结构力学-力矩分配法课件

1、第九章 力矩分配法一种渐进法学习内容 转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 利用对称性简化力矩分配法计算。 学习目的和要求 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。 本章的基本要求： 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。 一、基本概念1、力矩分配法概述2、正负号规定： 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都

2、假定对杆端顺时针转动为正号。 作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。 3、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下：如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度SAB的数值不变。 4、传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：CM远/M近 利用传递系数的概念，远端弯

3、矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表。例题 1转 动 刚 度 在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（ ）iiiiiiAAAAA4iSAB3iBBBBB返回二、基本运算 力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算。1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算 如图1所示结构，结点集中力偶m作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩。 分配弯矩：M1j1j

4、m （j=A，B，C） （1） 传递弯矩： Mj1 cM1j （j=A，B，C） （2） 注意： 结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 分配系数 1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值，即：1jS1j/S1j ，且 1j1 （3） 只有分配弯矩才能向远端传递。 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩。单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法 iBCAMMiA=4i=SiAMiB=3i=SiBMiC=i=SiCM= MiA+MiB+MiCM=0SMMSSMSSMSSiCiBiAa）分配

5、力矩SSMMijijijij注：1）称为力矩分配系数。且=12）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩。3）结点集中力偶荷载顺时针为正。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：近远MMCb）传递弯矩Mji=CMij j=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 2）只有分配弯矩才能向远端传递。返回2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算 将整个变形过程分为两步： 第一步，在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为两根单跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点B各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB。 第二步，去掉约束，相当于在结点B加上负的不

6、平衡力矩MB，并将它分给各个杆端及传递到远端。 叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩。 返回单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN20kN/mABCABC1）锁住结点，求固端弯矩90862015086200150862002BCBAABmmm150150902）去掉约束，相当于在结点加上负的不平衡力矩，并将它分给各个杆端及传递到远端。MB=15090=60MBMBmBAmBCMB=60SBA=43i=12iSBC=34i=12iBA=12i/24i=1/2BC=12i/24i=1/23030153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。计算

7、过程可列表进行1/21/2150m150 9030 3015M175120120ABCM图（kN.m平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配.例题 2单结点力矩分配法返回i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算,画M图。解：1）求AB= AC=AD=4/92/93/92）求m mAB= mBA=mAD=50 50 80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC M=50+8015= 45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩 5050 80101

8、51010最后弯矩 4070 6510 10100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN40701001080M图（kN.m)三、多结点力矩分配法三、多结点力矩分配法 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原结构的差别是： 在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变形上结点B、C不能转动。 为了取消结点B的

9、刚臂，放松结点B（结点C仍锁住），在结点B加上（MB），如图c,此时ABC部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点的不平衡力矩是MC+ M传 。为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上（(MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点C处于暂时的平衡。传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新的约束力矩M传，重复、两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般23个循环就可获得足够的精度。叠加：最后杆端弯矩： M=M分配

10、M传递MF 24kN/m50kN75168503128128241281282422CDCBBCmmm12812875MB=128MC=53MB24kN/m50kN4m4m8m8mABCC2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=16 . 04 . 04 . 01423146 . 0142323CBCBBABABA=0.6BC=0.4CB=0.4CD=0.676.8 51.225.6MC=78.6MC=78.631.4 47.215.715.7 15.79.4 6.33.2分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.61281287551.276.825.631.4

11、 47.215.76.39.43.21.31.90.70.30.40.20.10.1086.6 86.6124.2 124.24m4m8m8m24kN/m50kNABCC固端弯矩最后弯矩12812875086.6 86.6124.2 124.286.6124.2192i=2i=2i=1100M图（kN.m)Mik86.6 41.43.8 49.2Mki/201.920.7000M86.6 43.324.5 49.2M之比23 .436 .8625 .242 .49i之比212212i=2i=2i=1i=2i=2i=1i=2i=2i=1i=2i=2i=1返回变形条件的校核：kikikiikkii

12、kkikiikikmiiMmiiM4224ijikijikiiMMDDijikjiijkiikiiMMMMDDDD332121ijjiijkikiikiMMiMMDDDD321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMDD3213)(21)(ikikikmMMDkiikikMMMDDD21由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的kiikikMMMDDD21值之比等于其线刚度之比。ijik注意：多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不

13、出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。每次要将结点不平衡力矩变号分配。结点i的不平衡力矩Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡来求。在第一轮第一个分配结点：Mi=MFm （结点力偶荷载顺时针为正） 在第一轮其它分配结点：Mi=MFM传m （结点力偶荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：Mi=M传 （86）例题 3连续梁100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=12.5m3.5m4.82mA123B解: 1) 求分配系数:478. 0,513. 0,48. 54,76. 53121121AAiSiS0.513 0.4780.363 0.637637.

14、0,363. 0, 6 . 94,48. 5423212321iSiS238. 0,762. 0, 33, 6 . 94332332BBiSiS0.762 0.2382) 求固端弯矩:,102,102125 . 3100, 1 .7885 . 21002121221mmmA.28888 . 4100, 3 .33, 3 .331221002332223Bmmm78.1 102.0102.0 33.333.3 288m1,37 .2542883 .33, 9 .230 .1021 .7831MM12.3 11.6194.1 60.65.897.16 .1711 .978 . 53 .330 .1

15、022M 62.3 109.3 31.251.416 15.221,341.7 1320.97.610.318.225.2 9.11,32.7 2.51.36.9 3.23.51.7 3.11.60.921,30.5 0.40.21.2 0.40.60.3 0.50.30.221,30.1 0.10.2 0.1M0109.7109.742.3 42.3211.7211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.115350288返回例题 4无侧移刚架20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=

16、4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415返回0.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)四、无剪力分配法 力矩分配法是用于连

17、续梁和无侧移刚架，不能直接用于有侧移刚架。但对有些特 殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。 无剪力分配法的使用条件：无剪力分配法的使用条件：结构中除了两端无相对线位移的杆外，其余的杆均为剪力静定杆。 如果杆件两端线位移平行并且不于轴线垂直，则该杆为两端无相对线位移的杆。如图1(a)中EC、CF、DB杆均为无侧移杆。 剪力静定杆指的是剪力可由截面投影平衡求出来的杆。如图1(a)中AB、BC杆均为剪力静定杆。 两端无相对线位移的杆转动刚度、传递系数和固端弯矩确定，前面已经讨论过，下面这种讨论剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩确定。 剪力静定杆的固端弯矩计算剪力静定杆

18、的固端弯矩计算 先由截面投影平衡求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动，另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图1(b)(c)所示。 剪力静定杆的转动刚度：剪力静定杆的转动刚度： S=i，传递系数：C=1。剪力静定推导过程1、剪力静定杆的固端弯矩：2kN/m2kN/m 求剪力静定杆的固端弯矩时先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。2、剪力静定杆的S和C：AABMAB=4iA6i/lMBA=2iA6i/l QBA=（MAB+MBA）/l=0 MBA= MAB ，MAB=4iA 6i A /2= iA , MBA= 2iA 6i

19、A /2 = iA 剪力静定杆的 S= i C=1/l=A /2返回例题 5无剪力分配法 1例题12-7用无剪力分配法计算刚架。解：1、求分配系数SBC=3i1=12 SBA=i2=3BC=4/5 BA=1/5 BA杆的传递系数 =1 2m2m4m1kN/m 5kNi1=4i2=3ABC2、求固端弯矩：mkNmBC.75. 345163mkNqlmBA.67. 2641622mkNqlmAB.33. 5341322ABBABCCB4/51/5m5.33 2.67 3.75分传1.285.14M1.286.61 1.391.3901.395.706.61M图（kN.m)返回例题 6无剪力分配法 28m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(