大转角弹性梁中性线方程的计算机模拟研究

1、大转角弹性梁中性线方程的计算机模拟研究引言研究背景：有一均匀的薄板状的弹性梁，不受力时状态 为平板，左端水平地嵌入墙体内固定，设梁在墙外部分的中 性线只会受力弯曲而其长度l不变。设中性线的左端点坐标 为，纵坐标向下为正。梁有可能与地面接触。记中性线的右端点的纵坐标值y=h>01为正视中实线为梁的中性线，点划线满足y=h。设重力加速度为g0,梁的线密度为 d,梁在静态平衡时中性线满足公式：k=m/eio在工程实际中经常碰到的弹性梁问题，本文中对该弹性 梁及环境做了近似处理，把梁看成均匀的薄板，将地面看成物理上光滑的水平此我们不用考虑梁与地面接触时，接触面的变化和接触力的应力场。在工程实际中

2、，转角一般 均很小，可以建立微分方程近似模型；大转角问题，情况比 较复杂，一方面梁的重心寻找困难，另一方面二阶非线性方 程求解困难，可考虑用计算机模拟的方法寻找梁的中性线方 程。1计算机模拟大转角情况当a=24, h=l/4时，不能当作小转角问题处理。首先， 建立弯矩平衡的方程不能再应用。当梁发生比较大的弯曲时， 梁的重心也发生了比较大的移动。因此，弯矩的建立成了一个非常棘手的问题。同时，由于小角度假设在梁的抗弯强度较小的时候不再 成立，于是必须考虑大角度情况，那么就需要求解微分方程， 这是一个二阶的非线性微分方程，解析求解困难。有限元法是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它 将求解域看成是

3、由许多称为有限元的小的互连子域组成，对 每一单元假定一个合适的近似解。2模型的建立梁和地面不发生接触时初始化。给弹性梁一个初始状态曲线，如：y=0模拟以 初始状态为起点，进行迭代循环，不断逼近真实的曲线。本离散化。在梁上均匀选取n个节点ns，分成n-1段， 每段长度为1=ln-1。在模拟过程中，每个单元可以进行平动 和转动来逼近真实曲线，但是每个单元的长度固定不变，且 节点与节点之间连续。因为假设中，弹性梁只会受力弯曲而 其长度不变。受力分析。在给定的状态下，可以求出任意一个节点ns 的力矩m为s以后的节点重力引起的力矩ml。m=m1ml=lnj=gdln-l其中xj为第j个节点的横坐标。几何

4、形状分析。已知节点ns的力矩m，就可以求出该点的曲率和半径：k=mei=gd leiznj=n-l r=1k 无量纲化后：k=kl=aznj=n-lr =lkl=lk迭代过程。以节点ns_l、ns为基准，修正节 点ns+1的坐标，使得满足弹性梁在ns节点的曲率满足第步的要求。修正如图2所示。当节点取得足够密时，可以近似地认为ns的邻近节点 ns-1，ns+1在过ns的曲线的曲率圆上，且过ns的切线可以 近似用直线ns-lns代替，进而可以求得符合静态梁状态节 点 ns+1 的新的点ns+1。xf s+l=xs+lco syr s+l=ys+lsin 其中 p =arctanys-ys-lxs-

5、x s-1 为切线 和x轴的倾角。对每个节点做第步所述的修正，循环多次，使得中性线 的曲线不断地逼近真实曲线。梁和地面发生点接触情形初始化与离散化过程与梁不与地面发生接触时相同。受力分析。当梁和地面发生点接触时，梁不仅受到重力， 还受到地面对梁的作用力为f，任意一个节点ns的力矩m 可以分为两部分，一部分为s以后的节点重力引起的力矩m1， 另一部分由地面对梁的作用力f引起的m2。m=m1+m2ml=znj=gdln-lm2=-f此时曲率和半径为：k=kl=aenj=n-l-ar=lkl=laenj=x j-xsn_l-a=lk地面对梁的作用力的确 定。在模拟过程中，地面对梁的作用力f必须满足：

6、梁和地 面接触的端点处中性线的纵坐标为梁和地面的距离值。因此，必须在模拟中实现自动寻找作用力f的能力，采用二分法的 思想，自动寻找作用力f的过程如下：无量纲化。用梁与地面接触时梁对地面的压力与墙外梁 重力gdl之比值来衡量作用力的大小。1 -p=fgdl给定初始 值pl=o, p 2=1，在这两种情况下进行有限元模拟得到梁自 由端点的纵坐标y 1 >h，y2hp2=p3y3h当|y3-h|e时，停止迭代，得到p值。3计算机模拟的可行性为了验证有限元模型的合理性，把有限元模型得到的中 性线曲线和微分近似得到的曲线相比较。只考虑梁和地面发 生点接触的情形。小角度情况下，微分近似模型是合理的，

7、由它得到当 a72h<a8时，梁和地面只发生点接触，取a=，h=a20=，代 入有限元模拟程序中，得到中性线的曲线如图3所示。从图中可以看出，在小角度情况下，用有限元模拟得到 中性线的曲线和微分近似模型几乎一致。用微分近似模型得到的作用力比值为：l-p=38_3 1=用 有限元模拟得到的作用力为：1 - p=进一步说明微分近似曲线 在小角度假设下的正确性，同时也说明有限元模拟的合理性大角度情况下，取a=，h =a20=，代入有限元模拟程序 中，得到中性线的曲线如图3所示。用微分近似模型得到的作用力比值为：l-p-3 8_3=用有限元模拟得到的作用力比值为：l-p=可以发现，由于有限 元模

8、型可以模拟任何转角下的情形，而此时微分近似模拟和 有限元模拟结果相差较大，进一步验证了微分近似模型只能 在小角度假设下成立。4二分法求接触点把参数a=24, h=l/4输入到有限元模型中，模拟得到梁 的纵坐标最大值为ymax=h，说明梁和地面已经发生接触。 模拟得到的中性线曲线如图4所示。 由中性线曲线可以求得每个节点ns处的力矩m，再求出k，得到kmax-kmin=-=模拟中自动寻找到线接触长度卜1?和p值： p=3在k-ns中找到k=0的点及区间，即分别对应中性线的拐 点及和地面发生线接触的点。求得中性线上k=0的点为和。5结语本文就弹性梁静态平衡时中性线的无量纲化的方程建 立了微分近似方程模型和计算机模拟模型。微分近似模型筒 单易解，小转角的情况下，与真实值符合得很好。但当梁的 抗弯强度比较低时，微分近似模型与真实值偏离较大。而计