中考专题复习——三角形

1、第1讲一般三角形及其性质知识清单梳理知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类(1)按角的关系分类(2)按边的关系分类直角三角形不等边三角形三角形一锐角三角形三角形方丽久什底和腰不相等的等腰三角形斜二角形 竹上一等腰三角形 落斗 幺1钝角二角形等边二角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰 三角形周长时，必须考虑三角形 三边关系.例：等腰三角形两边长分别是 3 和6,则该三角形的周长为炉.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3.角的关系(1)内角和定理：三角形的内角和等 180° ;推论：直角三角形的两锐角互余 (2)外角的性质：三

2、角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角利用三角形的内、外角的性质求 角度时，若所给条件含比例，倍 分关系等，列方程求解会更简 便.有时也会结合平行、折叠、 等腰(边)三角形的性质求解.4.三角形中的重 要线段四线性质(1)角平分线、高结合求角度 时，注意运用三角形的内角和为 180°这一隐含条件.(2)当同一个三角形中出现两 条高，求长度时，注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解.角平分线(1) 角平线上的点到角两边的距离相等(2) 二角形的二条角平分线的相交一点(内心)中线(1) 将三角形的面积等分(2) 直角三角形斜边上的中线等于斜

3、边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、夕卜 角与角 平分线 的规律 总结如图，AD 平分/ BAG A已 BC,则= 1 Z BAC-Z CAE=1(180° - / B-22，。，1，/C) - (90 - /C) =-(ZC-Z B); 2，一，1 ，。如图，BO CO分别是/ ABC / ACB的平分线，则有/ O=/ A+90 ;2如图，BO CO分另1J为/ ABC / ACD/OCD勺平分线，则/oJ/A,/。=-22/ O；如图，BO C

4、O分另1J为/ CBD / BCE的平分线，则/ 0=90° -1 / A.2对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果.第8页共6页知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等角形的性 质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.(3)全等三角形的周长等、面积等.失分点警示：运用全等三角 形的性质时，要注意找准对 应边与对应角.7.全等的判 定一般 三角 形全 等SSS (三边对 应相等)zA/A£-t-1 上«-1SAS (两边和它 们的夹角对应 相等) /ASA (两角和它 们的夹角对

5、应相 等)AAS (两角和其 中一个角的对边 对应相等)A A(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)失分点警示如图，SSA和AAA不能判 定两个三角形全等.8.全等角形的运 用直角三角形全等角形全等同样可以用(2)证明两个直角SAS,ASA 和 AAS.(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论 注意公共角、公共边、对顶角等银行条件 .(2)全等三角形中的辅助线的作法：直接连接法：如图，连接公共边，构造全等.倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图，由.在寻求全等的条件时,SAS 可得 ACEDIAEBD 贝U AC=BE在 AB

6、E 中，AB+BEE>AE,即 AB+A6 2AD.截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图、.第2讲 等腰、等边及直角三角形知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形(1)性质等边对等角：两腰相等，底角相等，即 AB=AC /B= /C;1.等腰三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.(2)判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;例：如图，在 ABC中，已知/ 1 =/2,BE=CDCE=3.AB=5 ,AE=2 ,则关键点拨与对应举例(1)三角形中“垂线、角平分线、 中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立

7、 如左图，已知 AD±BC,D 的中点，则三角形的形状是 三角形.如:为BC等腰失分点警示：当等腰三角形的 腰和底不明确时，需分类讨论.如 若等腰三角形ABC的一个内角为30。，则另外两个角的度数为等角对等边：即若/ B= /C,则 ABC是等腰三角形.30°、120° 或 75°、75°(1)性质边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60° .即 AB = BC = AC, / BAC =/ B = /C=60° ;对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角2.等边平分线或中线)所在的直线是对称轴.三角形 (2)判定定

8、义：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等(均为 60。)的三角形是等边三角形；任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形 .即若AB=AC,且/ B =60° ,则A ABC是等边三角形知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线4.垂直 平分线图 形(1)性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若Z 1 =Z2, PAXOA , PBXOB ,贝U PA= PB.(2)判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上.(1)性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 离相等.即若 OP垂直且平分 AB ,则PA=PB.(2)判定：到一条线段两端点距离

9、相等的点在这条线段的垂 直平分线上.O 12A ：,知识点三：直角三角形的判定与性质两锐角互余.即/A + / B=90° ;(2) 30角所对的直角边等于斜边的一半.即若/ B= 30°则5.直角 三角形 的性质(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,CD= - AB. 2(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边 c的平方. a2+b2 = c2 ._ 1 AC= AB;2则 A6.直角 三角形的 判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若/ C=90° ,则 ABC 是 RtA;(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个

10、三角形是直角三角形.即若 AD = BD=CD,则 ABC是Rk(3)勾股定理的逆定理： 若a2+ b2=c2,则 ABC是RtA.Ca"c Db(1)等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.(2)等边三角形有一个特殊的角 60° ,所以当等边三角形出现 高时，会结合直角三角形30。角的性质，即BD=1/2AB.例：AABC 中，/B=6。，AB=AC , BC=3 ,贝! ABC的周长为_9.例：如图， ABC 中，/ C=90 ,/A=3。，AB的垂直平分线交AC于 D ,交 AB 于 E, CD=2 ,贝U AC=6.(1)直角三角形的面

11、积 S=1/2ch=1/2ab(其中 a,b 为直角 边，c为斜边，h是斜边上的高), 可以利用这一公式借助面积这个 中间量解决与高相关的求长度问 题.(2)已知两边，利用勾股定理求 长度，若斜边不明确，应分类讨 论.(3)在折叠问题中，求长度，往 往需要结合勾股定理来列方程解 决.第3讲相似三角形知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即Hb d那么这四条线段 a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段.列比例等式时，注意四条线段的大小 顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基 本性 质基本性质：a c? ad

12、= bc; （b、dw0） b d-（2）合比性质：a c? a_b= Jd； （b、dw0） b dbd（3）等比性质：a c=- = m = k（b+d+-+nw0?b dna c . m=k. （b、d、 nw0） b d . n已知比例式的值，求相关字母代数式的值， 常用引入参数法，将所有的量都统一用含同 一个参数的式子表示，再求代数式的值，也 可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k再 代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.,门Ha 3a b 8例：若 _a _ ,则，_ .b 5b _53.平行线分线 段成比 例定理(1)两

13、条直线被一组平行线所截，所得的对应线I，72AT 13段成比例.即如图所示，若I3/I4/I5，则竺 BE.J 14BC EFB "C 'Fl5利用平行线所截线段成比例求线段长 或线段比时，注意根据图形列出比例 等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D, E分别是"BC的 边BC和AC上的点，AE=2 , CE=3, 一一一一 .5要使DE / AB,那么BC: CD应等于-3.(2)平仃于二角形一边的直线截其他两边(或两边AB的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若 AB / CD,则丝 OB./'、OD OCCLD(3)平仃于二角形一边

14、的直线和其他两边相交，、A所构成的三角形和原三角形相似./如图所示，若 DE/ BC,则 ADEsABC./:4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段 AC和BC,如果黑=色匚0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点 C叫做线段AB的黄金分割 11点，AC与AB的比叫做黄金比.用C3例：把长为10cm的线段进行黄金分害L那么较长线段长为_5巫 -1)cm.知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角 形的 判定（1）两角对应相等的两个三角形相似 （AAA）.a.,d如图，若/ A = Z D, / B=/ E,则 ABCA/B' '.CE'.FDEF.判定三角形相似

15、的思路：条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三,1D角形相似.如图，若/A=/D,JACAB E1Ac 人B * *CEf,贝必 ABS DEF.DF DE(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如、D图，若"AB -AC- BC,则 aABS DEF.DE DFEFB-一ice

16、i*F(1)对应角 胜£,对应边 成比例.6.相似 (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.三角形的(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于性质相似比.例：(1)已知 ABCsdef , A ABC的周长 为3, ADEF的周长为2 ,则 ABC与 DEF 的面积之比为9: 4.(2)如图，DE / BC, AF XBC,/ ,已知 $ ADE:S AABC=1:4 ,贝U AF:AG =1 : 2.(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图 形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.(2)证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条

17、 线段分别看做两个三角形的对应边.然后， 通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第4讲解直角三角形四、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦：sinA=余弦：cosA /A的对边a根据定义求三角函数值时， 一定根据 题目图形来理解， 严格按照三角函数 的定义求解，有时需要通过辅助线来 构造直角三角形.斜边一c/A的邻边 b斜边cB a十t乙A阳河世 a正切：tanA=/A的邻边=>CiA2.特殊角的三角函 数值度数 三角函毅30°45°60°Z3工* z3*二sinA1222cosA百 2立 2j2tanA近 31Q

18、知识点二：解直角三角形3.解直角三角形 的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个兀素，即三条边和两个 锐角，由直角二角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形.科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜辿求直边，正弦、余弦很方便； 已知直辿求直边，理所当然用正切； 已知两辿求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直辿求斜边，用除还需正余弦.例：在 Rt ABC中，已知 a=5,sinA=30 ° ,贝U c=10,b= 5.4.解直角三角形的 常用关系(1)三边之间的关系：a2+ b2= c2；(2)锐角之间的关系：/ A+/B=90° 、.一a. 一 b(3)边角之间的关系： sinA= =cosB=。cosA=sinB=-, 、，cc, atanA=8知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡 度、坡角 和方向 角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表7K. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用a表小，则有i = tan凡(如图)(3)方向角：平囿上，通过观察点。作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点。出发的视线与水平