第三章(2)周期信号的频谱

1、编辑课件 1、傅里叶级数的三角形式、傅里叶级数的三角形式 2、傅里叶级数的指数形式、傅里叶级数的指数形式 3、傅里叶系数的奇偶性、傅里叶系数的奇偶性编辑课件 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、一、 周期信号的频谱周期信号的频谱 1)0cos(2)(nnntnAAtf dtetfTeFeAFTtjnjnjnnTnn 22121 ntjnneF如果将如果将 ， 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。 nAn nn

2、 nFn如果将如果将 ， 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。 nn 编辑课件例例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出试画出f(t)的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。 解解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率=(r

3、ad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有 编辑课件8 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A20100211编辑课件图图 3.3-1 (a)振幅谱；振幅谱； (b) 相位谱相位谱 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8编辑课件图 3.3-2 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱 |Fn|o23456(a)121.510.20.43456 no2

4、34561530451020453015304510204530234562(b)编辑课件二、二、 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱T 设有一幅度为设有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期性矩形脉的周期性矩形脉 冲，其周期为冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数。，求其复傅里叶系数。图 3.3-3 周期矩形脉冲12 2 0TT T2 tft编辑课件 22111 )(1222222 nnjjtjntjnTTtjnneejTnjneTdteTdtetfTF12 2 0TT T2 tft 2sin21 njjTn22sin nnT 2 nasT编辑课件xxxSasin)( -取样函数取样函数x

5、xSa10 2 2 3 3 2 nSTFan 1.它是它是偶函数。偶函数。 2. 当当 时，时， 。0 x1)( xSa3.当当 时，函数值为时，函数值为0。 0 kkx 它是无限拖尾的衰减振荡。它是无限拖尾的衰减振荡。编辑课件)2( nSaTFn . 2, 1, , 0 n该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为： ntjnntjnnenSaTeFtf)2()( 图4.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）41nF 2 2 aTS 4 4 2 0编辑课件第一个零点时谱线的序号：第一个零点时谱线的序号：零点的位置：零点的位置：相邻谱线的间隔：相邻

6、谱线的间隔：T 2 第一个零点的位置：第一个零点的位置： 2 n Tn 2 2 n kn2 2 kn 0 k 4 T41nF 2 2 aTS 4 4 2 0编辑课件 由上图由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的整数倍频

7、率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。的谐波分量。 第三为收敛性，第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。的增大而逐渐减小。 当当n时，时，|Fn|0。 编辑课件1、各谱线的幅度按包络线、各谱线的幅度按包络线 的规律变化。的规律变化。 在在 各处，即各处，即 的各处，的各处， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。于零。)2( SaT2,.) , 1(2 mm m2

8、 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。它可分解为无限多个频率分量。周期性矩形脉冲信号的频谱还有周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点自己的特点 :)20(10 fF 1 F 通常把频率范围通常把频率范围 称为周期矩形脉冲称为周期矩形脉冲 信号的信号的带宽带宽，用符号，用符号 表示，即周期矩形脉冲信表示，即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为号的频带宽度为 。编辑课件3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱：、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化。谱线间隔不变，但零点位置变化。 周期不同

9、，脉冲宽度相同时信号的频谱：周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化。零点位置不变，谱线间隔变化。 相邻谱线的间隔相邻谱线的间隔 零，周期信号的零，周期信号的 离散频谱离散频谱 非周期信号的连续频谱。非周期信号的连续频谱。 T编辑课件图3.3-4 脉冲宽度与频谱的关系1/1602/4/Fnf (t)tT0=T/ 8f (t)tT0 =T/402/8/1/ 8Fn4/02/16/1/ 4Fn4/8/tT0=T/16f (t)编辑课件f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=8f (t)tT0T=16f (t)t0T02/4/1/ 4Fn02/4/TFn02

10、/4/1/16Fn02/4/1/ 8Fn图3.3-5 周期与频谱的关系编辑课件思考：思考： .sin1.5sin513sin31sin4 tnnttttf , 5 , 3 , 1 n看作是周期性矩形脉冲看作是周期性矩形脉冲 时的情况，其偶次谐时的情况，其偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波分量。包含基波和奇次谐波分量。2T TT 011 tft编辑课件周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数: tnnEttttEtfnn sin11 4sin413sin312sin21sin11 周期三角脉冲信号的傅里

11、叶级数周期三角脉冲信号的傅里叶级数: tttEEtf5cos513cos31cos42222 2E2E T0T t tfET0T t tf编辑课件三、三、 周期信号的功率周期信号的功率周期信号是功率信号，归一化平均功率为周期信号是功率信号，归一化平均功率为 : 222)(1TTdttfTP这是时域上的表达式。这是时域上的表达式。将将 的傅里叶级数展开式代入上式得：的傅里叶级数展开式代入上式得：)(tf下面我们来讨论频域上的表达式？下面我们来讨论频域上的表达式？ 22120)cos(21TTnnndttnAATP 编辑课件 将被积函数展开，在展开式中具有形式将被积函数展开，在展开式中具有形式 的

12、余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 形式的项，当形式的项，当 时，其积分值为零，对于时，其积分值为零，对于 的项，其积的项，其积 分值为分值为 ，因此上式的积分为：，因此上式的积分为：)cos(ntn )cos(nntnA )cos(mmtmA nm nm22nAT212022221)2()(1nnTTAAdttfTP 22120)cos(21TTnnndttnAATP 编辑课件上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐功率之和。因此，周期

13、信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和。波功率之和。 212022221)2()(1nnTTAAdttfTP 由于由于 是是 的偶函数，且的偶函数，且 ，上式可改写为：，上式可改写为：nFnnnAF21 nnnnTTFFFdttfTP212202222)(1编辑课件212022221)2()(1nnTTAAdttfTP nnnnTTFFFdttfTP2122022221上两式称为上两式称为帕斯瓦尔恒等式帕斯瓦尔恒等式。 它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与 在频域中求得的信号功率相等。在频域中求得的信号功率相等。编辑课件例例 3.3-2

14、 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。量的功率所占总功率的百分比。 )(tf解解 ： 由上图可求得信号由上图可求得信号 的功率：的功率：2 . 0)1(11)(11 . 01 . 02222 dtdttfTPTTf (t)01-1-0.10.1 t1将将 展开为指数型傅里叶级数：展开为指数型傅里叶级数：)(tf ntjnneFtf)(编辑课件)2( nSaTFn)2 .0(2 .0 nSaFn 2 . 0 1 T其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 ， 这时这时 5 TnsradT/ 10105 0.2编辑课件 nnnnTTFFFdttfTP212202222)(1根据式根据式在频谱第一个零点内的各分量的功率和为在频谱第一个零点内的各分量的功率和为: 41220102nnFFP )8 . 0()6 . 0()4 . 0()2