自适应横向滤波器()

1、3.1 3.1 引引 言言3.1.1 3.1.1 从维纳滤波到自适应滤波从维纳滤波到自适应滤波1.1.维纳滤波器的适用条件维纳滤波器的适用条件维纳滤波器的适用条件比较苛刻，主要表现在：维纳滤波器的适用条件比较苛刻，主要表现在：（1 1）需要知道信号和噪声统计特性）需要知道信号和噪声统计特性( (如如 , ), )的先验知识；的先验知识；)(mRss)(mRvv （2 2）输入信号必须是平稳的，滤波器的参数是针对已知的输）输入信号必须是平稳的，滤波器的参数是针对已知的输 入统计特性设计的，因而是固定的，当输入统计特性变入统计特性设计的，因而是固定的，当输入统计特性变 化时化时, , 其最佳滤波性

2、能将被破坏。其最佳滤波性能将被破坏。（3 3）卡尔曼滤波是采用递推算法实现的维纳滤波器）卡尔曼滤波是采用递推算法实现的维纳滤波器, , 本质上本质上 仍具有维纳滤波器的上述特点，虽然可适用于平稳和非仍具有维纳滤波器的上述特点，虽然可适用于平稳和非 平稳过程平稳过程, , 但不适用于输入统计特性未知或变化的情况但不适用于输入统计特性未知或变化的情况. .3.1.1 3.1.1 从维纳滤波到自适应滤波从维纳滤波到自适应滤波2.2.自适应滤波器的特点自适应滤波器的特点（1 1）自适应滤波器，实际上是一种参数可自动调整的特殊的维）自适应滤波器，实际上是一种参数可自动调整的特殊的维 纳滤波器。纳滤波器。

3、（2 2）实现自适应滤波器不需要任何关于信号和噪声统计特性的）实现自适应滤波器不需要任何关于信号和噪声统计特性的 先验知识；当输入统计特性变化时，它能按照某种准则自先验知识；当输入统计特性变化时，它能按照某种准则自 动地调整自身参数，以满足最佳滤波的需要。动地调整自身参数，以满足最佳滤波的需要。（3 3）自适应滤波器具有学习和跟踪性能。）自适应滤波器具有学习和跟踪性能。学习过程学习过程: : 在输入信号统计特性未知的情况下在输入信号统计特性未知的情况下, , 调整调整自自 身参数达到最佳的过程身参数达到最佳的过程. .跟踪过程跟踪过程: : 当输入信号统计特性变化时当输入信号统计特性变化时,

4、, 调整自身参调整自身参数数 达到最佳的过程达到最佳的过程. .3.1.2 3.1.2 自适应滤波器的原理自适应滤波器的原理3.1.2 3.1.2 自适应滤波器的原理自适应滤波器的原理原理框图如图原理框图如图.1所示，主要包括两部分：所示，主要包括两部分：参数可调数字滤波器，滤波器结构参数可调数字滤波器，滤波器结构: FIR, IIR: FIR, IIR或格形滤波器；或格形滤波器；自适应算法。自适应算法。与维纳滤波器比较与维纳滤波器比较, , 自适应滤波器增加了一个识别控制环节自适应滤波器增加了一个识别控制环节. .图3.1.1 自适应滤波器原理图参数可调数字滤波器x(n)y(

5、n)d(n)自适应算法e(n)识 别 控 制 环节图中图中: : 输入信号输入信号( (或称观测信号或称观测信号) )； 输出信号；输出信号；( )x n( )y n3.1.2 3.1.2 自适应滤波器的原理自适应滤波器的原理自适应滤波原理自适应滤波原理( (过程过程):):（1 1）输入信号）输入信号 经参数可调数字滤波器输出经参数可调数字滤波器输出 : :)(nx( )y n( )( )y nd n(3.1.1)(3.1.1)即即 是是 的估计的估计. .( )y n( )d n将将 与期望信号与期望信号 比较比较, , 产生误差信号产生误差信号 : :( )y n( )d n( )e n

6、( )( )( )e nd ny n(3.1.2)(3.1.2)（2 2）通过自适应算法，由）通过自适应算法，由 产生相应的控制信号，自动调整产生相应的控制信号，自动调整数字滤波器的参数，最终使数字滤波器的参数，最终使 的均方误差最小的均方误差最小, , 即即( )e n( )e n2( )minE en(3.1.3)(3.1.3)这时这时 即为即为 的最佳逼近的最佳逼近. .( )y n( )d n 期望信号期望信号( (或称参考信号或称参考信号, ,训练信号训练信号) )； 误差信号。误差信号。( )d n( )e n3.1.2 3.1.2 自适应滤波器的原理自适应滤波器的原理说明说明:

7、: （1 1）自适应滤波有两个输入信号）自适应滤波有两个输入信号: : 原始输入信号和参考原始输入信号和参考输入信号输入信号; ;两个输出信号两个输出信号: : 实际响应实际响应 和误差信号和误差信号 . . ( )y n( )e n 和和 究竟哪个作原始输入究竟哪个作原始输入, , 哪个作参考输入哪个作参考输入, ,信号信号形式如何形式如何; ; 和和 究竟哪个作为输出究竟哪个作为输出, , 均根据具体应用来确均根据具体应用来确定定. .( )x n( )d n( )y n( )e n （2 2）要达到自适应滤波的目的）要达到自适应滤波的目的, , 原始输入信号与参考输原始输入信号与参考输入

8、信号必须相关入信号必须相关. .3.2 3.2 自适应横向滤波器自适应横向滤波器3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器, , 是自适应滤波的基本是自适应滤波的基本结构形式结构形式, ,也是学习自适应信号处理的基础也是学习自适应信号处理的基础. .1.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式（1 1）自适应线性组合器）自适应线性组合器( (多输入系统多输入系统) ) 输入信号矢量是一个空间序列输入信号矢量是一个空间序列, , 其元素由同一时刻的一组取其元

9、素由同一时刻的一组取样值构成样值构成( (即在同一时刻即在同一时刻 , ,对对 个不同信号源取样得到个不同信号源取样得到):):n1LT01( )( )( )( )Lnx nx nxnx (3.2.1)(3.2.1)这种情况相当于并行输入这种情况相当于并行输入. .3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器)(ne)(ny输入信号矢量自适应处理器)(0nx)(1nx)(nxL)(nd)(0nw)(nwL)(1nw参考响应输出响应图3.2.1 自适应线性组合器 如图如图.1所示所示, , 这种多输入系统的输出这种多输入系统的输

10、出 , ,等于输入矢量等于输入矢量 的各元素的线性组合的各元素的线性组合( (因此称该系统为线性组合器因此称该系统为线性组合器):):( )y n( )nx0( )( )( )Lkkky nw n x n(3.2.2)(3.2.2)其中其中, , 为加权系数为加权系数. . 定义定义“权矢量权矢量”: :( )kw n3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器T01( )( )( )( )Lnw nw nwnw(3.2.3)(3.2.3) 在该线性组合器中，其自适应过程，就是通过自适应算法在该线性组合器中，其自适应过程，就是通过自适应算法自

11、动调整权系数自动调整权系数 ， ，使其均方误差最达最小的，使其均方误差最达最小的过程。过程。( )kw n0,1,kL（2 2）自适应）自适应FIRFIR滤波器滤波器( (单输入系统单输入系统) ) 输入信号矢量是一个时间序列输入信号矢量是一个时间序列, , 其元素由同一个信号在其元素由同一个信号在不同时刻的取样值构成不同时刻的取样值构成( (即对同一信号源即对同一信号源, , 在在 时刻以前时刻以前 个取样时刻得到个取样时刻得到):):n1LT( )( )(1)()nx nx nx nLx(3.2.5) (3.2.5) 则则 的矢量表示式为的矢量表示式为: :TT( )( ) ( )( )(

12、 )y nnnnnxwwx (3.2.4)(3.2.4)( )y n3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器)(ne)(ny)(nx)(nd)(0nw)(nwL)(1nwz-1z-1z-1) 1( nx)2( nx)(Lnx参考响应输出响应时变横向（FIR）数字滤波器图3.2.2 自适应FIR滤波器自适应处理器如图如图.2所示所示, , 单输入自适应系统的输出为单输入自适应系统的输出为0( )( ) ()Lkky nw n x nk(3.2.6)(3.2.6)同样用矢量表示为同样用矢量表示为3.2.1 3.2.1 自适应线

13、性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器TT( )( ) ( )( )( )y nnnnnxwwx其中权矢量其中权矢量 与式与式(3.2.3)(3.2.3)相同相同. .( )nw由上可得单输入自适应滤波器的结构如图由上可得单输入自适应滤波器的结构如图.3示示: :ynnx1z1z1znw0nw1nw2nLw) 1( Lnwnx1nxLnx2nx图3.2.3 自适应横向滤波器结构这是一种时变横向数字滤波器这是一种时变横向数字滤波器, , 在信号处理中应用较为广泛在信号处理中应用较为广泛. .2.2.利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差利用均方误

14、差最小准则求最佳权系数和最小均方误差下面采用均方误差下面采用均方误差( (或平均功率或平均功率) )最小准则最小准则, , 求最佳权系数求最佳权系数对于以上两种输入情况对于以上两种输入情况, , 输出误差信号均可表示为输出误差信号均可表示为: :TT( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )e nd ny nd nnnd nnnxwwx (3.2.7)(3.2.7)3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器均方误差为均方误差为: :22TTT( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 ( )( ) ( )nE e

15、nE d nn EnnnE d nnnwxxwxw(3.2.8)(3.2.8)定义输入信号定义输入信号 的自相关矩阵的自相关矩阵 : :( )nxRT2001021011201 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )LLLLLEnnxnx n x nx n xnx n x nxnx n xnExn x nxn x nxnRxx(3.2.9)(3.2.9) 与与 的互相关矩阵的互相关矩阵P:P:( )d n( )nxT01 ( ) ( )( )( )( )( )( )( )LE d nnE d n xnd n x nd n xnPx

16、(3.2.10)(3.2.10)将式将式(3.2.9)(3.2.9)和式和式(3.2.10)(3.2.10)代入式代入式(3.2.8),(3.2.8),并用并用 代替代替 , ,可得可得w( )nw2TT( )( )2nEd nw RwP w(3.2.11)(3.2.11)3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器 上式表明上式表明: : 当输入矢量当输入矢量 和参考响应和参考响应 都是平稳都是平稳随机信号时随机信号时, , 均方误差均方误差 是权矢量是权矢量 的各分量的二次函数的各分量的二次函数. . 的函数图形是的函数图形是 维空间中的

17、一个向下凹的超抛物面维空间中的一个向下凹的超抛物面, , 并有并有唯一的最低点唯一的最低点 . .该曲面称为均方误差性能曲面该曲面称为均方误差性能曲面, , 简称性能曲简称性能曲面面; ; 式式(3.2.11)(3.2.11)称为性能函数称为性能函数. .( )nx( )d nw2Lmin均方误差性能曲面的梯度定义为均方误差性能曲面的梯度定义为: :T01Lwwww (3.2.12)(3.2.12)将式将式(3.2.11)(3.2.11)代入上式代入上式, , 得得22RwP (3.2.13)(3.2.13)（1 1）最佳权矢量）最佳权矢量 满足均方误差最小时满足均方误差最小时, , 对应的权

18、矢量即为最佳权矢量对应的权矢量即为最佳权矢量. . 在性在性能曲面上能曲面上, ,该点的梯度等于零该点的梯度等于零. . 由式由式(3.2.13), (3.2.13), 有有220RwP(3.2.14)(3.2.14)3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器于是得到于是得到1wR P(3.2.15)(3.2.15) 这与这与FIRFIR维纳滤波器的最佳解维纳滤波器的最佳解 是一致的是一致的, ,因此因此 又又称维纳称维纳1opth-R Pw（2 2）最小均方误差）最小均方误差 将最佳权矢量将最佳权矢量 代入式代入式(3.2.11), (3

19、.2.11), 得最小均方误差得最小均方误差wminT2T12min( )( )E dnE dn-P R PP w(3.2.16)(3.2.16)（3 3）正交原理）正交原理根据均方误差性能曲面梯度的定义根据均方误差性能曲面梯度的定义T222201LT01L( )( )( )( )( )( )( )2( )E enE enE enE enwwwe ne ne nE e nwwww 3.2.1 3.2.1 自适应线性组合器和自适应自适应线性组合器和自适应FIRFIR滤波器滤波器代入代入 , , 得得T( )( )( ) ( )e nd nnnwx2 ( ) ( )E e nn x (3.2.17

20、)(3.2.17)当权矢量取最佳值时当权矢量取最佳值时, , 梯度为梯度为0, 0, 即即2 ( ) ( )E e nn 0 x (3.2.18)(3.2.18) 上式说明上式说明, , 当当 时时, , 误差信号与输入信号是正交的误差信号与输入信号是正交的, , 即仍即仍然服从正交性原理然服从正交性原理. . 同样可根据正交性原理推导出维纳解同样可根据正交性原理推导出维纳解(3.2.15)(3.2.15)式式. .w w3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义将性能函数表示式将性能

21、函数表示式(3.2.11)(3.2.11)重写如下重写如下: :2TT( )( )2nE dnw RwP w1.1.用权偏移矢量坐标用权偏移矢量坐标v v表示性能函数表示性能函数不难证明不难证明( (见附录见附录), ), 均方误差可写成与上式等效的标准形式均方误差可写成与上式等效的标准形式: :Tmin()()wwR ww(3.2.19)(3.2.19)定义权偏移矢量定义权偏移矢量: : 01,Lv vvvww(3.2.20)(3.2.20)用表示式用表示式(3.2.19), (3.2.19), 得得Tminv Rv(3.2.21)(3.2.21)3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几

22、何意义性能函数表示式及其几何意义 上式表明，当上式表明，当 偏离偏离 一个数值一个数值 时，均方误时，均方误差差 将比将比 大。为保证大。为保证 ，要求，要求wwv(0)vmin0T0v Rvv(3.2.22)(3.2.22)2.2.用旋转坐标用旋转坐标v v ( (主坐标系主坐标系) )表示性能函数表示性能函数 由于自相关矩阵由于自相关矩阵 是对称和正定是对称和正定( (或半正定或半正定) )的的, , 因此可利用它因此可利用它的特征值和特征向量对式的特征值和特征向量对式(3.2.21)(3.2.21)进一步简化进一步简化. .R 将将 化为标准形化为标准形: :RTRQ Q (3.2.23

23、)(3.2.23)式中式中, , 是是 的特征值矩阵的特征值矩阵( (对角线矩阵对角线矩阵):): R0101000000Diag(,)LL (3.2.24)(3.2.24)对角线上的元素对角线上的元素 是是 的的 个特征值个特征值. .), 2 , 1 , 0(LiR1L3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义称为称为“特征矢量矩阵特征矢量矩阵”: :Q00010101110101LLLLLLLqqqqqqqqqQqqq(3.2.25)(3.2.25)其中其中 称为对应于特征值称为对应于特征值 的特征矢量的特征矢量. .iqi 调节每个特征矢量的模调节每个

24、特征矢量的模, , 使它们都具有单位长度使它们都具有单位长度, ,于是于是, , 的的 个特征矢量是相互正交并各自归一的个特征矢量是相互正交并各自归一的, , 即满足即满足: : Q1LT1,0,ijijijq q(3.2.26)(3.2.26)iiiRqq(3.2.27)(3.2.27)这时这时, , 称称 为为“正交归一阵正交归一阵”, , 即有即有QTTQ QQQIT1QQ(3.2.28)(3.2.28)现将式现将式(3.2.23)(3.2.23)代入式代入式(3.2.21), (3.2.21), 得到得到3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义TTm

25、inv Q Q v (3.2.29)(3.2.29)令令T01,Lv vvvQ v(3.2.30)(3.2.30)则则T2minmin0Li iivvv (3.2.31)(3.2.31) 这就是旋转坐标系这就是旋转坐标系 ( (或称主坐标系或称主坐标系) )中的性能函数表示式中的性能函数表示式, , 而且性能函数变成了平方和的形式而且性能函数变成了平方和的形式. . v 式式(3.2.30)(3.2.30)给出了坐标给出了坐标 与与 之间的关系之间的关系. . 再利用式再利用式(3.2.25)(3.2.25)和和(3.2.26),(3.2.26),可得两个坐标中可得两个坐标中 的特征矢量的特征

26、矢量 与与 的关系为的关系为vvRqqTT010,1,0L iiiqQ qqqqq(3.2.32)(3.2.32) 上式说明上式说明, ,坐标转换的结果坐标转换的结果, , 坐标中的坐标中的 的特征矢量的特征矢量 变成了变成了 坐标中的单位矢量坐标中的单位矢量. .vRq v3.3.坐标系坐标系w,v,w,v,v v 的关系及性能函数表示式的几何意义的关系及性能函数表示式的几何意义为简单计为简单计, , 下面讨论二维权矢量的情况下面讨论二维权矢量的情况. . 这时有这时有3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义01www01vvvww)0() 1 () 1

27、()0(xxxxxxxxRRRRRTmin22min00 11()()(0)2(1)(0)xxxxxxRvRv vRv w wRw w 式中式中, ., .可见可见, , 是是 ( (同样也是同样也是 ) )的二次函数的二次函数, , 显显然然, , 它是一个口朝上的抛物面它是一个口朝上的抛物面, , 如图如图.4所示所示. . 自适应过程是自适应过程是自动调整权系数自动调整权系数, ,使均方误差达到最小值使均方误差达到最小值 的过程的过程, , 这相当于沿这相当于沿性能曲面往下搜索至最低点性能曲面往下搜索至最低点. .0)0(xxRvwmin3.2.2 3.2.2 性能函数表

28、示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义0w1w01w0w0v1v1v0v图3.2.5 等均方误差的椭圆曲线族0w1w01min1w0wA1v0vw图3.2.4 二维权矢量性能函数曲面（1 1） 坐标坐标: :v 坐标相当于将坐标原点平移到坐标相当于将坐标原点平移到 坐标的最佳点坐标的最佳点, , 即原点即原点坐标为坐标为 . . 通常称通常称: :01(,)w wwvw坐标坐标自然坐标自然坐标; ; 坐标坐标 的平移坐标的平移坐标. .wvw（2 2） 坐标坐标: : v3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义 用一个平面用一个平面A A切割抛物面切割抛

29、物面: A: A与与 平面平行平面平行, , 相距相距 , , 其交线在其交线在01-w w01-w w1 平面上的投影为一椭圆平面上的投影为一椭圆. . 椭圆中心是性能曲面最低点椭圆中心是性能曲面最低点 的投的投影影, , 坐标为坐标为 . .min01(,)w ww 用若干个与用若干个与 平面距离分别为平面距离分别为 , , 的平面切割性能曲面的平面切割性能曲面, ,在在 平面上得到由一组交线投影形成的同心椭圆平面上得到由一组交线投影形成的同心椭圆称为称为“等等均方误差线均方误差线”或或“等高线等高线”, ”, 如图如图.5所示所示. .01-w w1201-w w 根据均方误差表示式根据均方误差表示式(3.2.21):(3.2.21):Tminv Rv可得等高线方程为可得等高线方程为Tmincv Rv或或T1cv Rv其中其中, . , . 对比式对比式(3.2.21)(3.2.21)和式和式(3.2.31), (3.2.31), 有有1minccTTv Rvvv 3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义因此，因此， , ,其中其中: :T1c vv 0100 由此得到由此得到220 01 11vvc或者或者220110111vvcc(3.2.33)(3.2.33) 显然显然, , 上式是一个椭圆方程