函数新定义问题

1、历年高考新定义函数问题一、 利用函数性质解决函数新定义问题 1（2012年高考（福建理）设函数,则下列结论错误的是（）A的值域为B是偶函数C不是周期函数 D不是单调函数1【答案】C 【解析】A,B.D 均正确,C错误. 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键. 2（2012年高考（福建理）对于实数和,定义运算“”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_.2【解析】由定义运算“*”可知 ,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是. 二、 利用数形结合解决函数新定义问题 1.【2015高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若

2、函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.2.【2015高考四川，理15】已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数，

3、都有；（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】设.对（1），从的图象可看出，恒成立，故正确.对（2），直线CD的斜率可为负，即，故不正确.对（3），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得.故不正确.对（4），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得

4、，即一定存在不相等的实数，使得.故正确.所以（1）（4）【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.3（2013年高考湖北卷（文8）x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（）A奇函数B偶函数C增函数D周期函数【答案】D【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在时，在时，在时，。在时， 。画出图象由图象可知函数没有奇偶性,在n,n+1)上单调递增，是周期函数，周期是1.选D. 4（2013年高考辽宁卷（文12）已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得

5、最小值为,则（）ABCD【答案】C 顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=.方法技巧（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。5（2012年高考（福建理）函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在1,3上具有性质,现给出如下命题:在上的图像时连续不断的; 在上具有性质;若在处取得最大值,则;对任意,有其中真命题的序号是（）ABCD5【答案】D 【解析】正确理解和推断可知错误,错误 【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想,

6、转化化归思想. 三、 利用特殊值法解决函数新定义问题1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，则（ ） A B C D【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，.【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案。2.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）A. B. C. D. 【答案】D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难

7、题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想.（2013年高考陕西卷（文10）设x表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）A-x = -xBx + = xC2x = 2xD 【答案】D 代值法。对A, 设x = - 1.8, 则-x = 1, -x = 2, 所以A选项为假。对B, 设x = 1.8, 则x+ = 2, x = 1, 所以B选项为假。对C, 设x = - 1.4, 2x

8、 = -2.8 = - 3, 2x = - 4, 所以C选项为假。故D选项为真。所以选D4（2012年高考（四川理）记为不超过实数的最大整数,例如,.设为正整数,数列满足,现有下列命题:当时,数列的前3项依次为5,3,2;对数列都存在正整数,当时总有;当时,;对某个正整数,若,则.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)4 答案 解析若,根据 当n=1时,x2=3, 同理x3=, 故对. 对于可以采用特殊值列举法: 当a=1时,x1=1, x2=1, x3=1, xn=1, 此时均对. 当a=2时,x1=2, x2=1, x3=1, xn=1, 此时均对 当a=3时,x1=3, x2=2,

9、x3=1, x4=2xn=1, 此时均对 综上,真命题有 . 点评此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法. 四、新定义函数的综合问题1（2013年高考江西卷（文）设函数 a 为 常数且a(0,1).(1)当a=时,求f(f(13); (2)若x0满足f(f(x0)= x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为s(a),求s(a)在区间13 , 12上的最大值和最小值.【答案】解:(1)当时, ( 当时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当时由解得 因 故是f(x)的二阶周期点; 当时,由解得 因故不是f(x)的二阶周期点; 当时,解得 因 故是f(x)的二阶周期点. 因此,函数有且仅有两个二阶周期点,. (3)由(2)得 则 因为a在13 , 12内,故,则 故 2（2012年高考（上海春）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.定义向量的“相伴函数”为函数的“相伴向量”为(其中为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为(1)设求证: (2)已知且求其“相伴向量