控制工程基础第三章参考答案

1、第三章习题及答案,一、，_1 , 一 ,.3-1.假设温度计可用传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要ts 11min时间才能指示出实际水温的98%勺数值，试问该温度计指示出实际水温从10峨化到90%斤需的时间是多少？解： 4t 1min, t=0.25mintt1h(t1)=1-e t 0.1, t1= tln0.9；t2h(t2)=0.9=1-e t , t2t ln0.1tr t2 t1 t in 09 2.2t 0.55min r 210.12.已知某系统的微分方程为y (t) 3y (t) 2 f (t) 3f (t),初始条件y(0 ) 1, y (0 )

2、2,试求：系统的零输入响应 yx(t)；激励f (t)(t)时，系统的零状态响应 yf(t)和全响应y(t)；3t激励f (t) e (t)时，系统的零状态响应 yf(t)和全响应y(t)。解：(1)算子方程为:(p 1)(p 2)y(t) (p 3)f(t)yx(t)aeyx(t) 4ea2e 2t3e 2t, t1 a a22 a 2a2(2) h (p) 2 p 3-h(t)p2 3p 2 p 1 p 2a 4a23(2et e2t) (t)yf(t) h(t)* (t) (3 2et ,e2t) (t)y(t)yx(t)yf(t)(12et5e2t) (t)3tt 2t yf(t) h

3、(t)*et(t) (et e t) (t)y(t) yx(t)yf(t) (5e t 4e2t)(t)3.已知某系统的微分方程为y"(t) 3y'(t) 2y(t)f'(t) 3f (t),当激励 f(t) = e 4t (t)时，系统的全响应y (14e t 7e2t 1e 4t) (t)。试求零输入响应yx(t)与零状态响应yyt)、自由响 326应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。解：h(p)yf (t)p 32p1 2 3p 22te:eg ,14t1e e622t2e 2(t)d (t)2et) (t) 3d-te2-3(零状态响应)e1-22t2t(零状态

4、响应)yx(t) y(t)yf (4et 3e2t) (t)强迫响应：1e 4t (t);自由响应:(134e t 7 e 2t) (t);y(t)全为暂态，不含稳态响应.4.设系统特征方程为：s 3 3 3 512 1536 0所以，此系统是稳定的。5.试确定下图所示系统的稳定性 6s6121066 3 10 1 10 512 0 12s6121 1062 0 10s 3 0。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的 稳定性。解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1, a3=6, a2=12, a1=10, ao=3均大于零，且有61000一 s 1解：(a). g(s) s10s(s 1)

5、( 2s 101 s(s 1)10(s 1)(s21)2 ,d(s)= s (s21) 10(s1)21s210s,3routh.s2 s10210 s系统稳定。210 1 八>0211(b). (s)10s(s 2)10d(s)= s1 2102s 10满足必要条件，故系统稳定。6,已知单位反馈系统的开环传递函数为2-'s(0.01s0.2 s 1)试求系统稳定时，参数k和的取值关系。解：d(s) s(0.01s_s 102s 10 0.2 s 1)_32d(s) s 20 s 100s100krouth: s31100s2 200100ki 2000100ks 020s0 1

6、00k 00k 一一一由routh表第一列系数大于 0得k 0 ，即k 20 (0,k0)k 207.设单位反馈系统的开环传递函数为g(s)，要求闭环特征根的实部均小于s(1 0.2s)(1 0.1s)-1 ,求k值应取的范围。解：系统特征方程为s(1.0.2s)(10.1s) k 0要使系统特征根实部小于1 ,可以把原虚轴向左平移一个单位，令 w s 1 ,即s w 1,代入原特征方程并整理得0.02w30.24w20.46w k0.720运用劳斯判据，最后得0.72k 6.242=9.6%、峰值时间8.设系统的闭环传递函数为gc(s)-n2，试求最大超调量b %s2 2 ns ;tp=0.

7、2秒时的闭环传递函数的参数e和con的值。解：:% e 1 2 100%=9.6%. y =0.6,.tp=一.2 =02314co n= -19.6rad/std 120.2.1 0.62p9.设单位负反馈系统的开环传递函数为gk(s)s(s 6)25求(1)系统的阻尼比i和无阻尼自然频率(2)系统的峰值时间tp、超调量b%、调整时间t&=0.02);解：系统闭环传递函数gb(s)25s(s 6)1 -25s(s25s(s 6) 2525s2 6s 25与标准形式对比，可知2 wn6wn50.62'wdwn 11 0.626)w2 25tp0.7854e1 2100%0.61

8、 0.62e100% 9.5%ts41.33wn10. 一阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益2 ,调节时间ts0.4s,试确定参数ki, k2的值。图3-45系统结构图解由结构图写出闭环系统传递函数ki(s)-1sk1k2k1k1k21k2s 1k1k2令闭环增益k1k2得：k20.5令调节时间ts3tk1k20.4,得：k115。11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：tc(t)c(t)r(t)r(t)近似描述，其中，0 (t ) 1。试证系统的动态性能指标为:td 0.693 lntr 2.2t ；tst底)t解 设单位阶跃输入 r(s)当初始条件为0时有：c(sr(s)s 1ts

9、1tsc(t)h(t)tts1)当 ttd2)t/t eh(t)0.5e td/t etdtjte d ;in 2ln 二ttdttt ln2 ln t求tr (即c(t)从0.1到0.9所需时间)h(t) 0.9h(t) 0.1trt2t11t1 e ; t1 »t0.9 t ln 一t1/t . ;0.12.2t3)求 tsh(ts) 0.95 1 te t/tt2t1tln( ttln(ln0.1ln0.9ts tln ty-ln0.05tln t in 20 t312.已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。d(s)2s42s34s2 11

10、s 10 0(2)d(s)12s324s232s48(3 )d(s)(4 )d(s)2s424s348s225s50解（1）d(s)2s42s34s211s10=0routh :11s4第一列元素变号两次,10(2)d(s)routh :s41012102个正根。3s41212s324s212242432s 48=0324832 3 48 c1634 24 316 c12412 16 4 48 012482辅助方程12s48 0,24辅助方程求导：24s 048系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根s1,2j2o(3) d(s)2s4routh :-1s4-2辅助方程2s4 2辅助方程

11、求导 8s3s2-2第一列元素变号一次,16-21个正根；由辅助方程2s42 0可解出:2(s 1)(s 1)(s j)(s j)d(s)5 c 4s 2ss 2 (s 2)(s 1)(s1)(s j)(s j)(4) d(s)2 s4 24s348s2 25s50routh :24-25s448-50辅助方程2 s4 48s2 5096辅助方程求导 8s3 96s 0s224-50338/3-50第一列元素变号一次,有 1个正根;由辅助方程2s448s2 50 0可解出:2s4 48s2 50 2(s 1)(s 1)(s j5)(s j5)d(s) s5 2s4 24s3 48s2 25s

12、50 (s 2)(s 1)(s 1)(s j5)(s j5)1(t)、t和t2时系统的稳态13 .已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为庆 o g(s)10(0.1s 1)(0.5s 1) g (s) 7( s2 3s(s 4)(s22s 2)解：g(s)10(0.1s 1)(0.5s 1)k 10v 0d(s)(0.1s 1)(0.5s 1) 100经判断系统稳定r(t) 1(t) a1 k111mt) t r(t) essesst2 g(s) s(s 篇2 32s 2)7 3 21k -4 28v 1一2 一 一d(s) s(s 4)(s 2s 2) 7(s 3) 0

13、经判断：系统不稳定。14 .已知单位负反馈系统的开环传递函数如下:gk(s)100s(s 2)求：(1)试确定系统的型次 v和开环增益k;(2)试求输入为r(t)1 3t时，系统的稳态误差。解：(1)将传递函数化成标准形式gk10050s(s 2)s(0.5s 1)可见，v = 1,这是个i型系统开环增益k= 50;(2)讨论输入信号,r(t) 1 3t ,即 a= 1, b= 3a误差ess1 kpb 13- 0 0.06 0.06kv15015 .已知单位负反馈系统的开环传递函数如下:求：(2)解：(1)gkgk试确定系统的型次试求输入为r(t)2_s (s 0.1)(s 0.2)v和开环

14、增益k;5 2t 4t2时，系统的稳态误差。将传递函数化成标准形式1002s2(s 0.1)(s 0.2)(10s 1)(5s 1)可见，v=2,这是一个ii型系统开环增益k= 100;(2)讨论输入信号,r(t) 52t24t ,即 a= 5, b= 2, c=4a误差e1 kpbckvka524- 0 0 0.04 0.04110016.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定, 图(a)和(b)分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的k值为1。加卷黑k10s-f1(a)若r(t) 1(t) , n(t)0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2 %各需多长时间?当有阶跃扰动

15、n(t)0.1 时,求扰动对两种系统的温度的影响。解 (1)对(a)系统:h(t)ga(s)0.632对(a)系统:h(t)对(a)10s 1110s 1时间常数t 10(a)系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间;100b(s)10010s 10110110s 1101,10时间常数t 01010.632系统:对(b)系统:(b)系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。gn(s)n(t)n(s)n(t)c(s) 1n(s)0.1时，该扰动影响将一直保持。c(s)n(s)1"igo-1 -10s 110s 110s1010.1时，最终扰动影响为0.11010

16、.001。17.单位反馈系统的开环传递函数g(s) 4，求单位阶跃响应s(s 5)h(t)和调节时间ts。解：依题，系统闭环传递函数(s 1)(s 4)(s41 )(st1t2)t11t20.25c(s) (s)r(s)c0s(s 1)( s 4)c0 lim ss 0(s) r(s) lims 0(s 1)(s 4)213b）所示。试确定系统参数 k1, k2和a。图3-52系统结楂图及甫位阶联响应解：由系统阶跃响应曲线有h( ) 3tp 0.1oo (4 3), 333.3oo系统闭环传递函数为ci4s(s 4)r(s) 网s 043c24 ，t2(1)由式（1）另外nk23simi(s1

17、)sim4(s4)(s) r(s)4s(s 1)!凡hts(s)2nk2联立求解得lims 0k1k221/s as k10.3333.28t14-e 31 4t-e35t13.3t13.3。k1k22s2 nst pe0.133.3oo1108a2n22h()lim s (s) 一 s 0q2s ask12n2nk12n18.设下图（a）19.设角速度指示随动系统结构图如下图所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能s0kk 0短，问开环增益 k应取何值，调节时间ts是多少?解依题意应取1/t。1,21 ,这时可设闭环极点为写出系统闭环传递函数(s)10s 10k10k闭环特征多项

18、式比较系数有因此有d(s)2t021t010s 10k1010kts4.75t00.9520.单位反馈系统的开环传递函数为:t0联立求解得t°g(s)k(s2 st00.22.51)s(ts 1)(2s 1)t0。试在满足t 0, k1的条件下,确定使系统稳定的t和k的取值范围，并以t和k为坐标画出使系统稳定的参数区域图。特征方程为:routh :d(s)2ts3 (2 t)s2(1k)s ks22t2 4综合所得条件，当 k 1时，使系统稳定的参数取值范围如图中阴影部所示。21.温度计的传递函数为,用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的 98%勺数值。若ts 1加热容器使

19、水温按10oc/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法依题意，温度计闭环传递函数(s)1ts 1由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4t)98% ,因此有 4t 1 min ,得出 t 0.25 min 。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为g(s)(s)1(s)1ts用静态误差系数法，当 r(t) 10 t时，ess10k10t 2.5 c。解法二依题意，系统误差定义为e(t) r(t) c(t),应有e(s)e(s) 1 2r(s) r(s)1 ts1 -ts 1 ts 1ess蚂 s e(s) r(s)ts 10lim s 10t 2.5 cs 0 ts 1 s22.系

20、统结构图如图所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和 静态加速度误差系数。4)解局部反馈加入前，系统开环传递函数为g(s)10(2s 1)s2(s 1)kp lim g(s)kv lim sg(s)s 02kalim s2g(s) 10局部反馈加入后，系统开环传递函数为10g(s)10(2s 1)2""s(s s 20)2s 1 s(s 1)t 120(s 1)kp lim g(s)kvlim sg(s) 0.5v s 0kalim s2g(s) 0s 023.已知单位反馈系统的开环传递函数为：g(s)7(s 1)s(s 4)(s2 2s 2)

21、c(t)。试分别求出当输入信号r(t) 1(t), t和t2时系统的稳态误差e(t) r(t)解 g(s)空0s(s 4)(s2 2s 2)由静态误差系数法r(t) 1(t)时，ess 0a 8r(t) t 时， ess 一 1.14k 7r(t) t2 时,ess24.系统结构图如图3-59所示，要使系统对r(t)而言是ii型的，试确定参数 k0和 的值。式0-双讣+1)(4s+1)(七3+1)4)k( s 1)g(s)(tis1)(t2s 1)1 kok( s 1)k( s 1)(s 1)(t2s 1) kok( s 1)(tis 1)(t2s 1)k( s 1) 2_ t1t2s(t1

22、t2kok )s (1 kok)依题意应有:1 kok 0t1t2kok联立求解得0ko 1 kt1t2此时系统开环传递函数为g(s)k(t1 t2)s kt1t2 s2考虑系统的稳定性，系统特征方程为_2_d(s) t1t2 sk(t1 t2)s k o当t1, t2, k o时，系统稳定。25.大型天线伺服系统结构图如图所示，其中=o.7o7， n =15,=o.15s 。当干扰n(t) 1o1(t),输入r(t) o时,当系统开环工作(ka=o),且输入r(t)为保证系统的稳态误差小于o.o1 o,试确定ka的取值;o时，确定由干扰n(t) 1o 1(t)引起的系统响应稳态值。功军旅大器

23、m天残及驱动机构传感器今(1)干扰作用下系统的误差传递函数为(s)四 en(s)2n(s) s( s 1)(s(s 1)ns2) kan(t) 101(t)时，令essnlim ss 0n(s)en (s)lims 010 s sen (s)100.01得:ka 1000a(2)此时有e(s) c(s)2ns(s2 2 ns 2)n(s)1022s (s 2n)esse()呵 se(s)26.已知控制系统结构图如图所示，试求:20n(s)n(t)对输出c(t)稳态值影按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数当干扰n(t) 1(t)时，系统的稳态输出;若加入虚线所画的顺馈控制时，系

24、统在干扰作用下的传递函数，并求响最小的适合k值。解 (1)无顺馈时，系统误差传递函数为(2)cn()cns)s 5(s 1)(s 5) 20s 5-2 z s 6s 25叫 n(s) n(s)s”s n(s) -5s 5(3)有顺馈时，系统误差传递函数为n(s)c(s)n(s)120k1-s1s25120(s1)(s5)s 5 20ks2 6s 25cn( ) ljm s n(s) n (s)ljm s n(s) 一5 20k25得 k 0.2527.试求图中所示系统总的稳态误差。财,、,、e(s) 1s(0.5s 1)解：(a). e(s)厂r(s) 12000.5s2 s 200s(0.5

25、s 1)en ( s)e(s)n(s)1s(0.5s 1)_20.5s s 200(b).essess1ess2ljm s e(s) r(s) lim s en(s) n (s)lims s(0.5s 1)* 1 lims 川产 1)10s 00.5s2 s 200 s s 00.5s2 s 200 se(s)s(s 1)2s2 s 1s(s 1)en ( s)1s(s 1)s(s 1)s2 s 12essess1ess2. s(s 1)1. s(s 1) 1lim s lim s s 0s s 1 sn(s)1k1k1k2gc2(s) s(ts 1) 0s s 1 s28.设复合校正控制系统

26、结构图如图3-65所示，其中n(s)为可量测扰动。若要求系统输出c(s)完全不受n(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置gc1 (s)和串联校正装置gc2(s)。1i+1图3-65复合控制系统结构图解 (1)求gs(s)。令n(s)k2 k1 k1k221k一当 r(t) 1(t)作用时，令esslim s e(s) - lim 0s 0s s 0 kl k1k2gc2(s)1 2 gc1 (s)c(s) ts 1 s s(ts 1)k2 s ki kigci(s)s(ts 1) k1(ts 1)k1k2gc2(s)gci (s)s kiki(2)求 gc2(s)。令1

27、 0e(s)s(s ki)(ts 1)e (s) r(s) 1 k1kik2gc2(s)s(ts 1)ki(ts 1)kikzgc2(s)s s(ts 1)1.明显地，取 gc2(s)可以达到目的。s29.复合控制系统结构图如图所示，图中k1 , k2, t1 , t2均为大于零的常数。确定当闭环系统稳定时，参数k1 , k2, t1, 丁2应满足的条件;当输入r(t) v0t时，选择校正装置 gc(s),使得系统无稳态误差。s(t1s 1)(t2s 1) k2gc(s)(1s 1)s(ts 1)(t2s 1) k1k2解 (1)系统误差传递函数1 k2 gc(s)e(s)s(t2 s 1)r

28、(s) 1 k1k2s(t1s 1)(t2s 1)_3d(s) t1t2 s_2(t1 t2)ss k1k23 s2 s1 s0 s列劳斯表t1t21 t2k1k2t2 t1t2k1k20工t2k1k2因kk2、t1、t2均大于零，所以只要t1 t2 t1t2k1k2即可满足稳定条件。esslim ss 0e(s) r(s)lim s v0 s(t1s 1)(t2s 1)k2gc(t1s 1)s 0s2s(t1s 1)(t2 s 1) k1k2v。k1k2可得gc(s) s k230 .系统结构图如图所示。k助s(0 is+ 1)(0 2+1)为确保系统稳定，如何取 k值？为使系统特征根全部位

29、于 s平面s1的左侧，k应取何值？若r(t) 2 t 2时，要求系统稳态误差 ess 0.25, k应取何值?g(s)50 ks(s 10)( s 5)(1)d(s) s3 15s2 50s 50krouth :s3150s21550k150(15 k)15s050kk 15k 0系统稳定范围：0 k 15(2)在d(s)中做平移变换：s s 1d(s ) (s 1)3 15(s 1)2 50(s1) 50ks3 12s 2 23s (50k 36)routh :s3123s21250k 361 312 50k s 12s050k 363125036506.240.72满足要求的范围是:0.7

30、2 k 6.2420.25k(3)由静态误差系数法当 r(t) 2t 2 时，令 ess得k 8。综合考虑稳定性与稳态误差要求可得:8 k 1531 .判断下列系统的能控性。1)xix21 1x11 0 x2x12)x2x3010x110u1001x201u2243 x31 1解：1）由于该系统控制矩阵b11 1,系统矩阵a,所以01 01 1 11ab1 0 01从而系统的能控性矩阵为1 1uc b ab 0 1显然有ranku c rank b ab满足能控性的充要条件，所以该系统能控。2）由于该系统控制矩阵为10b 011 1系统矩阵为010a 001243则有,ab010a2b0012

31、431 11 71 15从而系统的能控性矩阵为ucb ab a2b171510 0110111111171ranku c 3 n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。32 .判断下列系统的能观测性。x111 x1x210 x2x1x2x1010x1x2001x2x3243x3x1y1011x2y1 21x3一、，r，4一、，-11系统的观测矩阵c 1 1 ,系统矩阵a,得1 01 1ca 1 12 11 0系统能观性矩阵为uocca可知crankuo rank 2 nca满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。系统的观测矩阵cca系统能观性矩阵为易知ca2uocaca214148ranku orankcaca2满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。33.试确定当p与q为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。x112x2x2x1x2解 系统的能控性矩阵为ucb ab12其行列式为detb ab p2