6相似三角形证明技巧

1、相似三角形证明技巧姓名：一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别； 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、相似三角形（1）三角形相似的条件：:.三、两个三角形相似的六种图形：-（4Zi=Zb 条件亠命条件条件Za=D 条件AD 是 RtABC 斜边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线， 构造出基本图形,从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行

2、线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、斤J找另一角 两角对应相等，两三角形相似a）已知一对等角 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比例V找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似-找一个直角 f斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似、二m 人击冷 丿找另一角 两角对应相等，两三角形相似C）己知一个直角 rL找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等k判定定理1d）有等腰关系-找

3、底角对应相等判定定理1I找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性 若厶1s 2, 2s 3，则 13五、确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回 到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。六、证明题常用方法归纳：（一）、总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（二）、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用 三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉

4、及的线段在同一直线上时，应将线段比 转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.1、“三点定形法”：通过“横找” “竖看”寻找三角形，由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则 只要证明这两个三角形相似就

5、行了，这叫做“竖定”。例1、已知：如图， AB（中 ,CE 丄 AB,BF丄 AC.A求证:AEAC/VAF-BAc例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F, 求证：AC AE=AF AB例3、已知：如图， ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=de drB'例3、如图在ABC中，AD BE分别是BC AC边上的高，DF丄AB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证：FG/ FA= FB / FH （2） FD是FG与FH的比例中项.说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角

6、形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中, 或横着找三点，或竖着找三点 ），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或 直接找等比代换例4、如图6，CABCD中，E是BC上的一点,Safbe= 18,求：（1）BF : FD（2）SafdaAE 交 BD 于点 F，已知 BE: EC= 3: 1,AD说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于 相似比的平方，求出三角形的面积.2、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵

7、活地运用过渡”其主要类型有三种：（1）等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直 线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要 根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加 简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。当然，还要注意最后将代换的线段再代 换回来。例5:如图3, AABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证： DE2= BE-CE.练习：如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点, 于 G.求

8、证：AG 2= AF >FCBE丄AC交AC于F，过F作FG / AB交AE说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要证明的两个三角形相似.、例6 .如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF / BA , BF交AD于P点， 交AC于E点。求证：BP2=PE PF。分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC , D是BC中点，由等腰三角形的性质知 AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC，只需证明 PECs PCF,问题

9、就能解决了。(2) 等比过渡法(等比代换法)当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑 利用第三组线段的比为比例式搭桥，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例7:如图4，在ABC中，/ BAC=90 , AD丄BC , E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证:AB DFACAFF练习：如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求:AN : AB的值；AD说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例

10、8.如图，已知：在 ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长 线于F。求证:（3）、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是： 用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用 三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例9:如图5，在ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高，G是DC延长线上一点, 过B作BE丄AG,垂足为E,交CD于点F.求证：CD2= DF-DG .小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例

11、：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”（三）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（四）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。七、中考链接：例10. （2015.资阳）如图10,直线y= ax+ 1与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，与双曲线 y k=-（x> 0）相交于点 P, PC丄x轴于点C,且PC=2，点A的坐标为（2,0）.x（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且 QH丄x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角 形与 AOB相似时，求点 Q的坐标.同

12、步练习：1. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG EF.2 .如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM/ BE交DE于M. 求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等 比替代可以解决。）【家庭作业】1.如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C求证：(1 ) AD0A ACB;(2)AD-AB=AE- AC.2、如图， ABC中，点DE在边BC上，且 ADE是等边三角形，/BAC=120求证：（1） ADBA CEA;(

13、2) DE>=BD- CE;(3)AB AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC- EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）求证：DC2=DE- DF.4. 如图，/ ACB=90 ,AD=DB,DE1 AB,仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Stu

14、dien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen