平面问题的基本理论

1、弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题求解复杂的偏微分方程组的边值问题求解困难工程结构的形状和受力具有一定特点弹性力学的平面问题特点：某些基本未知量被限制在平面内发生的弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题平面应力问题深梁：(1) 几何特征几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 如：深梁，板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等, ab 平板yxOzy/2/2ba弹弹 性性 力力 学

2、学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论深梁：yxOzy/2/2ba(2) 受力特征受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论20zz20zxz20zyz因板很薄，外力不沿厚度 z 变化，应力沿板厚度连续分布，可认为整个薄板的各点都有：0z 0zx0zy由切应力互等可得0 xzzx0yzzyyxOzy/2/2ba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力，有弹弹 性性 力力 学学 E

3、LASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 6个应力分量只剩下平行于 xy 面的三个平面应力分量，即 、 、xyyxxy 这三个平面应力分量虽沿厚度方向有变化，但由于板很薄，这种变化也是不明显的，因此可认为是不沿厚度变化。它们只是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化。3( , )xyfx y1( , )xf x y2( , )yfx y三个变形分量也可认为是不沿厚度变化。它们只是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化。结论：结论：xyxyxyxyxyyxxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论平面应变问题平面应变问题(1)

4、几何特征几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多大得多，且沿长度方向几何形状沿长度方向几何形状和尺寸不变化和尺寸不变化。 近似认为无限长水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 因此，柱形体变形时，横截面上各点只能在其自身平面（ xy 面）内移动，而不能沿Oz 轴方向移动，即位移分量与 z 无关，而只是 x 和 y 的函数。位移分量可写成( , )( , )0uu x yvv x yw(2) 外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿平行于横截面作用，且沿长度长度 z 方向不变化。方向不变

5、化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3) 位移、变形和应力特征位移、变形和应力特征弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 同理，应力分量和变形分量也都与 z 无关，而只是 x 和 y 的函数。 由对称条件易知0zxxz0yzzy 由胡克定律知0zxxz0yzzy w 处处为零， ，而 z 一般不为零。 0z 只剩下平行于 xy 面的三个应变分量：ex、 ey、 gxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 平面应力问题与平面应变问题的区别平面应力问题与平面应变问题的区别：z

6、向位移0w 0w 正应变分量1()1()()xxyyyxzxyEEE z 向正应力0z()zxy1()1()1()xxyzyyzxzzxy E E E弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论平面问题的求解平面问题的求解问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界

7、条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyxgee,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（

8、2）位移边界条件；）位移边界条件；弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.2 平衡微分方程平衡微分方程 物体在外力（含体力和面力）作用下处于平衡状态，则将其分割成若干任意形状的单元体后，每个单元体仍然平衡；反之，分割后每个单元体的平衡，也保证了整个物体的平衡。 从薄板或柱形体中取出一个微小正平行六面体作为单元体，其 x 和 y 方向的尺寸分别为 dx 和 dy，z 方向的尺寸为一个单位长度。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 应力分量是 x 和 y 的函数，设左面的正应力为 x ，则右面的正应

9、力为2221dd2xxxxxxx略去二阶及其以上微量 ，则右面的正应力为dxxxx同理，左面切应力为xy ，则右面的切应力为dxyxyxx设上面正应力为y ，则下面的正应力为设上面切应力为yx ，则下面的切应力为dyyyydyxyxyy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 六面体的体力均匀分布，作用于六面体的体积中心 C，记为 fx 和 fy 。xdxxxxydyyyyxyyxdxyxyxxdyxyxyyxyCfxfyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyyxdxyx

10、yxxdyxyxyyxyCfxfyOdd0dd1d122dddd1d1022xyCxyxyyxyxyxxxxyyxyyyxxy xyyx弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyyxdxyxyxxdyxyxyyxyCfxfyO0dd1d1dd1d1d d10yxxxxxyxyxxFxyyyxxyxfx y +0yxxxfxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyyxdxyxyxxdyxyxyyxyCfxfyO0dd1d1dd1d1d d10yxyy

11、yyxyxyyFyxxxyyxyfx y +0 xyyyfxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论+0+0yxxxxyyyfxyfxy平衡微分方程平衡微分方程2个方程，三个未知量 x、 y、 yx = xy 决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑物理和几何方面的条件，才能解决问题。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态1. 应力状态：应力状态：通过物体内同一点可作无数个方位不同的截面，各个截面上的应力一般来说是不同的。物体内同一点各个截面上

12、的应力情况称为该点的应力状态应力状态。xxyyxyyxxyyxxyPOxyOPyxxyyxABpnpypxnn弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 斜面AB的外法线方向 n 的方向余弦为xyOPyxxyyxABpnpypxnncos( , )cos( , )lmn in j 设AB的长度为ds，则 PA = m ds， PB = l ds， SP AB = l ds m ds / 2d d0ddd02xxxxyxm sl sFpsl sm sfxxxyplm同理可得yyxypml弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理

13、论平面问题的基本理论 斜面AB上的正应力xyOPyxxyyxABpnpypxnn222nxyxyxylpmplmlm 斜面AB上的切应力22()()nyxyxxylpmplmlm弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2. 主应力、应力主面、应力主向主应力、应力主面、应力主向 若经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的主应力称为在P点的一个主应力主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主面应力主面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向应力主向。 应力主面上切应力为零，全应力就等于主应力，即 p = n = 。 则 px = l ， py =

14、 m xxylmlyxymlmxxyml xyyml 弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2)()xyxy 22)+()0 xyxyxy 求得两个主应力为2122=22xyxyxy12=xy两个主应力也就是最大与最小的正应力。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论设 1 与 x 轴的夹角为 a1，则111111sintancosxxymlaaa主应力1 的方向与主应力2 的方向相互垂直。设 2 与 x 轴的夹角为 a2，则222222sintancosxyymlaaa21=()yx 21tanxy

15、xa 12tantan1aa 12l ，即在与 x 轴及 y 轴成 45 的斜面上，切应力达到极值max12min2 弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.4 几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移几何方程：几何方程：位移分量与变形分量之间的关系式。OxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy 经过弹性体内的任一点P，沿 x 轴和 y 轴正方向取两个微小长度的线段 PA = dx和 PB = dy。一点的变形线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对转动转动；考察P点邻域点邻域内线段的变形：弹弹 性性 力力 学学 ELAST

16、ICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论OxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy变形前变形前变形后变形后PABuv注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。PAduuxxdvvxxBduuyydvvyy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论PA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyePB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxeOxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本

17、理论P点的切应变：点的切应变：P点两直角线段夹角的变化点两直角线段夹角的变化yuxvxygyudyudyyuutanaatanbbxvdxvdxxvvbagxyOxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论当当 u、v 已知，则已知，则 e ex、 e ey 、 g gxy可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 e ex、 e ey 、 g gxy ，不能确定，不能确定u、v。整理得：整理得：yuxvyvxuxyyxgee几何方程几何方程（2-8）说明：说明：（1）反映任一点的反映任

18、一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关系，是弹性力学的基本间的关系，是弹性力学的基本方程之一。方程之一。（2）（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3） 以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。g gxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。 即：即： ,0, 0, 0时当xyyxgee0 xuxe0yvye0yuxvxyg(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(21xfvyfu(d)将将(d)代入代入(c

19、)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论xvxfyuyf0201)()(或写成：或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅的函数，右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等于同一常两边只能等于同一常数，即数，即 dyydf)(1(d)积分积分(e) ，得：，得： dxxdf)(2(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得）得:(2-9)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达

20、式弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论讨论：讨论： (2-9)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式（1）,0, 00时当vu仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv则弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2222yxvu（3）,0, 000时当uvxvyu则xyxybtantanb说明：说明：OPr P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）xyOPyxrr

21、xyb弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.5 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论)(1yxzzEe1()xxyzEe )(1xzyyEexyxyGg1yzyzGg1zxzxGg1（2-10）其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量； 为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比

22、。)1 (2EG 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中)(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2（2-12） 0zxyzz1()zzxyEe 1()xxyzEe 1()yyzxEe 1xyxyGg1yzyzGg1zxzxGg弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问

23、题的基本理论注：注：(1) 0ze)(yxzEe(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyEee)(12yxxEeexyxyEg)1 (2)(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程平面应变问题平面应变问题中中)1(12yxxEexyxyEg)1 (2（2-13） )1(12xyyEe)(yxz0zxyzzgge)(1yxzzEe1()xxyzEe )(1xzyyEexyxyGg1yzyzGg1zxzxGg1弹弹 性性 力力 学学

24、ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论注：注：(2) 平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：(1) 平面应变问题中平面应变问题中0ze，但，但0z)(yxz)1(12yxxEexyxyEg)1 (2)1(12xyyEe弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）两类平面问题物理方程的转换：）两类平面问题物理方程的转换：(1) 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：1(2) 平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转

25、换为：21E12)1 ()21 (EEE)1(12yxxEexyxyEg)1 (2)1(12xyyEe)(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.6 边界条件边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）（2）几何方程：）几何方程：yuxvyvxuxyyxgee（2-8）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyEe)(1y

26、xxEexyxyEg)1 (2（2-12）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,gee8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2. 边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqPuSSuSSS是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混

27、合边界 三类边界三类边界弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：可表达为：vu,vvuuss（2-14） 说明：说明：,0时当 vu称为固定位移边界。称为固定位移边界。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面

28、力分量 边界边界 应力边界应力边界yxff ,xyOdxdydsPABpxpynyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyyylmpyxxxmlp式中取：式中取：yyxxfpfp,sxyxysyysxx,得到：得到：ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。向余弦。 弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：. 0, 1mlysxyxsxff,

29、xsysysyff,ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15） 弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 1ml()()()()xsxysxysxysylmfmlf0, 0sxysx(3), hyqsxysysxysx0) 1(0) 1(01, 0ml0,sxysyq0,0 xyff0,xyffq弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论1,

30、0ml0, 0sxysy(4), hy00) 1(0) 1(0sxysysxysx说明：说明：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0,0 xyffxyahhq弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxybhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml00,( )xyxffp xpl 代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：

31、）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxnb弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论0)sin(cos0cos)sin(bbbbyxyxyx(3)AC段（段（y =x tan ）:cos( , )cos(90)sinln xbb cos( , )cosmn ybABCxybhp(x)p0lnb弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：bbsin,cosmlsi

32、nyfygbcosxfygb由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有()()()()xsxysxysxysylmfmlfbgbbsin)cos()sin(yxyybgbbcos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：aasin,cosmlbtanyxatanyx 0 xyff0cossinxyyxaa0sincosxyxaaa弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点尖点A处无应力存在。处无应力存在。解：解： 平面应力问题，

33、在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即AB 边界：边界：111sin,cosaaml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有()()()()xsxysxysxysylmfmlf（1）0cossin0sincos1111xyyxyxaaaa0 xyff弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论0cossin0sincos1111xyyxyxaaaaAC 边界：边界：12122sincoscosaaaml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足

34、式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例6弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。0 xyffbbsin)90cos(l()()()()xsxysxysxysylmfmlfbbcos)180cos(m上侧：上侧：0cos)(s

35、in)(0cos)(sin)(bbbbsysxysxysx下侧：下侧：0,xf 0l1myfq qsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(0)(sxyqsy)(弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例6上侧：上侧：,xfq0l1m0yf 0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(sy()()()()xsxysxysxysylmfmlf0,xf ,sin)90cos(aalacosm下侧：下侧：Nayfp psysxysxysxa

36、aaacos)(sin()(0cos)()sin()(弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）混合边界条件）混合边界条件(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：0 xyysf 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件弹弹 性

37、性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论平面问题的基本方程平面问题的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）2. 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyxgee（2-8）3. 物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）)(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2（2-12）4. 边界条件边界条件位移：位移：vvuuss（2-14）应力：应力：ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.7 圣维

38、南原理圣维南原理问题的提出：问题的提出：FFF 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。F弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系

39、静力等效力系。)(iOOFmMiFR 这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受

40、的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。(2)有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1) 必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2) 只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界

41、次要边界弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0hxxyhxxyg右侧面：右侧面：0, 1ml,0 xyfy fg代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问

42、题的基本理论上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(asinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(asin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(acosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论yaPxyyx上端面：上端面： （方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy0asin0Pdxhhyy0sinaP 0OMxdxyhhy00sin2ahPxdxyhhy

43、0)(asin2hP 0 xFdxyhhyx00cosaPdxyhhyx0)(acosP可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyxgee（2-8）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面

44、问题的基本理论平面问题的基本理论（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2（2-12）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）ysxysyxsxysxflmfml)()()()(vvuuss,弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力再由几何

45、方程、物理方程求出应力与形变分量。与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分应力分量量表示，并求出表示，并求出应力分量应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量位移分量 和部分和部分应力分量应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题

46、的基本理论3. 按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示)(12xyyEee)(12yxxEeexyxyEg)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-16）（ 2-17 ）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论将式将式(2-17)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE（2-18）弹弹 性性

47、力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,应力边界条件：应力边界条件：ysxysyxsxysxflmfml)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-17）（2-14）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论将式（将式（2-17）代入，得）代入，得yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2-19）式（式（2-18）、（）、（2-14）、（）、（2-19）构成

48、按位移求解问题的基本方程）构成按位移求解问题的基本方程说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE（2-18）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuu

49、ss,（2-14）应力边界条件：应力边界条件：yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2-19）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0yyyxfyx0 xxyxfyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程， 从从形变形变、形形变与应力的关系变与应

50、力的关系建立补充方程。建立补充方程。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyxgee,（2-8）作如下运算：作如下运算：2323xyvyxu2322yxuyxe2322xyvxyexvyuxyyxxy22g显然有：显然有：yxxyxyyxgee22222（2-20） 形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这

51、些位移分量。xyyxgee,弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例：例：Cxyxyg0 xe0ye其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0yvxu积分得：积分得：)()(21yfvxfu由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxygCxydxxdfdyydf)()(21显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2. 变形协调方程的应力表示变形协调方

52、程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程yxxyxyyxgee22222（2-20）22222()()2(1)xyxyyxx yyx )(1xyyEe)(1yxxEexyxyEg)1 (2（2-12）（a）代入代入相容方程相容方程，弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论利用平衡方程利用平衡方程0yyyxfyx0 xxyxfyx（2-2）xfxxyxxxy222xxxyfxyyyxyfyxyfxfyxyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yfyyxyyxy222（b）得得弹弹 性性 力力 学学 ELAS

53、TICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：yfxfxyyxyx)1 ()(2222将将 上式整理得：上式整理得：yfxfyxxyyxyxxyyx22222222)1 ()()(（2-21）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应力情形）（平面应力情形）22222()()2(1)xyxyyxx yyx （a）yfxfyxyxyxyxxy222222（b）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1（2-22

54、）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）当体力当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即yfxfyxyxyx11)(22220)(2222yxyx（2-23）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yyyxfyx0 xxyxfyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yfxfxyyxyx)1 ()(2222（2-21）（平面应力情形）（平面应力情形）弹

55、弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）边界条件：）边界条件：ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连通问题单连通问题，满足上述方程的解是唯一，满足上述方程的解是唯一正确解。正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方程外，还需满足，满足上述方程外，还需满足位移单值条件位移单值条件，才是，才是唯一正确解。唯一正确解。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本

56、理论平面问题的基本理论例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyxgee解解:（a）（b）（1） 将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：0yyyxfyx0 xxyxfyx（2-2）03322xyxy033 yy 满足满足弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论将式（将式（a）代入相

57、容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx2222()xyxy2223330yxy式（式（a）不是一组可能的应力场。）不是一组可能的应力场。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyxgee（a）（b）（2）解解:将式

58、（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：yxxyxyyxgee2222202222222CCyxxyxyyxgeeCyx222e022xyeCyxxy22g式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论例例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不计体力。试根作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力据材料力学公式，写出弯曲应力 x 和剪应力和剪应力 xy 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压

59、应力 y = 0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyx解解材料力学解答：材料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0 xyff弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0yxyyfxy0 xyxxfxy（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIPyIP0000式

60、（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。0)(2222yxyx代入代入相容方程：相容方程：02222xyIPyx0再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？0, 022hyyxhyy上、下侧边界：上、下侧边界：弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的基本理论平面问题的基本理论00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY2. 平面问题的