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文档简介
1、空间两点间的距离公式问题提出 长方体的对角线:如图,连接长方体两个顶点A,C的线段AC就称为长方体的对角线ABABDCCD ?建筑用砖通常是长方体,我们可以拿尺子测量出一块砖的长、宽和高,那么怎样测量它的对角线AC的长度呢?直接测量比较困难,我们可以用间接的方法去测量。如果有三块砖,你如测量AC的长度,两块呢? 三块砖可以按照图2-57(1)的方式码放,然后测量AC的长度;(2) (1) 图2-57 两块砖则按照图2-57(2)的方式码放,也可以测量AC的长度。一、公式计算 如图2-58(1),已知一块砖的长、宽、高分别为a,b,c,我们如何计算出对角线AC的长度? 在RtABC中,由勾股定理
2、可知,|AC|=22ab(如图2-58(2)而在RtACC中,|AC|=222abc(如图2-28(3) 22ab(2) 一般的,如果长方体的长、宽、高分别是a,b,c,那么对角线长 d=222abc(1)图2-58 22ab 222abc(3) 二、坐标计算 给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),如何利用点的坐标求它们的距离?XZ (1)如左图,这两个点中,一个是原点O(0,0,0),另一个不在坐标平面上,设为P(x1,y1,z1),如何求出OP的长? 222|OAOBOC 易知,A,B,C的坐标为A(x0,0,0),B(0,y0,0),C(0,0,z0),所以|OA|
3、=|x0-0|=|x0|, 同理有|OC|=|z0-0|=|z0|,|OB|=|y0-0|=|y0|,即|OP|= =000222xyz (2)如下图,给出空间任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),如何利用点的坐标求它们的距离? XZY易知,C,D两点坐标分别为(x1,y2,z1),(x2,y2,Z1), 由于AC平行于y轴,所以|AC|=|y1-y2|,同理有|CD|=|x1-x2|,|DB|=|z1-z2|,由公式就有|AB|= 222|ACCDDB 121212222()()()xxyyzz即 |AB|=(空间两点的距离公式) 例4 给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P
4、,使它与点P0(4,1,2)的距离为 。30 =解:设点的坐标是(x,0,0),由题意,|P0P|=即所以 (x-4)2=25 解得x=9或x=-1. 所以,P点的坐标为(9,0,0) 或(-1,0,0). 3030222(4)12x 例5 在xOy平面没的直线x+y=1上确定一点M,使M到点N(6,5,1)的距离最小。 |MN|=解 由已知,可设M(x,1-x,0),则 22222(6 )(15)(1 0)2(1)51xxx所以 |MN|min=51 课堂练习1.求点P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)之间的距离。2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系,然后画出下列各点:A(1,2,4),B(-1,2,4),C(0,-1,-5),D(-1,-4,-3)。3.求点N(3,-2,-4)到原点、各坐标平面和各坐标轴的距离。小结: 空间任意两点
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