多变量问题的处理策略

1、多变量问题的处理策略例1.函数/(x) = or2 + 2foc - (“ +幻,其中为正实数，若函数/(x)的图像经过点(2,3)，求的娃大值.解：由题意/(2) = 4“+ 4/?-(“ + 6) = 3，.以 + /? = 1， /. ab < ( + )2 =当(2 = /?=丄时取得 242变式h函数/(x)二o?+2/zx-0 + /7),其中u，/?为正实数，若函数/(x)的 图像经过点(2,3)，求v+/7的最小值。解：由题意/(2) = 46z + 4/7-(6z + z?) = 3，9133 6z + /? = 1， z? = 1 6z，0 < 6/ <

2、1 “一 rb cc + (1 cl) (6z)" h244此时 6z=/7 = 1 2变式2:函数/(x)二0?+2奴-0 + /0,其中a/?为正实数，求函数/(x)的 像截*轴所得线段的长度的取值范解：设 or2 +2/?x-(6z + /2) = 0 的两根 xpx2，a = 4/?2 +4咖 + /?)为正实数则24为正实数上0/.2a故线段长度的取值范围是(2,+ oo)变式3:函数/o) = or2+2/zr-(« + z?)，其巾6z，/?为正实数，若关丁的方 程/(x) = u，-l)x2有两个根xa，且满足0<%, <1<<2，求

3、的取值a-2范围。解：/(%) = (a-l)x2 即力 x2 +2/zr-(“ + /?) = 0h(0) = -a-b>0a+ b<q a-b> 9 a-3b <41令h(x) = x2 + 2bx-(a + b)只需：/z(l) = l + 2b-a-b<0 艮p为 /?(2) = 4 + 4b-a-b > 0深度剖析：题型一多变量求最值问题例1.（利用基本不等式，放缩消元）变式:（利用变量间的等式，代换消元）变式2:（多个变量进行组合，整体换元）变式3:（对变量组合赋予几何意义，数形结合）昵图网 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 题型二方程、不等式等综

4、合问题中的多变量问题 例2. (14江西八校联考改编)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同 同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题屮，若 能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花 明乂一村”的豁然开朗之感.阅读以下问题及其解答：问题：对任意 el，2，不等式-2oy + 10恒成立，求实数x的取值范围. 解：令，= -2x“ + (x2 + l)，则对任意ael，2，不等式x2-2or+l so恒成立只需满&pw = x2/2x+1m，所以m-及或者;va+vl/(2) = %2-4% + 1>0类比其中所用的方法，可解得关于、的方程？ + (2-

5、a)x - ax-a1 =o(tz< 0且“其-3)的根为.变式1.不等式x2-2fu + 10对于1,2恒成立，求实数的取值范鬧变式2:不等式x2-2or + /0对于且0,2恒成立，求实数&的取值范閑变式3:小等式r2-2or+z?0对于任意的ae 1，2，都存在xe成立，求实数6的取值范闱策略方法技巧1、处理多变量的求最值问题：多元变少元等量关系，代换消元多元整合，整体换元不等关系，合理放缩线性规划数形结合2、处理多参数问题的原则： 多元定主元函数、方程、不等式中的主元与辅元都是相对的，根据需要，确定主 元（逐步确定主元）可以使得很多问题化解 题型三多元求最值问题例 3.

6、（2013 山东）正实数 x，y，z 满足 x23x_y+4y2z=0,则当$取得m大值时，的m大值为（） 9a. 0 b. 1 c. d. 3【解析】由题意得z = x2 - 3xy + 4y2 ,19z %- - 3xy +当且仅当$ = ¥，即x = 2y时，等号成立，y xy'z2y y' 4y2 - 6y2 + 11.例 4.设gg /?,函数 fx) = ax2+x-a-<x<a< 1,ffirj ： |/(x)|<- 4解：当x=±l时，g：±1，适合ig|<|。当一1<x<1 吋，ga) = (x2 -1)« + %, (-1 < a < 1)是关于 a 的一次函 数，且x2-l<0，函数y = <?(“)在ae -1,1是减函数，则g(l)<g(6z)<g(-l);欲证|<g即证一要q只需证 444象x成立。又洲x-1+x=(%+i)%2+1+%=_(%4)2+1-!°因此原结论成立敁值问题，取值范围问题一直深受命题者的青睐。随着新课程的改革，高中数学与大学数学衔接，求多元函数(即多 变量函数)的最值，又或