (n).丨課童反闻I白寸反咄啲侦效课堂达标1. 一元二次函数 y= x2 + 2x + 4,那么函数()A.对称轴为x= 1,最

18、大值为3B. 对称轴为x= 1,最大值为5C. 对称轴为x= 1,最大值为5D. 对称轴为x= 1,最小值为3解析 由y = x + 2x + 4= (x 1) + 5，知对称轴为 x = 1,最大值为5.答案 C2. 函数f(x) = x + mx+ 1的图像关于直线 x= 1对称，那么()A. m= 2B. m= 2C. m= 1D. n= 1解析 函数f (x) = x + mx+1的图像对称轴为 x= ，且只有一条对称轴，所以一 2= 1,即 n= 2.答案 A23. 函数y= 2x + x为增函数的区间是 .2 1 2 1 1解析 函数y = 2x2 + x = 2 x 2+的图像的

19、对称轴是直线x =;,图像的开口向4841下，所以函数值在对称轴 x=4的左边是增加的.答案 g, 44. 函数f (x) = 2x? 6x + 1在区间一 1,1上的最小值是 ，最大值是 .3 2 7解析 f (x) = 2 x 2 2在1,1上为减少的，.当 x = 1 时，f (x)min= 3;当 x=1 时，f ( X) max= 9 .答案 395. 试求函数y= 2x2+ 2, x N*的最小值.解 因为x N*，所以x2> 1,所以y = 2x2 + 2>4,即卩y = 2x2 + 2在x N上的最小值为4,此时x= 1 .课堂小结1. 画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口 .“三点中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点：“一线是指对称轴这条直线：“一开口是指抛物线的开口