2021版高中数学第二章函数2.2.2二次函数的性质与图象学案新人教B版必修1

1、2. 2.2二次函数的性质与图象【学习目标？ 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的根本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值.问题导学知识点一二次函数的概念思考 结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域?梳理 1.二次函数的定义函数叫做二次函数，定义域为R.2. 二次函数的解析式2(1) 一般式：y= ax + bx+ c(a 0).2 顶点式：y= a(x h) + k,其中(h, k)为顶点.2 两根式：y= a(x xi)( x X2)，其中 xi, X2为方程 ax

2、 + bx + c= 0( a 0)的根.知识点二二次函数的图象与性质思考1二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个是影响图象的开口方向?思考2 二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？梳理二次函数的性质与图象a> 0av 0图象11图象特点(i)对称轴：(2)顶点：定义域R值域4ac b2 -km4a ，十4ac b2oo ，4a奇偶性b= 0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数单调性为减区间，为增区间为增区间，为减区间最值抛物线有最低点，tb亠当X = 2a时，y有最小值 ymin =抛物线有最高点，当X = 亦时，y有最大值 ymax=例1画出函数f(

3、x) = X2+ 2x+ 3的图象，并根据图象答复以下问题:(1) 比拟 f(0) , f(1)，f(3)的大小；(2) 假设 xivX2V 1,比拟 f(Xi)与 f(X2)的大小；由图象判断X为何值时，y>0, y = 0, yv 0.反思与感悟 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定一 舟的符号另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.2跟踪训练1 二次函数 y = 2x - 4x 6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标;由图象判断x为何值时，y>0, y =

4、 0, yv 0.类型二二次函数的对称性与单调性例2函数f(x)= x2 ax的单调增区间为(2 ,+).(1)求参数a的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R上的最小值.引申探究1假设f(x) = x2 ax在(2 ,+s)上单调递增，那么 a的取值范围为 2. 假设f(x)= x2 ax在1,3上单调，求a的范围.反思与感悟 (1)利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法解答此类函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题.问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系.比拟二次函数函数值的大小的方法 假设抛物线开口向上，那么离对称轴越近，函数值

5、越小. 假设抛物线开口向下，那么离对称轴越近，函数值越大.2 1跟踪训练2 函数y= ax + (a 1)x+4在1 ,)上是减函数，求 a的范围.类型三二次函数在给定区间上的最值的求法引申探究21. 假设求f(x) = x 2ax+ 2在2,4上的最大值，如何分类？2. 假设f(x) = x 2ax+ 2在2,4上的最大值为 10,求a的值.3. 假设f (x) = x2 2ax+ 2,当x 2,4时，f (x) < a恒成立，求a的取值范围.例 3求._ 2次函数f(x) = x - 2ax+ 2在2,4上的最小值.反思与感悟二次函数最值问题的解题策略(1) 确定对称轴，抛物线的开口

6、方向，作图.(2) 在图象上标出定义域的位置.(3) 观察单调性写出最值.跟踪训练3 函数f(x) = x2- 2ax+ 2a.(1)假设函数f (x)没有零点，求实数 a的取值范围；a的取值范围.31当堂训练假设x 1,2时，f (x) >- 2恒成立，求实数1. 函数y= x2+ 2x - 2的图象的顶点坐标是()A (2 , - 2)B. (1 , - 2)c. (1 , - 3)D. ( 1, - 3)2. 一元二次函数 y = x2 + 2x + 4,那么函数()A. 对称轴为x= 1,最大值为3B. 对称轴为x= 1,最大值为5C. 对称轴为x= 1,最大值为5D. 对称轴为

7、x=- 1,最小值为33. 二次函数y= 4x2- m灶5的对称轴为x=- 2，那么当x= 1时，y的值为()A. 7 B . 1 C . 17 D . 254. 假设二次函数 y = 3x + 2( a- 1)x + b在区间(一, 1上为减少的，那么()A. av 2 B . aw 2 C . a> 2 D . a?一25. 函数f(x) = x2+ 2x+ 1在2, 1上的最大值是 ，最小值是 .规律与方法 1. 画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口 .“三点中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线是指对称轴这条直线；“一开

8、口是指抛物线的开口方向.2. 假设求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，那么以对称轴是否在该区间内为依据分 类讨论：(1) 假设对称轴不在所求区间内，那么可根据单调性求值域；(2) 假设对称轴在所求区间内，那么最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比 较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.合案精析问题导学 知识点一思考 函数y = ax2 + bx+ c(a 0)叫二次函数，定义域为R梳理21. y = ax + bx+ c( a* 0)知识点二 思考1 x2的系数a影响开口方向.思考2 对称轴的位置与 a, b两个量有关.对称轴为bx= 2?梳理b 4ac b22a，4

9、abOO ，2ab 十O2a，十bOO，2ab-km2a，十4ac b24ac b24a4a题型探究2f (x) = x + 2x + 3=(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x= 1且开口向下，且|0 1| v|3 1|，故f(1)> f (0) > f(3). T X1V X2V 1, |X1 1| > |X2 1| , f (X1) V f (X2).由图可知：当 x> 3 或 XV 1 时，yv 0；当 x= 1 或 x= 3 时，y= 0;当一1v Xv 3 时，y> 0.跟踪训练 1 解(1)由 y = 2x2 4x 6 = 2(x 1)2

10、8,图象如图：由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x = 1,顶点坐标是(1 , 8).由图象可知，x>3,或xv 1时，y> 0; x= 1 或 x= 3 时，y = 0; 1 v xv 3 时，yv 0.22a 2 a例 2 解 (1) f(x) = x ax= (x ),af(x)的单调增区间为 2，.又f (x)的单调增区间为(2 ,+8),a 亦 2= 2 即 a= 4.(2) 对称轴方程为x= 2.(3) f (x)min= f (2) = 4.引申探究1. ( a, 4a解析 /2,. aw4.2. 解/ f(x) = x ax 在1,3上单调，区间必在对称轴

11、x= |的一侧，a亠a产1 或 3, aw2 或 a>6,即 a ( a, 2 U 6 ,+a).1跟踪训练2解(1)当a= 0时，y = x+：在1 ,+a)上是减函数.4a 1(2)当a> 0时，在右，+a 上为增函数，不合题意.a 1 当av 0时，在 一1孑，+a 上为减函数，a 12a1w 1,即即 aw3,a< 0.综上所述a ( g,0.例3 解 / f(x) = x 2ax+ 2的对称轴为x = a且开口向上.当aw2时，f (x)在2,4上为增函数.f(x)min= f (2) = 6 4a.2 当 2< aw4 时,f (x) min= f (a)

12、= 2 a . 当a>4时，f(x)在2,4上为减函数，- f ( x) min = f (4) = 18 8a.6 4a, aw2,2综上所述：f ( x) min= 2 a , 2< aw 4,18 8a, a>4.引申探究1. 解区间2,4的中点为3.T f (x) = x2 2ax + 2的对称轴为x= a且开口向上,当 aw3 时，f (x)max= f(4) = 18 8a,当a> 3时，f(x) max= f (2) = 6 4a.18 8a, aw 3,综上所述：f (x) max=6 4a, a> 3.2. 解由探究1知，当aw3时，f ( x) max= 18 8a= 10, a= 1 ；当 a>3 时，f (x) max= 6 4a = 10, a= 1(舍).综上所述：a= 1.3解由探究1知： 当 aw3 时，f (x) max= 18 8aw a 恒成立， a>2,即即 a 2,3. 当a> 3时，f(x) max= 6 4aw a,6 a> , a>3.综上所述：a 2 ,+g).跟踪训练 3 解 (1) A = ( 2a)2 8a< 0