自适应格型滤波器

1、3.3 3.3 自适应格型滤波器自适应格型滤波器3.3.1 3.3.1 引言引言 前向和后向线性预测误差滤波器是实现格型滤波器的基础前向和后向线性预测误差滤波器是实现格型滤波器的基础, , 下面先介绍信号预测的概念下面先介绍信号预测的概念. .1.1.信号的可预测性信号的可预测性 所谓所谓“预测预测”, ”, 就是利用已获得的观测数据估计当前或未来就是利用已获得的观测数据估计当前或未来的信号值的信号值. .随机信号可以预测的原因是随机信号可以预测的原因是: : 信号内部存在关联性信号内部存在关联性. . 数据间关联性愈强数据间关联性愈强, , 预测愈准确预测愈准确; ; 完全不关联完全不关联,

2、 , 则无法预测则无法预测. . 系统具有惯性系统具有惯性. . 根据信号模型概念根据信号模型概念, , 一个具有有理谱密度一个具有有理谱密度的信号的信号, ,可以看成是白噪声激励一个线性系统而产生的输出可以看成是白噪声激励一个线性系统而产生的输出. .这这说明说明, , 该系统把一个无关联的白噪声该系统把一个无关联的白噪声, , 变成了一个关联的非白变成了一个关联的非白色信号色信号, , 表明系统是有惯性的表明系统是有惯性的. . 最优预测最优预测选择预测误差的均方值最小作为最优预选择预测误差的均方值最小作为最优预测的准则测的准则.3.3.1 3.3.1 引言引言 纯预测纯预测由于实际信号总

3、是带有噪声干扰的由于实际信号总是带有噪声干扰的, ,因此因此, ,预测与滤预测与滤波是不可分的波是不可分的. .不考虑噪声干扰或不带滤波的预测不考虑噪声干扰或不带滤波的预测, ,称为纯预测称为纯预测. .2.2.前向和后向一步线性预测前向和后向一步线性预测利用线性滤波器实现预测利用线性滤波器实现预测, , 称作线性预测称作线性预测. .如果在当前时刻如果在当前时刻 已经获得已经获得 个输入数据个输入数据, , 如图如图3.3.13.3.1所示所示: :n1p (np)时刻 n 时刻(), (1), (2), (1), ( )x np x npx nx nx n P 阶前向一步预测P 阶后向一步

4、预测p个样值p个样值图3.3.1 前向和后向预测数据间的关系3.3.1 3.3.1 引言引言 阶前向一步线性预测阶前向一步线性预测p 根据根据 时刻以前的时刻以前的 个数据个数据 , ,向前一步预向前一步预 测测 , , 称为称为 阶前向一步线性预测阶前向一步线性预测. . np(1), (2), ()x nx nx npp( )x n 阶后向一步线性预测阶后向一步线性预测p 根据根据 时刻以后的时刻以后的 个数据个数据 , ,向后一步向后一步预测预测 称为称为 阶后向一步线性预测阶后向一步线性预测. .()npp(1), ( )x npx n()x npp3.3.2 3.3.2 前向和后向线

5、性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器1.1.前向线性预测误差滤波器前向线性预测误差滤波器为分析简单为分析简单, ,假定信号为实平稳随机信号假定信号为实平稳随机信号, ,且噪声且噪声 . .( )0v n 已知已知 , ,向前一步预测向前一步预测 , , 这时系统的这时系统的输出是预测值输出是预测值 . . 设系统的单位冲激响应为设系统的单位冲激响应为 , , 则则(1), (2), ()x nx nx np( )x n( )x n( )h n1( )( )( ) ()pky nx nh k x nk令令 ,

6、 ,则则,( )p kah k ,1( )()pp kkx nax nk (3.3.1)(3.3.1)前向预测误差前向预测误差,1( )( )( )( )()pfppkke nx nx nx na x n k(3.3.2a)(3.3.2a)3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器或或,00( )(),1pfpp kpkenax nka (3.3.2b)(3.3.2b)对上式进行对上式进行Z Z变换变换, , 得到得到,00( )( ),1pfkpp kpkEzaX z za,00( )( ),1( )fppkfp kpkEzHzazaX z(3.3.3)

7、(3.3.3) 称为前向预测误差滤波器的系统函数称为前向预测误差滤波器的系统函数, ,其结构如图其结构如图3.3.23.3.2所示所示. .)(zHf图3.3.2 前向预测误差滤波器结构)(nx1z1z1z0 , pa1 , pa2 , pa1, ppappa,)(nefp3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器以上结果表明以上结果表明: : 前向预测误差前向预测误差 , ,是由数据是由数据 通过一个冲激通过一个冲激响应为响应为 的预测误差滤波器的预测误差滤波器 产生的输出产生的输出. .( )fpen( ), (1), ()x n x nx n k,0

8、,1,ppp paaa( )fHz下面采用最小均方误差准则求最佳预测系数下面采用最小均方误差准则求最佳预测系数 . . 令令pka2( ) 0,1,2,fppkE e nkpa将式将式(3.3.2)(3.3.2)代入上式代入上式, , 得得( ) ()0,1,2,fpE en x nkkp(3.3.4)(3.3.4) 上式表明上式表明: : 前向预测误差与用于预测的数据是正交的前向预测误差与用于预测的数据是正交的, , 这就这就是前向预测误差的正交原理是前向预测误差的正交原理. .3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器最小均方预测误差为最小均方预测误差

9、为2min,1,1( ) ( )( ( )( )( ) ( )( )()( )(0)( )fffppppp kkpxxp kxxkE enE en x nx nE en x nEx nax nkx nRaRk(3.3.6)(3.3.6)1,2,3,kp将式将式(3.3.2a)(3.3.2a)代入上式代入上式, , 得到得到,11( )() ()( )() 0pppixxpi xxiiE xna xn i xn kR ka R k i (3.3.5)(3.3.5)将式将式(3.3.5)(3.3.5)和和(3.3.6)(3.3.6)联立联立, ,得到下面的联立方程组得到下面的联立方程组: :,12

10、,1( )()0,1,2,3,(0)( )pxxp ixxippxxp ixxiRkaRkikpRaRi(3.3.7)(3.3.7)3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器其中其中, , 前向预测最小误差功率前向预测最小误差功率).).将上式将上式表示为矩阵形式表示为矩阵形式: :2min2)(pfpneE2,1,1(0)(1)( )(1)(0)(1)0( )(1)(0)0 xxxxxxppxxxxxxp pxxxxxxRRRpaRRRpaRpRpR (3.3.8)(3.3.8) 上式就是上式就是Yule-WalkerYule-Walker方程方程. .

11、该方程组有该方程组有 个方程个方程, , 由此可由此可解出解出 个未知的最佳预测系数个未知的最佳预测系数 和最小均方误差和最小均方误差 . .1p p,p ka2p 与维纳与维纳- -霍夫方程相比霍夫方程相比, , 该方程只包含该方程只包含 的自相关函数的自相关函数, , 不不需要知道需要知道 与期望信号与期望信号 的互相关函数的互相关函数. .( )x n( )x n( )s n2.2.后向线性预测误差滤波器后向线性预测误差滤波器 已知已知 , ,向后一步预测向后一步预测 , ,这时系统这时系统输出的预测值输出的预测值 , ,可表示为可表示为 以后的以后的 个数据的线性组个数据的线性组合合:

12、 :(1), (1), ( )x npx nx n()x np()x n p ()x npp,1 ()()pp kkx npbx npk (3.3.9)(3.3.9)3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器式中式中, , 后向预测系数后向预测系数. .,(1,2,)p kbkm后向预测误差后向预测误差,1( )()()()()bppp kkenx npx npx npbx npk(3.3.10)(3.3.10)对上式进行对上式进行Z Z变换变换, , 得到得到,1( )( )( )pbppkpp kkEzzX zbX z zz,1( )( )1( )bp

13、ppkbp kkEzHzzbzX z(3.3.11)(3.3.11) 称为后向预测误差滤波器的系统函数称为后向预测误差滤波器的系统函数. .( )bH z用用 代替代替 , ,后向预测误差后向预测误差 式式(3.3.10)(3.3.10)可写成可写成: :pkk,00( )(),1pbpp p kpke nbx n kb(3.3.12)(3.3.12)3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器由上式可得后向预测误差滤波器的结构如图由上式可得后向预测误差滤波器的结构如图3.3.33.3.3所示所示. .图3.3.3 后向预测误差滤波器结构)(nx1z1z1z

14、ppb,1, ppb2, ppb1 , pb0 , pb)(nebp以上结果表明以上结果表明: : 后向预测误差后向预测误差 , ,是由数据是由数据 通过一个冲激通过一个冲激响应响应 为的预测误差滤波器为的预测误差滤波器 的输出的输出. .( )bpen( ), (1), ()x n x nx nk,1,0,p pp ppbbb( )bHz 利用最小均方误差准则利用最小均方误差准则, , 同样可求得关于后向预测时的正交方同样可求得关于后向预测时的正交方程程Yule-WalkerYule-Walker方程方程. . 根据正交原理根据正交原理: :( ) ()0,1,2,bpE en x npkk

15、p(3.3.13)(3.3.13)将式将式(3.3.10)(3.3.10)代入上式代入上式, , 得得3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器,1,1()()()( )()0pp kipxxp ixxiEx npbx np ix npkRkb Rki1,2,3,kp(3.3.14)(3.3.14)最小均方预测误差为最小均方预测误差为 2min,1,1( ) ( )( ()()( ) ()()()()(0)( )bffppppp kipxxp kxxkE e nE en x npx npE en x npEx npax np ix npRbRk(3.3.1

16、5)(3.3.15)将式将式(3.3.14)(3.3.14)与式与式(3.3.15)(3.3.15)联立联立, , 可得可得3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器,12,1( )()0,1,2,3,(0)( )pxxp ixxippxxp ixxiRkbRkikpRbRi (3.3.16)(3.3.16)式中式中, , 后向预测最小误差功率后向预测最小误差功率. .22min( ) bppE en3.3.预测误差滤波器与预测误差滤波器与ARAR模型模型由由 阶阶ARAR模型的差分方程模型的差分方程: :p,1( )()( )pp kkx nax nkw

17、 n(3.3.17)(3.3.17)若令若令 , , 则上式与前向预测误差方程一致则上式与前向预测误差方程一致. .( )( )fpenw n下面根据下面根据ARAR模型推导模型推导Yule-WalkerYule-Walker方程方程. . 将式将式(3.3.17)(3.3.17)展开展开: :,1,2,( )(1)(2)()( )ppp px na x na x nax n pwn (3.3.18)(3.3.18)第第1 1步步: : 上式两边乘以上式两边乘以 , , 然后取数学期望然后取数学期望. .()x n m3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤

18、波器注意到注意到: : () ()()xxE x nm x nkRmk ( )( ),0 () ( )0,0E x n w nmE x nm u nm因此因此, , 得到得到,1,2,1,2,0,(0)( 1)( 2)() ( ) ( )0,( )(1)(2)()0 xxpxxpxxp pxxxxpxxpxxp pxxmRa RaRaRpE x n wnmRma RmaRmaRm p 第第2 2步步: : 求求 . .为此为此, , 将式将式(3.3.17)(3.3.17)两边乘以两边乘以 , ,并取并取数学期望数学期望, ,得到得到 ( ) ( )E x n w n( )w n2,1 ( )

19、 ( ) () ( )( )pp kkE x n w naE x n k w nE w n由于由于, , , , , , 所以有所以有 () ( )0E x nk w n0k 22 ( ) ( )( )wE x n w nE wn3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器第第3 3步步: : 由以上两步得到下列方程组由以上两步得到下列方程组 利用利用 :)()(mRmRxxxx2,1,2,1,(0)(1)(2)( ),00( )(1)()0,xxpxxpxxp pxxwxxpxxp pxxRaRaRaRpmmRmaRmaRmp写成矩阵形式写成矩阵形式: :

20、2,1,1(0)(1)( )(1)(0)(1)0( )(1)(0)0 xxxxxxwpxxxxxxp pxxxxxxRRRpaRRRpaRpRpR (3.3.19)(3.3.19) 上式就是上式就是AR(p)AR(p)模型的模型的Yule-WalkerYule-Walker方程方程. . 式中式中 , ,可见该可见该式与式式与式(3.3.8)(3.3.8)一致一致. .22wpARAR模型的系统函数为模型的系统函数为AR,111( )( )1pkp kkHzA zaz(3.3.20)(3.3.20)3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器与前向预测误差滤

21、波器的系统函数比较与前向预测误差滤波器的系统函数比较, , 可得可得,001( ),1( )pkfp kpARkHzazaHz(3.3.21)(3.3.21) 这说明这说明, , 当预测误差呈白噪声特性时当预测误差呈白噪声特性时, , 预测误差滤波器实际上预测误差滤波器实际上是一个是一个“白化滤波器白化滤波器”.”.4.Levinson-durbin4.Levinson-durbin算法算法 求解求解Yule-WalkerYule-Walker方程方程, , 可得到前向和后向预测误差滤波器的可得到前向和后向预测误差滤波器的最佳预测系数最佳预测系数. Levinson-durbin. Levin

22、son-durbin算法是算法是Yule-WalkerYule-Walker方程的一方程的一种高效解法种高效解法. . 下面用归纳法进行推导下面用归纳法进行推导. .（1 1）令）令 ( (即从一阶即从一阶ARAR模型开始模型开始), Yule-Walker), Yule-Walker方程为方程为1p211,11(0)(1)(1)(0)0 xxxxxxxxRRaRR 由该方程解出由该方程解出: :1,1(1)(0)xxxxRaR 2211,1(1)(0)xxaR3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器（2 2）令）令 ( (即增加一阶即增加一阶), ),

23、 相应有相应有2p 222,12,2(0)(1)(2)1(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxRRRRRRaRRRa由该方程解出由该方程解出: :2222,221,11(0)(2)(1) (0)(1)(2)(1)xxxxxxxxxxxxxxaRRRRRRa R 222,11,12,2 1,1(0)(1)(1)(2) (0)(1)xxxxxxxxxxxxaRRRRRRaaa 22212,21(1)a3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器 （3 3）令）令 , ,依此类推依此类推, ,可得到可得到Levinson-d

24、urbinLevinson-durbin算法一般递推公式如下算法一般递推公式如下: :2,3,p(3.3.22)(3.3.22)2111, 1)()(ppkxxkpxxpkpRapRkpppak,kpppkpkpakaa, 1, 1,1, 3 , 2 , 1pk2122)1 (pppk)()0(220nxERxx(3.3.23)(3.3.23)(3.3.24)(3.3.24)(3.3.25)(3.3.25)(3.3.26)(3.3.26)说明说明: :（1 1） 称为反射系数称为反射系数( (或部分相关系数或部分相关系数PARCOR).PARCOR).pk因因 和和 是预测误差的均方值是预测误

25、差的均方值, , , , 即即 2p21p20p210pk所以对任何所以对任何 , , 应满足应满足: :kpk3.3.2 3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器前向和后向线性预测误差滤波器（2 2）由式）由式(3.3.25)(3.3.25)和和(3.3.26)(3.3.26)有有, , 22221230p 由于阶数预先是不知道的由于阶数预先是不知道的, ,当递推到第当递推到第 阶时阶时, ,若若 满足所满足所要求的允许值要求的允许值, , 即可选阶数即可选阶数 . .k2kpk3.3.3 3.3.3 预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器3.3.3 3.3.3 预测误差格型滤波器预测误差格型

26、滤波器1.1.由预测误差滤波器导出格型滤波器由预测误差滤波器导出格型滤波器利用前向预测误差方程和系数递推公式利用前向预测误差方程和系数递推公式: :,1( )( )( )( )()pfpp kkenx nx nx nax nk,1,1,p kpkppp kaak a1, 3 , 2 , 1pkpppak,可得可得1,111,1,1111,1,11( )( )()()( )() ()()( )()()()pfpp kp pkppkppp kpkpppkppp kkkenx nax n kax npx nak ax n kk x npx nax n kkx npax n k3.3.3 3.3.3

27、预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器即得前向预测误差递推公式为即得前向预测误差递推公式为11( )( )(1)ffbppppenenk en (3.3.27)(3.3.27)这里这里111,1( )( )()pfppkkenx nax nk111,111,1(1)()()()()pbppp kkppkkenx npax nkx npax npk (3.3.28)(3.3.28)进一步令进一步令 , , 式式(3.3.28)(3.3.28)可写成可写成1in111,1( )(1)(1)pbppkkeixipaxipk 再将再将 换成换成 ; ; 换成换成 ( (增加一阶增加一阶), ), 得到得

28、到in(1)pp3.3.3 3.3.3 预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器,1( )()()pbpp kkenx npax npk(3.3.29)(3.3.29)上式就是上式就是 阶后向线性预测误差公式阶后向线性预测误差公式. . 与式与式(3.3.28)(3.3.28)比较可得比较可得: :p,p kp kba1,2,3,kp(3.3.30)(3.3.30) 即前向和后向预测误差方程式具有相同的预测系数即前向和后向预测误差方程式具有相同的预测系数. . 考虑到考虑到两种滤波器的两种滤波器的Yule-WalkerYule-Walker方程形式相同方程形式相同, , 所以又有所以又有22pp

29、(3.3.31)(3.3.31)采用类似的方法采用类似的方法, , 同样可以证明后向预测误差递推公式同样可以证明后向预测误差递推公式: :11( )(1)( )bbfppppenenk en(3.3.32)(3.3.32)重写式重写式(3.3.27)(3.3.27)和和(3.3.32)(3.3.32)如下如下: :11( )( )(1)ffbppppenenk en11( )(1)( )bbfppppenenk en3.3.3 3.3.3 预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器 以上二式即为格型滤波器的基本关系式以上二式即为格型滤波器的基本关系式. .该滤波器第该滤波器第 节的结构图如图节的结构

30、图如图3.3.4(a)3.3.4(a)所示所示. .p图3.3.4 预测误差格型滤波器的结构(a) Z-1pk)(1nefp)(1nebppk)(nefp)(nebpZ-1)(nxZ-1Z-1)(nefp)(nebp1k2kpk)(1nef)(1neb)(2nef)(2neb(b) )(0nef)(0neb1k2kpk3.3.3 3.3.3 预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器 当当 时时, ,根据前向和后向预测误差方程根据前向和后向预测误差方程, ,由于由于 以及以及 , ,因此因此, ,0p ( )0 x n ()0 x np00( )( )( )fbenenx n(3.3.33)(3.3.33)于是得到整个预测误差格型滤波器的结构如图图于是得到整个预测误差格型滤波器的结构如图图3.3.4(b)3.3.4(b)所示所示. . 由上可知由上可知, , 预测误差滤波器为模块型结构预测误差滤波器为模块型结构, ,每一节结构都相同每一节结构都相同, , 而且只包含两个参数而且只包