平面与圆锥面的截线PPT课件

1、第1页/共35页1理解圆锥面的概念2了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况第2页/共35页第3页/共35页1如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，BAD, 直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为 ，则：02第4页/共35页(1)_，l与AB(或AB的延长线)、AC相交(2)_，l与AB不相交(3)_，l与BA的延长线、AC都相交2在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则(1)_，平面与圆锥的交线为椭圆(2)_，平面与圆锥的交线为抛物线(3)_，平面与圆锥的交线为双曲线1(1)(2

2、)(3)2(1)(2)(3)第5页/共35页第6页/共35页 研究圆锥的截线，说明双曲线为时，平面与圆锥的交线第7页/共35页解析：当时，平面与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1PQ1，PF2PQ2，所以|PF1PF2|PQ1PQ2|Q1Q2.由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2的长为定值由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个

3、焦点)的距离之差的绝对值为常数第8页/共35页 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知APC60，BPC90，PA4.(1)求二面角APCB的余弦值(2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离第9页/共35页解析：(1)APC=60，APC 为等边三角形 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE，则 ADPC，DEPB. 又 PBPC，DEPC. 故ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角 连接 AE，在 RtACE 中，求得 AE2=24. 又 AD=32PA=23，DE=12PB=2，在ADE 中，由余弦定理，得 cosADE=-33. 第10页

4、/共35页(2)取 AC 的中点 F，连接 PF、OF，则 AC平面 POF，从而平面 PAC平面 POF. 过点 O 作 OHPF，垂足为 H，则 OH平面 PAC，故OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离 在 RtACB 中，AC=PA=4，BC=2PB=42，从而AB=43，OP=2. 在 RtPOF 中， OF=12BC=22，OP=2，PF=32PA=23， 由面积关系，得 OH=OF OPPF=2 63. 第11页/共35页 已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 ，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角的大小，并

5、说明截线是什么圆锥曲线2第12页/共35页解析：设O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的中心角为2Rl=2，圆锥的半顶角=4. 连接 OE.O、E 分别是 AB、VB 的中点， OEVA， VOE=AVO=4. 又ABCD，VOCD， CD平面 VAB， 平面 CDE平面 VAB，即平面 VAB 为截面 CDE 的轴面， VOE 为截面与轴线所夹的角，即为4. 又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线 第13页/共35页第14页/共35页1圆锥的顶角为60，截面与母线所成的角为60，则截面所截得的截线是()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线2圆锥的顶角为5

6、0，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线A B 第15页/共35页C 第16页/共35页4用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：_、_、_和_5用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是_、_.4圆椭圆抛物线双曲线5圆圆或椭圆第17页/共35页6已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30，在轴上取一点O，使SO3 cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径解析：如图所示 OH=12SO=32(cm)， HC=OHsin 60=3232=3 34(cm) 所以球 O 的半径为32 cm，切点圆的半径为3 3

7、4 cm 第18页/共35页7已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30，在轴线上取一点C，使SC5，通过点C作一截面使它与轴线所成的角为45，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和第19页/共35页解析：e=cos 45cos 30=2232=63. 设圆锥曲线上任意一点为 M，其两焦点分别为 F1、F2，MF1+MF2=AB. 设圆锥面内切球 O1的半径为 R1， 内切球 O2的半径为 R2. SO1=2R1，CO1=2R1， SC=(2+2)R1=5，即 R1=5 222 . SO2=2R2，CO2=2R2， SC=(2-2)R2=5，即 R2=5

8、 222 . O1O2=CO1+CO2=2(R1+R2)=102， AB=O1O2cos 30=O1O232=56，即 MF1+MF2=56 第20页/共35页8.顶角为90的圆锥面中，有一个半径为2的内切球，以该球为Dandelin球作一个截面，截线为抛物线，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程.解析：如图是几何体的轴截面，其中点P为抛物线的顶点，点Q为抛物线的焦点，以PQ所在直线为x轴，P为坐标原点建立平面直角坐标系.第21页/共35页第22页/共35页9顶角为60的圆锥面中有一个半径为2的内切球，以该球为焦球作一截面，使截线为抛物线，求该抛物线的顶点到焦点的距离 和截面与轴的交点到圆

9、锥顶点的距离2p第23页/共35页解析：如图所示是圆锥的截面的轴面，其中P为抛物线的顶点，Q为抛物线的焦点，M为截面与轴的交点设A、B为球与圆锥的母线的切点第24页/共35页由ASB=60， ASO=30. 又 OA=2，OASA， OS=4，易知 OPOS， OP=OStan 30=4 33， 2p=PQ=22OPOQ=2 33. 又 PMSB，PMS=OSB=OSA， SM=2OS=8 第25页/共35页10已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45，在轴线上取一点C，使SC5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径第26页/共35页解析：所截得的曲线

10、是双曲线 设焦球 O 的半径为 R， SO=2R，OC=2R， SC=(2+2)R=5，即 R=522=5 222 . 设另一焦球 O的半径为 R， 则 OO=cos 45RR=2(R+R)， 又截面与轴线的夹角为 30， R-R=12OO=22(R+R)， R=(3+22)R=5 222 第27页/共35页第28页/共35页 1圆锥面 锥面：设空间有一条定曲线和不在上的一定点A，动点P在上运动时，直线AP上的点的轨迹，叫做以A为顶点以为准线的锥面，每条直线AP都叫做此锥面的母线 如甲图所示，为一锥面，其中曲线为锥面的准线，定点A为锥面的顶点，准线上任一点P与点A的连线都是锥面的母线 圆锥面：

11、若锥面的准线为一圆，锥面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的直线上，则此锥面叫做圆锥面第29页/共35页过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线，叫做此圆锥面的轴线如乙图所示，为一圆锥面，其准线为 O，顶点为A，过点A和点O的直线是圆锥面的轴线，且圆锥面上只存在母线的直线，直线l垂直于 O所在的平面，由旋转面和圆锥面的关系知：圆锥面可以看作是两条相交直线，其中一条直线a绕另一条直线l旋转而得到，于是也可将圆锥面定义为：第30页/共35页 一条直线绕着与它相交成定角 的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线另一条直线叫做圆锥面的轴 性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等 如丙图所示，设 O为圆锥面的准线，B、C是 O上任两点，则AB、AC为圆锥面的母线，由OBOC，OAOA， RtAOB RtAOC， OABOAC，即轴线与每一条母线的夹角相等02第31页/共35页又设M为轴线l上任一点，MNAB于点N，OAB，则MNAMsin .故点M到每一条母线的距离为定值2垂直截面轴截面：经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角如果一平面垂直于圆锥面的轴线，那么这个平面叫做圆锥面的正截面性质2：