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文档简介

1、习题课数列求和学习目标掌握数列求和的几种根本方法.知识梳理自主学习知识点数列求和的方法1 .根本求和公式(1)等差数列的前n项和公式:Si=n (ai+ a"2=n ai +n (n1)2_d.等比数列的前n项和公式:当q= 1 时,S= nai;当 ql 时,ai (1 qn) s=1 qa1 一 anq1 q .2.倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么 求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n项和即是用此法推导的.X1111思考 f (x) = 1x,利用等差数列求和的方法求f(5 + f(4)+ f(3)+ f

2、(2)+ f(1)+ f(2)+ f (3) + f(4) + f (5) =.答案9解析设原式=S,小1111那么 S= f(5) + f(4) + f(3) + f(2) + f(1) + f(2) + f(-) + f(4)+ f(5),11 n nf (n) + f(n)=存n + 1 = 1,1 + -ns= 4+ f(1) = 4 + *=9.3 .错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列 的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4 .裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而

3、求得其和.裂项相消求和经常用到以下拆项公式:1 1 1(1) n (n+ 1) = n n+ 1;1 1 1 1(2n- 1)( 2n+ 1) = 2 2n 1一 2n+ 1 ;5 .分组求和法 分组求和一般适用于两种形式:(1)假设an= bn土 6,且S, 6为等差或等比数列,可采用分组求和法求a的前n项和;bn, n为奇数,通项公式为an=的数列,其中数列bn , cn是等比数列或等差数列,可Cn, n为偶数采用分组求和法求和.6 .并项求和法一个数列的前n项和,可两两结合求解,那么称之为并项求和.形如an= ( 1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.戸題型探究 車点突破题型一分组求和

4、法例1 在等差数列an中,a2= 4, a4 + a7= 15.(1)求数列an的通项公式; 设bn= 2an 2+ n,求bi + b2 + b3+ bo的值.解(1)设等差数列an的公差为d.由得a1 + d= 4,(a1 + 3d) + ( a1 + 6d)= 15,解得d= 1.所以 &= a1 + (n 1) d = n+ 2.(2)由(1)可得 bn= 2n+ n,所以 b+ b2+ b3+-+ b1o= (2 + 1) + (2 2+ 2) + (2 3+ 3) + (2 10+ 10)2310=(2 + 2 + 2 + 2 ) + (1 + 2+ 3+-+ 10)102

5、 (1 2 )(1 + 10)X 10=12+ 2=(2 11 2) + 5511=2 + 53= 2 101.反思与感悟某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.跟踪训练1 an是等差数列,bn是等比数列,且 b2= 3, b3= 9, a1 = b,恥=b4.(1)求an的通项公式; 设Cn= an+ bn,求数列 Cn的前n项和.解(1)设数列an的公差为d, bn的公比为q,b2 = biq= 3,bi = 1,由2,得 ,ba = biq = 9q= 3. bn的通项公式 bn= biqn1= 3n1,

6、又 a1 = b1 = 1, a14= b4= 3= 27, 1 + (14 - 1)d= 27,解得 d= 2. an的通项公式 an= a+ ( n- 1)d= 1 + (n-1) x 2= 2n 1( n= 1, 2, 3,). 设数列cn的前n项和为n 1/ Cn= an+ bn= 2门一 1+ 3, Sn= C1 + C2 + C3+ + Cnn) - n +012n 1=2X 1- 1 + 3 + 2X 2- 1 + 3 + 2X 3- 1 + 3 + 2n 1 + 3= 2(1 + 2 + +30x( 1 - 3n)1-=2X(n+ 1) n2即数列cn的前n项和为n2+ 题型二

7、错位相减法求和例2 设等差数列an的前n项和为S,且S= 4S, a2n= 2an+ 1.(1)求数列an的通项公式;b1b2bn1n N*,求bn的前n项和Tn.设数列bn满足一+ += 1 了 ,a1a2an2解(1)设等差数列an的首项为日,公差为d, 由 S= 4S2, a2n= 2an+ 1 得4a1 + 6d= 8a1 + 4d,a+( 2n- 1) d= 2a1+ 2 (n 1) d+ 1, 解得 a= 1, d = 2,因此 ai= 2n 1, n N.由®+ $+ ®a1 a2ann N*,当n= 1时,1a1=2,bn1*所以一=tt, n N.an2由

8、(1)知 an= 2n 1, n N*,2n 1*所以 bn=2 , n N ,1352n 1所以 T)= 2+于+2,11352n 32n 12耳=2+2 + 24+2'卜 2. + t ,1122222n 1312n 1两式相减得 2Tn=2 + j2+ J5+艺+ 2t 2+厂=2 2=t 2k,所以tt= 32n + 32n反思与感悟用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“ S与“ qS的表达式时应特别注意将两式“错项对齐以便下一步准确写出“$-qS的表达式假设公比是个参数 (字母),那么应先对参数加以讨论,一般情况下

9、分等于1和不等于1两种情况分别求和.跟踪训练2 数列an的前n项和为 S, ai= 1, a+t = 2$(n N).(1) 求数列an的通项an;(2) 求数列 nan的前n项和Tn.解(1) T an+ 1 = 2S1 ,S + tS+ t S= an+ t = 2S1,= 3.又T St= ai= 1,数列St是首项为1,公比为3的等比数列.- S= 3( n N).当 n时,an= 2Sn-t = 2*3 :且 ai = 1, an =1,n 22 3,n= 1,n?2.(2) Tn = ai + 2a2+ 3a3+ nan,当 n= 1 时,Tt= 1 ;当n?2时,Tn= 1 +

10、4+ 63 + 2n32,12n一 t - 3Tt = 3 + 4+ 2n3 ,3 ( i 一 3n 2)1 3=1 + (1 2n)n 1一得一2Tn= 2+ 4 + 2(3 1 + 32+ 3n 2) 2n 3t= 2 + 2 ( 丿2n 3一1Tn= 2+(n_ 2)3 n ( n?2),又T Ti= ai= 1也满足上式,.Tn= 2+ (n n 1*(n N).题型三裂项相消求和1例3求数列了+2玮41 1兀,予,的前n项和解因为通项an= -打-n + 2n1 1 1 1 11112(n nT2),所以此数列的前 n项和 s=2(1 3) + (2-4) + (31 11 115)

11、+(百n+7) + (n別3 2n+ 34 2 ( n+ 1)( n+ 2)反思与感悟 如果数列的通项公式可以化为f ( n+ 1) f(n)的形式,在数列求和时,就可以采用裂项相消法要注意相消后的项要对称,如前面留下两项,那么后面也会留下两项. 跟踪训练3 正项数列an满足an (2n 1)an 2n= 0.(1)求数列 an的通项公式an;令bn =1(n + 1) an,求数列 bn的前n项和Tn.2解 (1)由 an (2n 1) an 2n = 0,得(an 2n)( an+ 1) = 0.由于a是正项数列,所以an= 2n.(2)由 an= 2n,bn=1(n+ 1) an,/口1

12、_1,11得 bn= 2n (n+ 1) = 2(n n+)-1111111111n所以帀=2(1 2+ 2 3+ n1n+nn+i)=2(1 芮)=2( n+1)题型四并项求和法例 4 求和:$= 1+ 3 5 + 7+ (1)n(2n 1).解 当 n 为奇数时, S = ( 1 + 3) + ( 5 + 7) + ( 9+ 11) + ( 2n+ 5) + (2n 3) +(2n+ 1)+ ( 2n+ 1) = n;n 1当 n 为偶数时,S= ( 1 + 3) + ( 5+ 7) + ( 2n+ 3) + (2 n 1) = 2 n2 = n.反思与感悟 当数列中的项正、负相间时,通常

13、采用并项求和法,但应注意对n的取值的奇偶性进行讨论.其结果有时可以统一书写,有时要分段书写.跟踪训练4 an是等比数列,前 n项和为S(n N),且?a11 2ar a;,$=63.(1)求an的通项公式;假设对任意的n N, bn是log 2an和log 2an+1的等差中项,求数列( 1)它的前2n项和.(1)设数列an的公比为q.112由,有二=,解得q= 2或q= 1.a1 aq ag1 q6 又由 S6= a1 = 63,知 qz 1,1 q1 26所以 a = 63,得 a1 = 1.所以 an= 2 1.1 21 1n !n 1(2)由题意,得 bn = 2(log 2an+ l

14、og 2an+1) = (log 22+ log 22 ) = n "1即bn是首项为2,公差为1的等差数列.设数列( 1) nb2的前n项和为Tn,贝UT2n = ( b1+ b2) + ( b3+ b4) + ( b2n 1 + bin)2n (b+ b2n)2=5 + b2+ b2+ b4+ b2n 1 + b2n= 2n.易错点错位相减法1例 5 f(x) = x + 2x2 + 3x3+ nxn,求 f (功.111 1 1解f(2)= 2+2X戸+ 3X戸+ nx尹 2f(2)=寺+ 2X 右+ 3X 2 + nxp+i,111111 n得,歹(2)= 2+2 + 2+歹

15、一2+-1J-丄I n n +1 ,-f(2) = 2-误区警示(1)同乘的系数为等比数列的公比. 指数相同的项相减. 等比数列的项数是(n 1)项还是n项.(4) 指数式的计算是否正确.(5) 在涉及到公比为字母时应注意讨论q是否为1.戸当堂检测自杳自纠1 .设an为等比数列,bn为等差数列,且 b1 = 0 , Cn=?+ 6 ,假设数列 6是1, 1, 2,, 那么数列6的前10项和为()A. 978 B . 557 C . 467 D . 979答案 Aq+ d= 12解析由题意可得a1= 1,设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,贝U 2,二q2q + 2d= 22q=0,qz0

16、,二 q= 2,. d= 1,an= 2 , bn= (n 1)( 1) = 1 n,.°. Cn= 2 + 1 n,设数列6的前n项和为S,. So= 978.2 2 2 2 2 22. 100 99 + 98 97 + 2 1 的值是()A. 5 000 B . 5 050C. 10 100 D . 20 200答案 B解析 对相邻两项由平方差公式得,原式=(100 + 99) + (98 + 97) + (2 + 1) = 5 050.3. 数列 an的通项an = n2n,数列an的前n项和S为()A. n 2n+1 B . n 2n+1 2n+1n+1C. (n 1)2+ 2 D . n 2+ 2答案 C解析 S= 1 X 2 + 2X 2 2 + 3X 2 3+-+ n 2 n,234n +12S= 1X2 + 2X2 + 3X2 + n2,相减得-23S= 2+ 2 + 2 + +nn+12 n 2n +1n+ 1=-2+ (1 n)2 $= (n 1)2n+1 + 2.11114. 数列1空,24, 3§, 4池,的前n项和为()1 2 1 1 1A.2(n + n + 2)才 B. 2“(n+ 1) + 1 才1 2 1 1 ,1 C.q(n-n+ 2)尹 D. 2“(n+1) + 1 答案 A1 1 1 1解析s= 12+ 24 +门

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